Вопрос по константе интегрирования

[EUgeneUS]

dp в сообщении #1735914 писал(а):

Всем спасибо, более менее понятно, но это надо закреплять практикой.

Вот простая задача на внимательность.

Задача: найти $\int\limits_{}^{} \frac{1}{x^2}$

Выбрать правильные, корректно записанные, ответы из следующих:

1. $\int\limits_{}^{} \frac{1}{x^2}= -\frac{1}{x} + C$
2. $\int\limits_{}^{} \frac{1}{x^2}= -\frac{1+x}{x} + C$
3. $\int\limits_{}^{} \frac{1}{x^2}= -\frac{1}{x} + C= -\frac{1+x}{x} + C$

[dp]

Gagarin1968 в сообщении #1735915 писал(а):

Погуглите запрос "математические софизмы в интегрировании"

Спасибо за книгу и за запрос, просто по "задачи по константе интегрирования" и подобному выдает ерунду

-- добавлено через 8 минут --

EUgeneUS в сообщении #1735918 писал(а):

Выбрать правильные, корректно записанные, ответы из следующих:

Ну я бы выбрал вариант 1, так как не понимаю почему вдруг останавливаться на
$ - \frac{1+x}{x} + C $

что мешает записать

$ - \frac{1+x +x +2x +100x}{x} + C $

[EUgeneUS]

dp в сообщении #1735920 писал(а):

что мешает записать

$ - \frac{1+x +x +2x +100x}{x} + C $

Ничего не мешает. Кроме того, что нет такого варианта в предложенных

Так что скажете про варианты 2 и 3?

[dp]

EUgeneUS в сообщении #1735924 писал(а):

Так что скажете про варианты 2 и 3?

Ну я говорю что на мой нематематический взгляд 2 и 3 это лишнее усложнение, да их производная тоже дает

$\frac{1}{x^2}$

но зачем писать лишнее?

[EUgeneUS]

dp
Задача на внимательность. Поэтому будьте внимательнее, пожалуйста.

Вопрос был:

EUgeneUS в сообщении #1735918 писал(а):

Выбрать правильные, корректно записанные, ответы из следующих:

Не "самые простые", не "без лишних усложнений", а те которые верные и корректно записаны.

ОК. пункт 1 - верный и корректно записанный.
Что по пунктам 2 и 3? Они верные? Они корректно записаны?

[dp]

EUgeneUS в сообщении #1735929 писал(а):

Что по пунктам 2 и 3? Они верные? Они корректно записаны?

не знаю к чему придраться тогда, если только в варианте 3

$ -\frac{1}{x} +C = -\frac{1+x}{x} +C$

сократить C, то получим

$ -\frac{1}{x} = -\frac{1+x}{x}$

что неверно

[EUgeneUS]

dp в сообщении #1735932 писал(а):

сократить C, то получим

$ -\frac{1}{x} = -\frac{1+x}{x}$

что неверно

А ещё можно сократить $ -\frac{1}{x}$, и получить $0=-1$
Так что, конечно, не верно. Запись в пункте 3 некорректная.

Но в чем подвох? И как её исправить, чтобы стало корректно?

[dp]

EUgeneUS в сообщении #1735933 писал(а):

Но в чем подвох? И как её исправить, чтобы стало корректно?

Сделать разные константы?
$ -\frac{1}{x} +C = -\frac{1+x}{x} +C_2$

[EUgeneUS]

dp в сообщении #1735934 писал(а):

Сделать разные константы?

Конечно же.

Только не "сделать разные константы", а указать в записи, что тут константы - разные:
$\int\limits_{}^{} \frac{1}{x^2}= -\frac{1}{x} + C_1= -\frac{1+x}{x} + C_2$

Кроме того, желательно (но не обязательно, это и так уже будет следовать из записи) подчеркнуть, что хотя эти константы - любые числа из $\mathbb{R}$, они не являются независимыми друг от друга, например, указать:
$C_1 = C_2 - 1$.

-- добавлено через 14 минут --

dp
Второй подвох, который может произойти, связан с тем, что выражением с константой интегрирования преобразуется.

Вот типичный пример.

Решаем диффуравнение с разделяющимися переменными:

$y =\frac{d y}{d x}$
$d x = \frac{d y}{y}$
$\int\limits_{}^{} d x = \int\limits_{}^{}\frac{d y}{y}$
$x + C_1 = \ln(y) +C_2$
Вообще говоря, тут $C_1$ и $C_2$ - это разные независимые константы, поэтому их можно свести к одной константе: $C = C_2 - C_1, C \in \mathbb{R}$

$x = \ln(y) +C$, такой заменой мы ничего нужного не потеряли, и ничего лишнего не получли.

Но дальше мы хотим выразить $y=f(x)$, а потому делаем замену: $C = - \ln (\hat{C})$
$x = \ln(y) - \ln (\hat{C})$
И благополучно приходим к результату:
$x = \ln(y / \hat{C})$
$e^x = y / \hat{C}$
$y = \hat{C} e^x$
И вот тут важно не забыть, что хотя $C$ - любая константа из $\mathbb{R}$, то $\hat{C}$ отнюдь не любая константа из $\mathbb{R}$, а только положительная.
Почему только положительная Вы понимаете?

-- добавлено через 15 минут --

И второй вопрос (на внимательность)
Потеряны решения $\hat{C} < 0$.
То, что такие решения этого диффура имеются проверяются прямой подстановкой.
Где они были потеряны?

[ozheredov]

dp в сообщении #1735909 писал(а):

$ d(uv+C) = d(uv) + dC = d(uv) $

Но не понимаю как это относится к теме.

Все ломанулись расписывать Вам конкретный интеграл, написали кучу формул (потратив кучу времени), при этом Вы за лесом не увидели дерево. Если Вы остановились на $d(uv)$, то Вы ничего не поняли, но из-за обилия пропущенных через себя формул подумали, что поняли

[EUgeneUS]

Мне в ЛС сделали замечания, что отсюда и ниже у меня под интегралами пропали $d x$.
С замечанием согласен, приношу извинения за неаккуратность.

[dp]

EUgeneUS в сообщении #1735939 писал(а):

Почему только положительная Вы понимаете?

ну потому что нет такой степени в которую надо возвести e и получить отрицательное число

EUgeneUS в сообщении #1735939 писал(а):

Где они были потеряны?

видимо правильное решение

$ y = e^{x+C} $

EUgeneUS в сообщении #1735939 писал(а):

То, что такие решения этого диффура имеются проверяются прямой подстановкой.

что-то не пойму что и куда подставлять в

$ y = \frac{dy}{dx}$

-- добавлено через 2 минуты --

ozheredov в сообщении #1735944 писал(а):

Если Вы остановились на $d(uv)$, то Вы ничего не поняли

я могу остановиться на

$ vdu + udv $

но понимания от этого больше не становится

[ozheredov]

dp в сообщении #1735970 писал(а):

я могу остановиться на

$ vdu + udv $

но понимания от этого больше не становится

Понял, спасибо. Идите дальше, не останавливайтесь.

P.S. "Пиши в тематических разделах", говорили они.....

[EUgeneUS]

dp в сообщении #1735970 писал(а):

ну потому что нет такой степени в которую надо возвести e и получить отрицательное число

Выше хотел показать, что (на данном этапе) $\hat{C}$ оказывается положительным из того, что логарифм определен только на положительном аргументе.
Но так тоже можно.

dp в сообщении #1735970 писал(а):

видимо правильное решение

$ y = e^{x+C} $

Можно продолжить дальше:
$ y = e^{x+C} = e^C \cdot e^x = \hat{C} e^x$, где $\hat{C} = e^C > 0$

dp в сообщении #1735970 писал(а):

что-то не пойму что и куда подставлять в

$ y = \frac{dy}{dx}$

Мы же выразили $y$ как функцию $f(x)$: $y = \hat{C} e^x$, вот эту функцию и нужно подставлять:

$\hat{C} e^x = \frac{d(\hat{C} e^x)}{dx}$
$\hat{C} e^x = \hat{C} e^x$

Как видим, равенство выполняется и для $ \hat{C} < 0$, и даже для $ \hat{C} = 0$.

Решения были потеряны тут:

1.

EUgeneUS в сообщении #1735939 писал(а):

Решаем диффуравнение с разделяющимися переменными:

$y =\frac{d y}{d x}$
$d x = \frac{d y}{y}$

тут разделили на $y$, и могли потерять (и потеряли) решение $y \equiv 0$.

2.

EUgeneUS в сообщении #1735939 писал(а):

$\int\limits_{}^{} d x = \int\limits_{}^{}\frac{d y}{y}$
$x + C_1 = \ln(y) +C_2$

Тут взята только ветка с $y>0$. Правильная формула :
$\int\limits_{}^{} \frac{d y}{y}= \ln|y| +C$

Случай $y<0$ нужно рассмотреть в отдельной ветке решения.

Если сведем все три решения (для $y>0$, $y<0$ и $y=0$) в один ответ получится:

Общим решением ОДУ $y =\frac{d y}{d x}$ является $y = \hat{C} e^x$, где $\hat{C}$ - любая константа из $\mathbb{R}$

Хотя $\hat{C}$ - любая константа из $\mathbb{R}$ и её можно назвать "константой интегрирования", например, во фразе "количество констант интегрирования в общем решении ОДУ равно порядку ОДУ". Это не совсем та константа интегрирования, которая возникает в определении неопределенного интеграла. Нам её пришлось как бы собирать из трех веток решения.

[dp]

EUgeneUS в сообщении #1735978 писал(а):

Мы же выразили $y$ как функцию $f(x)$: $y = \hat{C} e^x$, вот эту функцию и нужно подставлять:

Да, я видимо неточно выразился. Подставить $ y = Ce^x$ в первоначальное дифф уравнение я могу.
Я не понимал как из этой подстановки понять что решения потеряны.

Если честно, я и сейчас не понимаю. Потерю решения же можно определить смотря только на ход решения, а не на конечный результат.
$ y = Ce^x$

И по веткам, то есть есть две ветки, а не три.
первая
$ \int \frac{y}{dy} = \ln|y| +C $
тут мы учитываем y>0 и y<0

а вот по второй не пойму - как учесть y=0 ?

-- добавлено через 2 минуты --

ozheredov в сообщении #1735901 писал(а):

$d(uv+\operatorname{const} )=? $

Кто-нибудь еще понимает на что намекал сей суровый, многомудрый и немногословный муж?