Элементарная алгебра для отстающих

[Booker48]

horda2501 в сообщении #1733744 писал(а):

попробовала вот так: $2^{2x+1}=(2^2)^x\cdot (2^2)=4(2^x)^2$

Как так-то?
$2^{2x+1}=2 \cdot 2^{2x}$

[wrest]

horda2501 в сообщении #1733744 писал(а):

А пока очередной пример. $2^{2x+1}-5\cdot2^x-88=0$. Я попробовала вот так: $2^{2x+1}=(2^2)^x\cdot (2^2)=4(2^x)^2$. Но это не является решением, так как дискриминант $\sqrt{25+16 \cdot 88}=\sqrt{1 433}$. Как правильно?

Проверьте, раскрыв скобки, что
$2^{2x+1}-5\cdot2^x-88=(2^x-2^3)(2^{x+1}+11)=0$
Тогда ответ: $x=3$

[horda2501]

wrest, а когда я тоже буду знать такие преобразования квадратных уравнений?

[Лукомор]

horda2501 в сообщении #1733744 писал(а):

Одна из причин по которой я занялась строгими науками в том, что они могут исправить такую невнимательность. Надеюсь на то, что мне это поможет.

Это Вам уже помогает!
На этот раз Вы были внимательны настолько, что не забыли привести свою попытку решения.
Это уже огромный шаг вперёд на пути борьбы с невнимательностью.
Осталось доработать детали:
$2^{a+b} = 2^a \cdot 2^b$
Это правило, которое Вы так и не выучили.
В вашем примере $a = 2x$, $b = 1$
Поэтому,
$2^{2x+1} = 2^{2x} \cdot 2^1 = 2^{2x}\cdot 2$

[horda2501]

А как решаются такие примеры? $6^{2x+4}=2^{8+x}\cdot 3^{3x}$. Если предположить, что верно $(2 \cdot 3)^{2x+3}$ (это верно?), то всё равно нельзя начать решение уравнения из показателей, так как должны быть одинаковыми все основания.

[wrest]

horda2501 в сообщении #1733754 писал(а):

А как решаются такие примеры? $6^{2x+4}=2^{8+x}\cdot 3^{3x}$.

Ну такие решаются в уме. $8+x=3x=2x+4$ Ответ $x=4$

[horda2501]

А как именно они решаются, на основании чего? Основания степеней разные, почему можно так приравнивать?

-- добавлено через 12 минут --

Видимо, это одно из тех заданий, в которых просто нужно подобрать вариант из первых отрицательных\положительных чисел. Их довольно много в этом параграфе.

[Booker48]

horda2501 в сообщении #1733758 писал(а):

А как именно они решаются, на основании чего?

Ну, тут нужно сообразить, что число слева имеет в разложении сомножители $2$ и $3$ в одинаковой степени $2x+4$.
Соответственно, и справа должно быть в разложении на сомножители такое же количество двоек и троек.

-- добавлено через 1 минуту --

wrest в сообщении #1733756 писал(а):

Ну такие решаются в уме.

Или вообще не решаются. Если равенства несовместны.

[wrest]

Booker48 в сообщении #1733759 писал(а):

Или вообще не решаются. Если равенства несовместны.

Решаются, но немного длиннее.

[Mikhail_K]

horda2501 в сообщении #1733754 писал(а):

А как решаются такие примеры? $6^{2x+4}=2^{8+x}\cdot 3^{3x}$.

horda2501 в сообщении #1733758 писал(а):

А как именно они решаются, на основании чего?

Подробно так. Шесть это дважды три, поэтому $(2\cdot 3)^{2x+4}=2^{8+x}\cdot 3^{3x}$
$2^{2x+4}\cdot 3^{2x+4}=2^{8+x}\cdot 3^{3x}$
$\frac{2^{2x+4}}{2^{8+x}}=\frac{3^{3x}}{3^{2x+4}}$
$2^{(2x+4)-(8+x)}=3^{3x-(2x+4)}$
$2^{x-4}=3^{x-4}$
$\frac{2^{x-4}}{3^{x-4}}=1$
$\left(\frac{2}{3}\right)^{x-4}=1$
$x-4=0$
$x=4$

Booker48 в сообщении #1733759 писал(а):

Соответственно, и справа должно быть в разложении на сомножители такое же количество двоек и троек.

Строго говоря, нигде не сказано, что $x$ должно быть целым числом. Поэтому не факт, что можно говорить про разложение на простые множители. В частности, если бы при наивном приравнивании $2x+4=8+x=3x$, как было предложено выше, уравнения оказались бы несовместными и из них не удалось бы найти $x$, у исходного уравнения всё равно мог бы существовать корень. Например, уравнение $(2\cdot 3)^{2x+4}=2^{8+x}\cdot 3^{3x+1}$ приводит к $2^{x-4}=3^{x-3}$ и это затем решается через логарифм.

[wrest]

horda2501 в сообщении #1733758 писал(а):

А как именно они решаются, на основании чего?

В этом задании подобрано так что можно решить в уме. Ну я не знаю какой вам путь предлагает учебник.
Можно свести уравнение к такому: $2^{f(x)}=3^{g(x)}$
На вашем примере:
$6^{2x+4}=2^{8+x}3^{3x}$
перепишем как
$2^{2x+4}3^{2x+4}=2^{8+x}3^{3x}$
Поделим обе части на $2^{8+x}3^{2x+4}$
$2^{(2x+4)-(8+x)}=3^{3x-(2x+4)}$
Приводим подобные в показателях:
$2^{x-4}=3^{x-4}$
Тут у нас получилось что $f(x)=g(x)=x-4$ и решение очевидно, $x=4$

Но если бы оказалось что $f(x) \ne g(x)$ то пришлось бы логарифмировать, а вы этого, наверное, не умеете.

А именно. Если $2^{f(x)}=3^{g(x)}$ то
$f(x)=g(x)\log_23$

- и решать надо было бы его.
В нашем же случае, обозначив $f(x)=g(x)=t$ получаем
$t=t \log_2 3$ откуда $t=0$ и возвращаясь к $f(x)=g(x)=x-4=t$ получаем $ f(x)=g(x)=0 \to x-4=0 \to x=4$

[horda2501]

$\left(\frac{2}{3}\right)^{x-4}=1$
$x-4=0$

Я не могу понять решения с этого момента. Почему произошёл переход к показательному уравнению? И почему $1=1^0$, если я вообще улавливаю ход мысли Далее общение пошло с использованием понятия логарифм, это следующий параграф. Как это часто бывает, многие места потом совсем элементарные, а до следующих ближайших параграфов не всегда удаётся всё понять так, как после них.

[mihaild]

horda2501 в сообщении #1733776 писал(а):

Я не могу понять решения с этого момента. Почему произошёл переход к показательному уравнению?

С этого или с предыдущего?

Mikhail_K в сообщении #1733763 писал(а):

$\frac{2^{x-4}}{3^{x-4}}=1$

Нам нужны свойства: $a^b = \left(\frac{1}{a}\right)^{-b}$, $(ab)^c = a^c b^c$, ну и из третьего класса $\frac{a}{b} = a \cdot \frac{1}{b}$.
Из этих свойств можно вывести новое (понимаете, как?): $\left(\frac{a}{b}\right)^c = \frac{a^c}{b^c}$.
По этому свойству, $\frac{2^{x-4}}{3^{x-4}} = \left(\frac{2}{3}\right)^{x-4}$, что нам и нужно.

horda2501 в сообщении #1733776 писал(а):

И почему $1=1^0$

По определению степени. Причем как потому что любое ненулевое число в нулевой степени - единица, так и потому что единица в любой степени - единица.