Что такое обобщённая сумма ряда?

[Mikhail_K]

SergeyGubanov в сообщении #1734982 писал(а):

Оно не фальсифицируемо по Попперу.

Но суммирование математических рядов, в т.ч. обобщённое - это математическая теория (причём, на самом деле, не одна). Она и не должна быть фальсифицируема по Попперу, и не должна как-то соотноситься с физической реальностью. Единственное, что от неё требуется - это логическая непротиворечивость и содержательность выводов.
Никто не говорит, что эти суммы "на самом деле" чему-то равны; просто вводится такое определение. Ну, если бы это записывалось без знаков "плюс", например как-нибудь так:

$$ {\rm{GenSum}}(1,-1,1,-1,\ldots)=1/2 $$

- Вам было бы проще это принять? Но это лишь вопрос обозначений.

Кстати, про содержательность выводов теории обобщённого суммирования (в т.ч. про её пользу для других разделов математики или её приложений) я как раз не очень в курсе. Может быть, кто-то об этом скажет больше. Я слышал, что это удобный язык в каких-то разделах квантовой теории поля и теории струн. Допускаю, что это как с языком виртуальных частиц: он может быть удобен в каких-то вопросах, хотя никто не утверждает, что он отражает фундаментальную реальность.

[warlock66613]

Mikhail_K в сообщении #1734988 писал(а):

Я слышал, что это удобный язык в каких-то разделах квантовой теории поля и теории струн.

Полчински когда-то таким суммированием критическую размерность бозонной струны подсчитал, ну и эффект Казимира так можно рассчитывать (а можно и не так). То есть это частные случаи. Но дзета-регуляризация, насколько я знаю, регулярный инструмент. А кроме дзета-регуляризации и частных случаев я не слышал чтобы что-то такое применялось. Но это конечно не очень сильное свидетельство.

[mihaild]

Mikhail_K в сообщении #1734988 писал(а):

Кстати, про содержательность выводов теории обобщённого суммирования (в т.ч. про её пользу для других разделов математики или её приложений) я как раз не очень в курсе.

Обобщенные суммы ряда Фурье сходятся к значению функции при более слабых условиях, чем сам ряд. Не самое интересное наблюдение, конечно (почти всё интересное про ряды Фурье в $L^2$), но что-то.

(Оффтоп)

SergeyGubanov в сообщении #1734982 писал(а):

Я по существу это не рассматриваю

А как рассматриваете?

SergeyGubanov в сообщении #1734982 писал(а):

Оно не фальсифицируемо по Попперу

И не должно быть. Поэтому я и сказал, что это в (М), а не в (Ф).

SergeyGubanov в сообщении #1734982 писал(а):

Кто-то эти равенства всерьёз что ли воспринимает?

Да, это стандартный учебный материал. Есть, например, в Зориче.

Естественно, в нормальном виде это не "на самом деле сумма ряда такая, а математики скрывают", а "сумма ряда - это функционал на некоторых последовательностях с некоторыми интересными свойствами; давайте посмотрим, на какие еще последовательности его можно продолжить с сохранением этих свойств". Довольно стандартная деятельность.

[пианист]

SergeyGubanov в сообщении #1734982 писал(а):

Кто-то эти равенства всерьёз что ли воспринимает?

В 2-адических числах $1+2+4+8+..=-1$ это элементарное соотношение. Никаких хитрых манипуляций не требуется :о

[SergeyGubanov]

Моя дочь показала моей маленькой собачке фокус: "оторвала" у себя от руки палец и бросила его; собачка стала скулить и искать выброшенный палец; дочь "нашла" на полу палец и "приделала" обратно к руке; показала маленькой собачке, что с пальцем всё в порядке; собачка чтобы палец лучше "прирос" стала его лизать как лижут рану. Дочери было весело, а собачка не на шутку переволновалась.

Фокусник (в квадратной академической шапочке с шёлковой кисточкой на шнурке) использует одну и ту же подмену незаметную школьникам - неявное предположение о том, что якобы $S_{L} = S_{R}$, в то время как на самом деле доказать это равенство невозможно, так же это невозможно проверить численным экспериментом, но и опровергнуть это тоже нельзя, то есть оно не фальсифицируемо, undefined behavior.

Фокус-шутка 1:

$$1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + \ldots = S_{R},$$

$$1 - (1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - \ldots) = S_{R},$$

$$1 - S_{L} = S_{R}.$$

Фокус-шутка 2:

$$1 + 2 + 4 + 8 + 16 + \ldots = S_{R},$$

$$1 + 2 (1 + 2 + 4 + 8 + \ldots ) = S_{R},$$

$$1 + 2 S_{L} = S_{R}.$$

Фокус-шутка 3:

$$\sum_{n=1}^{\infty} n = - \sum_{n=1}^{\infty} \lim_{\lambda \to 0} \frac{d}{d \lambda} e^{-\lambda n},$$

$$e^{-\lambda} + e^{-2 \lambda} + e^{-3 \lambda} + e^{-4 \lambda} + \ldots = S_{R},$$

$$e^{-\lambda}(1 + e^{-\lambda} + e^{-2 \lambda} + e^{-3 \lambda} + \ldots) = S_{R},$$

$$e^{-\lambda}(1 + S_{L}) = S_{R}.$$

Вам от этих фокусов было весело или вы не на шутку переволновались?

[mihaild]

SergeyGubanov в сообщении #1735012 писал(а):

в то время как на самом деле доказать это равенство невозможно, так же это невозможно проверить численным экспериментом

Для начала расскажите, как доказать хотя бы равенство $0 + 0 + \ldots = 0$.

SergeyGubanov в сообщении #1735012 писал(а):

но и опровергнуть это тоже нельзя, то есть оно не фальсифицируемо, undefined behavior

Смешались в кучу фальсифицируемость (которая требуется только в эмпирических науках, к которым математика не относится), программирование и математика. Не надо так.

SergeyGubanov в сообщении #1735012 писал(а):

Вам от этих фокусов было весело или вы не на шутку переволновались?

Ни то, ни другое. Это всё формализуется совершенно понятным образом.

[warlock66613]

mihaild в сообщении #1735013 писал(а):

Это всё формализуется совершенно понятным образом.

Возьмём например первый "фокус". Здесь достаточно суммирования по Чезаро. Сначала мы пользуемся линейной инвариантностью относительно сдвига чтобы "откусить" первую единицу, затем линейностью чтобы вынести минус. Получаем итог. Все действия законны и обоснованы. (Конечно сходимость по Чезаро этим не доказана, но доказано что если она имеет место, то сумма будет именно такой.)

[B3LYP]

SergeyGubanov в сообщении #1735012 писал(а):

Вам от этих фокусов было весело или вы не на шутку переволновались?

Я не на шутку переволновался от третьего. Почему вы не получили $S_R=-1/12$?

[Gagarin1968]

mihaild в сообщении #1735013 писал(а):

расскажите, как доказать хотя бы равенство $0 + 0 + \ldots = 0$

mihaild
А в чём затруднение? Легко доказывается через предел последовательности частичных сумм.

[mihaild]

Gagarin1968 в сообщении #1735018 писал(а):

Легко доказывается через предел последовательности частичных сумм.

Вопрос не к Вам был. Понятно, что любой человек, прослушавший хотя бы одну лекцию про ряды, это докажет. Вопрос был в том, как именно это сформулирует SergeyGubanov - после этого я бы привел аналогичное доказательство, что сумма Чезаро ряда Гранди равна $1/2$, и спросил, в чём разница.

[Red_Herring]

Суммирование различных рядов это довольно часто повторяющаяся тема в разных областях анализа, отнюдь не "фпкус". Например функциональный ряд

$$\sum_{n=0}^\infty n! x^n$$

имеет асимптотическую сумму, хотя и расходится для любых $x\ne 0$ (и по Чезаре, и по Абелю)

[SergeyGubanov]

Red_Herring, а как проверить что математик не врёт? Допустим $S_{L} = S_{R}$, как это проверить?

[mihaild]

SergeyGubanov в сообщении #1735024 писал(а):

а как проверить что математик не врёт?

mihaild в сообщении #1735013 писал(а):

Для начала расскажите, как доказать хотя бы равенство $0 + 0 + \ldots = 0$.

[wrest]

Gagarin1968 в сообщении #1735018 писал(а):

А в чём затруднение? Легко доказывается через предел последовательности частичных сумм.

Делов том, что слева стоит не сумма в арифметичпском смысле, а некий "символ" (как выражаетсянапример Фихтенгольц). Мы договариваемся, что этот символ - это предел последовательности частичных сумм.
Соответственно, провести вычислительный эксперимент, сложив бесконечное количество нулей, невозможно за конечное время. А значит, надо плясать вокруг.

[B3LYP]

mihaild в сообщении #1734929 писал(а):

Нет. Общая идея - это рассмотреть какой-то функционал на последовательностях, который для сходящихся рядов равен сумме, обладает какими-то свойствами, которые естественно ожидать от суммы (ну например инвариантность относительно локальных перестановок), и при этом определен не только на сходящихся рядах.

Насколько я понимаю, то что вы ответили, можно было сказать проще - как придумать обобщение для понятия суммы на случай бесконечного множества слагаемых, желательно такое, чтобы было поуниверсальнее. Но вы ведь и так уже это знали, так что непонятно к чему был ваш ответ. Мой вопрос был не про сумму вообще, а про идею конкретных перечисленных методов.

mihaild в сообщении #1734948 писал(а):

Нет, нельзя. Это разные поля.
(я кстати не уверен, что слово "адические" где-то используется, всегда видел только $p$-адические)

Что мешает ввести понятие суммы ряда на p-адических числах и рассмотреть его в ракурсе изоморфизма с суммой аналогичного ряда на обычных целых числах?