Вопрос по константе интегрирования

[Mihr]

dp в сообщении #1735991 писал(а):

а вот по второй не пойму - как учесть y=0 ?

$y=0$ — это особое решение. Оно теряется на самом первом шаге разделения переменных — при делении обеих частей уравнения на $y$.

[Someone]

dp в сообщении #1735991 писал(а):

а вот по второй не пойму - как учесть y=0 ?

Вы же делили на $y$ в процессе решения… Значит, должны были учесть, что деление возможно не всегда, и рассмотреть отдельно случай, когда деление невозможно.
А как понять, что решения потеряны, глядя на ответ? Дык, $y=Ce^x$ удовлетворяет уравнению $y^{\prime}=y$ для всех $C\in\mathbb R$, а у Вас в процессе решения появились какие-то ограничения…

Mihr в сообщении #1735992 писал(а):

$y=0$ — это особое решение.

Нет. В теории дифференциальных уравнений особым называется решение, в каждой точке которого нарушается единственность решения задачи Коши. А тут с единственностью всё в порядке.
Простой пример дифференциального уравнения, для которого решение $y=0$ особое: $y^{\prime}=\sqrt{y}$.

[EUgeneUS]

dp

(Оффтоп)

dp в сообщении #1735991 писал(а):

Кто-нибудь еще понимает на что намекал сей суровый, многомудрый и немногословный муж?

Можно (попробовать догадаться), но зачем? Раз уж этот педагогический заход не задался...

[ozheredov]

dp в сообщении #1735991 писал(а):

сей суровый, многомудрый и немногословный муж

А не сильно дофига остроумия в разделе "Помогите решить/разобраться"?

[warlock66613]

А я вот тоже, честно скажу, не совсем понял про $d(uv + C)$.

[dp]

dp в сообщении #1735991 писал(а):

а вот по второй не пойму - как учесть y=0 ?

И все-таки, как учесть y=0 ? Какое тут будет решение?

[EUgeneUS]

dp

Вроде бы выше всё сказали. Видимо, нужно совсем уж по шагам.

1. Шаг один. В процессе решения, при применении метода разделения переменных, пришлось разделить на $y$. Это сразу должно привести к мысли "а не поделили ли мы на ноль, получив неприятности?"

2. Шаг два. Чтобы исключить неприятности, этот случай ($y=0$) нужно проверить отдельно. Для этого нужно подставить в исходное ДУ функцию $y=0$ (иногда пишут $y \equiv 0$, чтобы подчеркнуть, что это именно функция, тождественно равная нулю - при любых $x$, а не просто равенство $y=0$, верное для каких-то $x$).

3. Шаг три. Убедиться, что $y=0$ таки является решением исходного ДУ, и при оформлении ответа с общим решением ДУ не забыть учесть этот вариант.

4. Шаг четыре, этот вариант в ответе с общим решением ДУ в виде $y = C e^x$ учитывается при $C=0$.