Элементарная алгебра для отстающих

[horda2501]

Очень своевременно. Я как раз уселась разбираться основательнее. Какова правильная последовательность действий и почему она именно такова?
$\sqrt{9^x+1}=\sqrt{3{^2^(^x^+^1^)}}$. Эта часть кажется понятной. Непонимание начинается с того, почему степень подкоренного члена связана показателем корня, а сам подкоренной член - нет. Я же правильно понимаю? То есть, могло бы быть и $9^(^x^+^1^)^1^/^2$? Но самый главный вопрос - что дальше делать с $2(x+1)^1^/^2$? Каким образом это выражение становится $x+1$. При умножении всё очевидно, но если это степень, то я ничего не понимаю Я снова что-то напутала?

-- добавлено через 2 минуты --

Лукомор в сообщении #1733325 писал(а):

horda2501 в сообщении #1733209 писал(а):

Например: $\sqrt{x}=\frac{x+4}{3}$ :

Попробуйте для начала решить пример попроще:
$\sqrt{x} = x$
А потом сразу же, полностью аналогичным способом, решите Ваш пример
$\sqrt{9x-9}=x+1$
И будет Вам счастье.

Опять же. Как решить этот пример "попроще" $\sqrt{x} = x$ Это получается $\sqrt{9}=9$ Где основы мироздания?

[wrest]

horda2501 в сообщении #1733375 писал(а):

Как решить этот пример "попроще" $\sqrt{x} = x$ Это получается $\sqrt{9}=9$ Где основы мироздания?

Ну например $\sqrt{1}=1$, да? Основы мироздания ещё на месте?
А есть ли и сколько ещё такие $x$, что $\sqrt{x}=x$ ?

[Mihr]

horda2501 в сообщении #1733375 писал(а):

Как решить этот пример "попроще" $\sqrt{x} = x$ Это получается $\sqrt{9}=9$

Нет, так не получается. Потому что 9 - не корень этого уравнения. А при некоторых других значениях $x$ равенство справедливо. Их и нужно найти. Решить уравнение - как раз и означает: определить, при каком значении неизвестной это уравнение обращается в верное равенство.

horda2501 в сообщении #1733375 писал(а):

Но самый главный вопрос - что дальше делать с $2(x+1)^1^/^2$? Каким образом это выражение становится $x+1$.

В моей записи решения $\dfrac{1}{2}$ - множитель, а не показатель степени. (После раскрытия скобок и отбрасывания основания степени, разумеется).

[Лукомор]

horda2501 в сообщении #1733375 писал(а):

Это получается $\sqrt{9}=9$

Не получается!
Как решить?
Элементарно!
Возвести в квадрат левую часть уравнения, и возвести в квадрат правую часть уравнения.
Если возведете правильно, получится уравнение
$x = x^2$, то-есть квадратное уравнение, что как бы намекает, откуда появляются два разных ответа.
Аналогично решается и исходный пример.
Возводим в квадрат обе части уравнения и получаем квадратное уравнение:
$9x - 9 = x^2 + 2x + 1$
или, после проведения подобных:
$x^2 - 7x + 10 = 0$
А это Вы уже умеете/должны уметь решать
И с ответом все сходится, и ни одна основа мироздания не треснула...

[horda2501]

Mihr в сообщении #1733377 писал(а):

horda2501 в сообщении #1733375 писал(а):

Как решить этот пример "попроще" $\sqrt{x} = x$ Это получается $\sqrt{9}=9$

Нет, так не получается. Потому что 9 - не корень этого уравнения. А при некоторых других значениях $x$ равенство справедливо. Их и нужно найти. Решить уравнение - как раз и означает: определить, при каком значении неизвестной это уравнение обращается в верное равенство.

horda2501 в сообщении #1733375 писал(а):

Но самый главный вопрос - что дальше делать с $2(x+1)^1^/^2$? Каким образом это выражение становится $x+1$.

В моей записи решения $\dfrac{1}{2}$ - множитель, а не показатель степени. (После раскрытия скобок и отбрасывания основания степени, разумеется).

В этом и суть вопроса. " Есть формула $(a^b)^c=a^{bc}$, но нет формулы $a^{(b^c)}=a^{bc}$ " как было сказано выше. Почему же $\frac{1}{2}$ будучи показателем степени в выражении $2(x+1)^\frac{1}{2}$ становится множителем (с которым всё, конечно, отлично решается)?

[Mihr]

horda2501 в сообщении #1733381 писал(а):

В этом и суть вопроса.

Не понимаю Ваших затруднений.

$$((3^2)^{x+1})^\frac{1}{2}=(3^{2\cdot(x+1)})^\frac{1}{2}=3^{2\cdot(x+1)\cdot\frac{1}{2}}=3^{x+1}$$

Здесь что-то неочевидно?

[Mikhail_K]

horda2501 в сообщении #1733375 писал(а):

$\sqrt{9^x+1}=\sqrt{3{^2^(^x^+^1^)}}$.

Тут опечатка, правильно так: $\sqrt{9^{x+1}}=\sqrt{3^{2(x+1)}}$.

Кстати, наведите курсор на мои формулы и посмотрите, как они написаны в LaTeX.
Например, в формуле $3^{2(x+1)}$ можно написать один символ ^ перед {2(x+1)}, но всё выражение в показателе степени тогда обязательно нужно заключить в фигурные скобки: {2(x+1)}.

horda2501 в сообщении #1733375 писал(а):

Но самый главный вопрос - что дальше делать с $2(x+1)^1^/^2$?

А откуда у Вас получилось $2(x+1)^{1/2}$?
Извлечь корень - значит возвести в степень $1/2$.
Поэтому $\sqrt{3^{2(x+1)}}=(3^{2(x+1)})^{1/2}$.
Здесь в степень $1/2$ возводится не $x+1$, а $3^{2(x+1)}$, потому что именно $3^{2(x+1)}$ стоял под корнем.
Ну а дальше по формуле $(a^b)^c=a^{bc}$ получается $(3^{2(x+1)})^{1/2}=3^{2(x+1)\cdot\frac{1}{2}}=3^{x+1}$.
Ни на одном шаге здесь $(x+1)$ не возводился в степень $1/2$, а что-то в степени $x+1$ возводилось в степень $1/2$.

[horda2501]

Задание 40.14. состоит из однотипных примеров, вроде этого: $2^{2x}-6 \cdot 2^x+8=0$. Или этого: $3^{2x}-6 \cdot 3^x-27=0$ Т.е., дан некий член, сначала он в степени $2x$, а потом просто $x$. К нему ещё третий член. В первом случае похоже было на разность квадратов, но $3^{2x}=8$ не решается. В остальных и на это не похоже. Что нужно делать?

[Mihr]

horda2501 в сообщении #1733432 писал(а):

Что нужно делать?

Замену переменной. Если положить $a^x=t$, то $a^{2x}=t^2$.

[Лукомор]

horda2501 в сообщении #1733432 писал(а):

В первом случае похоже было на разность квадратов, но $3^{2x}=8$ не решается

И как в первом случае Вы получили
$3^{2x}=8$ из $2^{2x}-6 \cdot 2^x+8=0$?
Это же невозможно!
Кстати, а по какому учебнику Вы изучаете математику?
Решать задачи из задачника, это хорошо и полезно, но только для закрепления знаний, полученных из учебника

[horda2501]

Тут проблема посерьёзнее Если предположить, что нужно решать квадратное уравнение, то в обоих случаях нет решений. В первом их совсем нет, т.к. дискриминант отрицательный, а во втором нельзя извлечь корень (дискриминант 360). Это опечатки или я что-то неправильно делаю? (Ответ для первого примера в учебнике $1$ и $2$, для второго $2$).

[wrest]

horda2501 в сообщении #1733432 писал(а):

вроде этого: $2^{2x}-6 \cdot 2^x+8=0$

Проверьте, раскрыв скобки, что $2^{2x}-6 \cdot 2^x+8=(2^x-2^2)(2^x-2^1)$ Если да, то ответ: $x=2,x=1$

horda2501 в сообщении #1733432 писал(а):

Или этого: $3^{2x}-6 \cdot 3^x-27=0$

Проверьте, раскрыв скобки, что $3^{2x}-6 \cdot 3^x-27=(3^x-3^2)(3^x+3^1)$ Если да, то ответ: $x=2$

-- добавлено через 38 минут --

horda2501 в сообщении #1733666 писал(а):

Это опечатки или я что-то неправильно делаю? (Ответ для первого примера в учебнике $1$ и $2$, для второго $2$).

Что-то неправильно делаете.

[EUgeneUS]

horda2501 в сообщении #1733432 писал(а):

$2^{2x}-6 \cdot 2^x+8=0$.

обозначим $2^x=y$, тогда $2^{2x}= (2^x)^2= y^2$
подставим в данное уравнение, получим: $y^2 - 6y +8 = 0$
Хорошее квадратное уравнение, решается в целых числах.

Далее найдёте его два решения: $y_1, y_2$, и нужно будет решить два уравнения: $y_1=2^x; y_2=2^x$

[Лукомор]

horda2501 в сообщении #1733666 писал(а):

В первом их совсем нет, т.к. дискриминант отрицательный, а во втором нельзя извлечь корень (дискриминант 360).

Не угадали в обоих случаях...
Напишите, как в первом случае Вы получили отрицательный дискриминант, а во втором случае, как Вы получили 360.
Это очень интересно!

[horda2501]

Не знаю что вам ответить, если честно У меня иногда проявляется странная невнимательность и я сама ей удивляюсь. Мне это доставляет массу неудобств в жизни. Одна из причин по которой я занялась строгими науками в том, что они могут исправить такую невнимательность. Надеюсь на то, что мне это поможет.

А пока очередной пример. $2^{2x+1}-5\cdot2^x-88=0$. Я попробовала вот так: $2^{2x+1}=(2^2)^x\cdot (2^2)=4(2^x)^2$. Но это не является решением, так как дискриминант $\sqrt{25+16 \cdot 88}=\sqrt{1 433}$. Как правильно?