Точное количество простых чисел в интервале

[wrest]

Yadryara в сообщении #1731371 писал(а):

Ну вот не похоже, гораздо больше похоже что из 12 сегментов счёт идёт лишь по 2-м — остальными пренебрегли?

Пренебрёг я или Платт? Платт не считает никакие 12 сегментов
Вы же перевод не закончили публиковать тут. Закончите и обсудим - что считает Платт и что считаю я.

[Yadryara]

wrest в сообщении #1731389 писал(а):

Вы же перевод не закончили публиковать тут.

Не заладилось как раз с картинкой этих 12 сегментов в TikZ. То масштаб не тот, то кракозябры вылезают. Я пока ленюсь разбираться.

[wrest]

Yadryara в сообщении #1731391 писал(а):

Не заладилось как раз с картинкой этих 12 сегментов в TikZ.

Ну без tikz тогда.

[Yadryara]

Русские не сдаются Я вот эту картинку не меньше 10 часов рисовал и не ленился. Так что буду ещё пробовать. Хотите — публично, в Тестировании. А пока вот:
_______________________________________________________________

Теорема 4.7. Пусть $\widehat{\Phi}(s)$ определено как в лемме 4.6. Тогда

$$\frac{1}{2\pi i} \int_{2-i\infty}^{2+i\infty} \widehat{\varphi}(s) \log \zeta(s) ds = \widehat{\Phi}(1) - \sum_{\rho} \Re \widehat{\Phi}(\rho) - \log(2) + \frac{1}{2\pi i} \int_{-1-i\infty}^{-1+i\infty} \widehat{\varphi}(s) \log(-\zeta(s)) ds.$$

Доказательство. Мы будем обращаться к контурам, представленным на рисунке 1. Эти контуры:

* $\Gamma_1$ — полукруг по часовой стрелке от $1 - \epsilon$ до $1 + \epsilon$ для малых и положительных значений $\epsilon$.
* $\Gamma_2$ — полукруг по часовой стрелке от $1 + \epsilon$ до $1 - \epsilon$.
* $\Gamma_3$ — горизонтальная линия от $1 + \epsilon$ до $2$.
* $\Gamma_4$ — горизонтальная линия от $2$ до $1 + \epsilon$.
* $\Gamma_5$ — вертикальная линия от $2$ до $2 + iT_j$, где $T_j$ не является ординатой нуля $\zeta$.
* $\Gamma_6$ — вертикальная линия от $2 - iT_j$ до $2$.
* $\Gamma_7$ — горизонтальная линия от $2 + iT_j$ до $-1 + iT_j$.
* $\Gamma_8$ — горизонтальная линия от $-1 - iT_j$ до $2 - iT_j$.
* $\Gamma_9$ — вертикальная линия от $-1 + iT_j$ до $-1 + \frac{5}{4}i$, за которой следует круговая дуга по часовой стрелке с центром в точке $-1$ до $\frac{1}{4}$.
* $\Gamma_{10}$ — круговая дуга по часовой стрелке с центром в точке $-1$ от $\frac{1}{4}$ до $-1 - \frac{5}{4}i$, за которой следует вертикальная линия до $-1 - iT_j$.
* $\Gamma_{11}$ — горизонтальная линия от $\frac{1}{4}$ до $1 - \epsilon$.
* $\Gamma_{12}$ — горизонтальная линия от $1 - \epsilon$ до $\frac{1}{4}$.

[wrest]

Yadryara в сообщении #1731391 писал(а):

Не заладилось как раз с картинкой этих 12 сегментов в TikZ.

Начните с этого:

(Оффтоп)

\begin{tikzpicture}[x=1.5cm, y=1.5cm] % Оси \draw[->, thick] (-2.5,0) -- (3.2,0) node[right] {Re s}; \draw[->, thick] (0,-2.7) -- (0,2.7) node[above] {Im s}; % Точки \fill (-1,0) circle (2pt) node[below] {-1}; \fill (0,0) circle (2pt) node[below left] {0}; \fill (0.25,0) circle (2pt) node[below] {1/4}; \fill (1,0) circle (2pt) node[below] {1}; \fill (2,0) circle (2pt) node[below] {2}; \fill (0,2.2) circle (2pt) node[left] {iTj}; \fill (0,-2.2) circle (2pt) node[left] {-iTj}; % Γ1 (верхняя полуокружность вокруг 1, слева направо) \draw[->, red, thick] (0.7,0.05) arc (180:0:0.3); \node[red, above] at (1,0.35) {$\Gamma_ 1$}; % Γ2 (нижняя полуокружность вокруг 1, справа налево) \draw[->, blue, thick] (1.3,-0.05) arc (0:-180:0.3); \node[blue, below] at (1,-0.35) {$\Gamma_ 2$}; % Γ3 (от 1 до 2, сверху, слева направо) \draw[->, green!50!black, thick] (1.3,0.05) -- (2,0.05); \node[green!50!black, above] at (1.65,0.2) {$\Gamma_ 3$}; % Γ4 (от 2 до 1, снизу, справа налево) \draw[->, orange, thick] (2,-0.05) -- (1.3,-0.05); \node[orange, below] at (1.65,-0.2) {$\Gamma_ 4$}; % Γ5 (вертикально вверх от 2) \draw[->, purple, thick] (2,0.05) -- (2,2.2); \node[purple, right] at (2.1,1.2) {$\Gamma_ 5$}; % Γ6 (вертикально вниз от 2) \draw[->, cyan, thick] (2,-2.22) -- (2,-0.05); \node[cyan, right] at (2.1,-1.2) {$\Gamma_ 6$}; % Γ7 (горизонтально на высоте iTj, справа налево) \draw[->, magenta, thick] (2,2.2) -- (-1,2.2); \node[magenta, above] at (0.5,2.4) {$\Gamma_ 7$}; % Γ8 (горизонтально на высоте -iTj, слева направо) \draw[->, brown, thick] (-1,-2.2) -- (2,-2.2); \node[brown, below] at (0.5,-2.4) {$\Gamma_ 8$}; % (вертикально вниз от iTj до -1+1.25i) \draw[->, teal, thick] (-1,2.2) -- (-1,1.25); \node[teal, left] at (-1.3,1.8); % Γ9 (дуга вокруг -1, слева, от -1+1.25i до -1-1.25i) \draw[->, teal, thick] (-1,1.25) arc (90:0:1.25); \node[teal, left] at (-0.2,0.5) {$\Gamma_ 9$}; % Γ10 (дуга вокруг -1, слева, от -1+1.25i до -1-1.25i) \draw[->, teal, thick] (0.25,-0.05) arc (0:-90:1.25); \node[teal, left] at (-0.2,-0.5) {$\Gamma_ {10}$}; % (вертикально вниз от iTj до -1+1.25i) \draw[->, teal, thick] (-1,-1.25) -- (-1,-2.2); \node[teal, left] at (-1.3,1.8); % Γ11 (от 1/4 до 1, сверху, слева направо) \draw[->, gray, thick] (0.25,0.05) -- (0.7,0.05); \node[gray, above] at (0.475,0.2) {$\Gamma_{11}$}; % Γ12 (от 0.7 до 0.25, снизу, справа налево) \draw[->, gray!60!black, thick] (0.7,-0.05) -- (0.25,-0.05); \node[gray!60!black, below] at (0.475,-0.2) {$\Gamma_{12}$}; % Пунктир к полюсу \draw[dashed, gray!50] (0.5,-2.25) -- (0.5,2.25); \node[gray!50, right] at (0.5,1) {$Re_s=\frac12$}; \end{tikzpicture}

[Yadryara]

Благодарю. Зачем Платту нужно было так нумеровать — пока непонятно. Нумерацию менять не буду, но хотя бы перегруппирую:

* $\Gamma_1$ — полукруг по часовой стрелке от $1 - \epsilon$ до $1 + \epsilon$ для малых и положительных значений $\epsilon$.
* $\Gamma_3$ — горизонтальная линия от $1 + \epsilon$ до $2$.
* $\Gamma_5$ — вертикальная линия от $2$ до $2 + iT_j$, где $T_j$ не является ординатой нуля $\zeta$.
* $\Gamma_7$ — горизонтальная линия от $2 + iT_j$ до $-1 + iT_j$.
* $\Gamma_9$ — вертикальная линия от $-1 + iT_j$ до $-1 + \frac{5}{4}i$, за которой следует круговая дуга по часовой стрелке с центром в точке $-1$ до $\frac{1}{4}$.
* $\Gamma_{11}$ — горизонтальная линия от $\frac{1}{4}$ до $1 - \epsilon$.

И это обход северной области против часовой стрелки. А чётные индексы при $\Gamma$ — попросту обход южной симметричной области и тоже против часовой стрелки, с обратным перечислением индексов от 12-го ко 2-му.

[Yadryara]

Рисунок 1. Контуры для вычисления $\frac{1}{2\pi i} \int_{2-i\infty}^{2+i\infty} \hat{\phi}(s) \log \zeta(s) \, ds$

Рассмотрим интегралы

$$ \frac{1}{2\pi i} \int (\hat{\Phi}(s) - C) \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} \, ds \eqno(4.1) $$

для контуров $\Gamma_1$, $\Gamma_3$, $\Gamma_5$, $\Gamma_7$, $\Gamma_9$ и $\Gamma_{11}$ в верхней полуплоскости и

$$ \frac{1}{2\pi i} \int (\hat{\Phi}(s) + C) \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} \, ds \eqno(4.2) $$

для $\Gamma_2$, $\Gamma_4$, $\Gamma_6$, $\Gamma_8$, $\Gamma_{10}$ и $\Gamma_{12}$ в нижней полуплоскости.

Обозначим интегралы в (4.1) или (4.2) соответственно вдоль $\Gamma_n$ через $I_n$ и продолжим следующим образом.

Для $I_5$ и $I_6$ получаем:

$$ \lim_{j \to \infty} (I_5 + I_6) = \lim_{j \to \infty} \frac{1}{2\pi i} \left[ \int_{\Gamma_5} (\hat{\Phi}(s) - C) \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} \, ds + \int_{\Gamma_6} (\hat{\Phi}(s) + C) \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} \, ds \right] $$

$$ = \lim_{j \to \infty} \frac{1}{2\pi i} \left[ \left. (\hat{\Phi}(s) - C) \log \zeta(s) \right|_{2}^{2+iT_j} + \left. (\hat{\Phi}(s) + C) \log \zeta(s) \right|_{2-iT_j}^{2} \right] - \frac{1}{2\pi i} \int_{\Gamma_{5,6}} \hat{\phi}(s) \log \zeta(s) \, ds $$

$$ = \frac{1}{2\pi i} \left[ 2C \log \zeta(2) - \int_{2-i\infty}^{2+i\infty} \hat{\phi}(s) \log \zeta(s) \, ds \right] $$

где $\Gamma_{5,6}$ обозначает контур $\Gamma_5$, за которым следует $\Gamma_6$.

Рассматривая контуры $\Gamma_7$ и $\Gamma_8$, мы используем лемму 4.3 и гауссово затухание $\hat{\Phi}(s) \pm C$ из леммы 4.6, чтобы заключить:

$$ \lim_{j \to \infty} (I_7 + I_8) = \lim_{j \to \infty} \frac{1}{2\pi i} \left[ \int_{\Gamma_7} (\hat{\Phi}(s) - C) \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} \, ds + \int_{\Gamma_8} (\hat{\Phi}(s) + C) \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} \, ds \right] = 0. $$

Рассматривая $I_9$ и $I_{10}$, мы имеем:

$$ \lim_{j \to \infty} (I_9 + I_{10}) = \lim_{j \to \infty} \frac{1}{2\pi i} \left[ \int_{\Gamma_9} (\hat{\Phi}(s) - C) \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} \, ds + \int_{\Gamma_{10}} (\hat{\Phi}(s) + C) \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} \, ds \right] $$

$$ = \lim_{j \to \infty} \frac{1}{2\pi i} \left[ \left. (\hat{\Phi}(s) - C) \log(-\zeta(s)) \right|_{-1+iT_j}^{1/4} + \left. (\hat{\Phi}(s) + C) \log(-\zeta(s)) \right|_{1/4}^{-1-iT_j} \right] $$

$$ - \frac{1}{2\pi i} \left[ \int_{\Gamma_9} \hat{\phi}(s) \log(-\zeta(s)) \, ds + \int_{\Gamma_{10}} \hat{\phi}(s) \log(-\zeta(s)) \, ds \right] $$

$$ = -\frac{1}{2\pi i} \left[ \int_{\Gamma_9, \Gamma_{10}} \hat{\phi}(s) \log(-\zeta(s)) \, ds + 2C \log(-\zeta(1/4)) \right] $$

где контур интегрирования — $\Gamma_9$, за которым следует $\Gamma_{10}$. Сходимость этого интеграла обусловлена леммой 4.5 и областью без нулей $\zeta(s)$ с $|s + 1| \le \frac{5}{4}$ и $\Re(s) \ge -1$.

Для $I_{11}$ и $I_{12}$ мы имеем:

$$ I_{11} + I_{12} = \frac{1}{2\pi i} \left[ \int_{\Gamma_{11}} (\hat{\Phi}(s) - C) \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} \, ds + \int_{\Gamma_{12}} (\hat{\Phi}(s) + C) \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} \, ds \right] $$

$$ = \frac{1}{2\pi i} \left[ \left. (\hat{\Phi}(s) - C) \log(-\zeta(s)) \right||_{1/4}^{1-\varepsilon} + \left. (\hat{\Phi}(s) + C) \log(-\zeta(s)) \right||_{1-\varepsilon}^{1/4} \right] $$

$$ - \frac{1}{2\pi i} \left[ \int_{\Gamma_{11}} \hat{\phi}(s) \log(-\zeta(s)) \, ds + \int_{\Gamma_{12}} \hat{\phi}(s) \log(-\zeta(s)) \, ds \right] $$

$$ = \frac{1}{2\pi i} [2C \log(-\zeta(1/4)) - 2C \log(-\zeta(1 - \varepsilon))]. $$

Для $I_1$ и $I_2$ находим:

$$ I_1 + I_2 = \frac{1}{2\pi i} \left[ \int_{\Gamma_1} (\hat{\Phi}(s) - C) \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} \, ds + \int_{\Gamma_2} (\hat{\Phi}(s) + C) \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} \, ds \right] $$

$$ = \frac{1}{2\pi i} \left[ \int_{\Gamma_1} \hat{\Phi}(s) \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} \, ds + \int_{\Gamma_2} \hat{\Phi}(s) \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} \, ds - C \int_{\Gamma_1} \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} \, ds + C \int_{\Gamma_2} \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} \, ds \right] $$

$$ = \hat{\Phi}(1) - \frac{C}{2\pi i} \left[ \int_{\Gamma_1} \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} \, ds - \int_{\Gamma_2} \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} \, ds \right] $$

по теореме Коши, поскольку вычет $\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}$ при $s = 1$ равен $-1$.

Наконец, для $I_3$ и $I_4$ получаем:

$$ I_3 + I_4 = \frac{1}{2\pi i} \left[ \int_{\Gamma_3} (\hat{\Phi}(s) - C) \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} \, ds + \int_{\Gamma_4} (\hat{\Phi}(s) + C) \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} \, ds \right] $$

$$ = \frac{1}{2\pi i} \left[ \left. (\hat{\Phi}(s) - C) \log \zeta(s) \right||_{1+\varepsilon}^{2} + \left. (\hat{\Phi}(s) + C) \log \zeta(s) \right||_{2}^{1+\varepsilon} \right] - \frac{1}{2\pi i} \left[ \int_{\Gamma_3} \hat{\phi}(s) \log \zeta(s) \, ds + \int_{\Gamma_4} \hat{\phi}(s) \log \zeta(s) \, ds \right] $$

$$ = \frac{1}{2\pi i} [2C \log \zeta(1 + \varepsilon) - 2C \log \zeta(2)]. $$

[Yadryara]

Теперь, согласно теореме Коши и используя тот факт, что нетривиальные нули $\zeta$ встречаются в комплексно сопряженных парах,

$\lim_{j \to \infty} \sum_{k=1}^{12} I_k = \sum_{\rho} \Re \hat{\Phi}(\rho)$, поэтому мы имеем:

$$ \sum_{\rho} \Re \hat{\Phi}(\rho) = \hat{\Phi}(1) - \frac{1}{2\pi i} \left[ \int_{2-i\infty}^{2+i\infty} \hat{\phi}(s) \log \zeta(s) \, ds + \int_{\Gamma_9, \Gamma_{10}} \hat{\phi}(s) \log(-\zeta(s)) \, ds \right] $$

$$ + \frac{C}{\pi i} [\log \zeta(1 + \varepsilon) - \log(-\zeta(1 - \varepsilon))] - \frac{C}{2\pi i} \left[ \int_{\Gamma_1} \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} \, ds - \int_{\Gamma_2} \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} \, ds \right]. $$

Теперь результат следует из взятия предела при $\varepsilon \to 0^+$ согласно леммам 4.2 и 4.1 и последующего выпрямления линии интегрирования второго интеграла до $\Re(s) = -1$. Это вводит вклад $\log(-\zeta(0)) = -\log 2$ от полюса $\hat{\phi}(s)$ при $s = 0$ с вычетом $1$.

Опять же, если мы возьмем $\hat{\phi}(s) = \frac{x^s}{s}$, тогда $\hat{\Phi}(s) = \text{Ei}(s \log x)$, где $\text{Ei}$ — экспоненциальный интеграл, и мы восстанавливаем явную формулу Римана:

$$ \pi^*(x) = \text{Ei}(\log x) - \sum_{\rho} \text{Ei}(\rho \log x) - \log 2 + \int_{-1-i\infty}^{-1+i\infty} \log(-\zeta(s)) \frac{x^s}{s} \, ds. $$

[Yadryara]

Капля за каплей ситуация вроде проясняется. Похоже что имеется ещё одно неудачное обозначение: s это не везде в программе та самая s, которая аргумент дзета-функции Римана.

[Yadryara]

Совместно с ИИ сделали обзор алгоритма Платта и его реализацию в программе wrestа и Квена. Пафос ИИ вычистил не полностью. Если мы что-то понимаем неправильно, дайте знать.

Главная цель — узнать точное число простых чисел $\pi(x)$ (например, для $x = 1000$), вообще не перебирая и не проверяя на простоту числа от $0$ до $905$.

Вместо этого алгоритм делит всю бесконечную числовую ось на три зоны, локализует вычисления в узком коридоре вокруг цели (для $x = 1000$ это полоса $905 - 1105$) и производит расчет в два крупных этапа: конволюцию и деконволюцию.

Этап 1. Конволюция (Гауссов блур)

На этом этапе дискретная, рваная ступенчатая функция простых чисел искусственно превращается в плавные, пологие и непрерывные волны. Инструментом размытия выступает Гауссов фильтр $e^{\frac{\lambda^2 s^2} 2}$.

Этот этап выполняется на компьютере в комплексной плоскости и состоит из двух параллельных потоков:

* Поток А. Расчет сглаженного тренда ($\mathtt{re1}$):

Робот в функции $\mathtt{Phihat\_re\_at\_1}$ ползет вертикально вверх по безопасному первому рельсу $\Re(s) = 1.0$ до высоты $T \approx 753$. Двигаясь по этой траектории, он вычисляет логарифмическую производную дзета-функции. Математика устроена так, что этот комплексный интеграл одним махом вбирает в себя аналитический вклад абсолютно всех простых чисел. На выходе получается сглаженное вещественное число ($\mathtt{177.634}$).

* Поток Б. Учет колебаний пространства ($\mathtt{2 \cdot zsum}$):

Пока робот полз по линии $\Re(s) = 1.0$, он зафиксировал мощное волновое «эхо» от скрытых слева нетривиальных нулей дзета-функции (резонансы фаз волн). Программа запускает цикл по списку этих нулей ($\rho = 0.5 + it$), вычисляет их сглаженные комплексные веса и собирает их в сумму $\mathtt{zsum}$. Первая пара нулей дает самый весомый вклад (например, для первого нуля это $\mathtt{+0.10320}$), а хвост из далеких нулей Гауссов фильтр автоматически перемножает на ноль, останавливая цикл.

Итог этапа конволюции: Программа получила плавный, заблуренный каркас распределения чисел, где вдали от цели (до $905$) вклады простых чисел уже идеально равны единицам, далеко справа (после $1105$) они равны нулю, а в районе $1000$ они превратились в плавные взлетные волны.


Этап 2. Деконволюция (Локальное возвращение резкости)

Комплексный интеграл выдал заблюренную «кашу» в районе тысячи. Чтобы вернуть графику исходную жесткую резкость и получить точное целое число, включается функция $\mathtt{sieve\_corr\_taylor}$. Она работает как локальный «утюг» строго в коридоре $905 - 1105$.

* Часть 1. Коррекция самих простых чисел ($p^1$):

Программа разбивает коридор $905 - 1105$ на $196$ ультра-коротких сегментов. Внутри каждого сегмента она находит реальные простые числа и с помощью ряда Тейлора $2$-го порядка вычисляет, до какой именно высоты успела подняться сглаженная взлетная волна вклада (функция $\text{erfc}$) для каждого числа на отметке $x = 1000$. Например, для числа $997$ точный сглаженный вес равен $0.56$ . Решето берет его реальный статус ($C = 1$) и вычитает этот вес, отправляя остаток $1 - 0.56 = 0.44$ в общую вещественную сумму-накопитель $s$.

* Часть 2. Очистка от высших степеней ($p^2, p^3 \dots$):

Поскольку интеграл от логарифмической производной $\frac{\zeta'}{\zeta}(s)$ по определению впитывает в себя не только простые числа, но и их квадраты, кубы и высшие степени ($4, 8, 9, 16, 25 \dots$), решето запускает цикл $\mathtt{while}$ по степеням $m$. Программа находит те степени, которые попали в коридор $905 - 1105$, вычисляет их ускоренные логарифмические волны размытия и добавляет их вклад в общую сумму, жестко деля его на показатель степени $m$ ($/2$ для квадратов, $/3$ для кубов) в соответствии с теорией вычетов.

Итог этапа деконволюции: Функция $\mathtt{sieve\_corr\_taylor}$ выдает чистое вещественное число $\mathtt{0.14496}$, которое содержит в себе абсолютно всю разницу между реальным дискретным миром простых чисел и непрерывным заблюренным комплексным миром интеграла Платта.
------------------------------------------------------------------

## 🏁 Финальная сборка
В самом конце функция $\mathtt{platt\_f}$ берет результаты обоих этапов и соединяет их в одно арифметическое тождество:

$$\text{Ответ} = \mathtt{re1} - 2 \cdot \mathtt{zsum} + \mathtt{sieve\_corr\_taylor} - \ln 2$$

Внутри этой формулы все локальные Гауссовы искажения, брызги блура и логарифмические асимметрии идеально, снайперски сокращают и уравновешивают друг друга. Сумма выдает вещественный результат (например, $\mathtt{167.99987}$), который находится в микроскопическом зазоре от истинного значения. Компьютер делает финальное округление $\mathtt{round()}$ и восстанавливает жесткую ступеньку: $\pi(1000) = 168$.
Усечение бесконечных интервалов до локального окошка $905 - 1105$ — это и есть тот вычислительный шедевр, благодаря которому алгоритм щелкает огромные числа за секунды.

[wrest]

platt_f не финальный этап, после него обращение Мёбиуса ещё

[Yadryara]

wrest в сообщении #1731547 писал(а):

после него обращение Мёбиуса ещё

Уже обсуждали, что это как раз и есть тривиальная подгонка через primepi(x) для маленьких x. То есть именно что самая скучная и самая понятная часть в программе.

А вот интегрирование по прямой $1+it$ жутко интересное дело. И вроде как это оптимум. Не стоит брать $0.9+it$ или $1.1+it$?

[wrest]

Yadryara в сообщении #1731551 писал(а):

А вот интегрирование по прямой $1+it$ жутко интересное дело. И вроде как это оптимум. Не стоит брать $0.9+it$ или $1.1+it$?

Интегрирования по этой прямой нет.

[Yadryara]

Ну может я неправильно выразился. Вот подчеркнул:

Yadryara в сообщении #1731513 писал(а):

Робот в функции $\mathtt{Phihat\_re\_at\_1}$ ползет вертикально вверх по безопасному первому рельсу $\Re(s) = 1.0$ до высоты $T \approx 753$. Двигаясь по этой траектории, он вычисляет логарифмическую производную дзета-функции. Математика устроена так, что этот комплексный интеграл одним махом вбирает в себя аналитический вклад абсолютно всех простых чисел. На выходе получается сглаженное вещественное число ($\mathtt{177.634}$).

А как тогда вычисляется re1? Опишете своими словами?

[Yadryara]

Продолжение статьи Платта.
__________________________________________________________________________

Мы ограничиваем сумму по нулям конечным числом слагаемых, поэтому нам нужна строгая оценка вносимой погрешности. Мы выводим такую ​​оценку в Приложении А.

Вычисление \pi(x) теперь сводится к:

• перечислению степеней простых чисел вблизи x,
• вычислению \varphi(t) в этих степенях простых чисел,
• определению нетривиальных нулей \zeta с достаточной точностью и
• вычислению \Phi в этих нулях (и в 1).

5. Простые решета и \varphi(p)

Для вычисления \pi(10^{24}) с имеющимися в нашем распоряжении нулями нам потребовалось решето шириной \approx 6 \times 10^{15} с центром в 10^{24}. Мы обсудим только определение простых чисел в этом интервале, поскольку определение степеней простых чисел является тривиальной задачей.

Были рассмотрены два основных метода: просеивание (обязательно сегментированное) и гибридный метод, описанный Галвеем. Последний метод начинается с удаления всех y-гладких чисел, а затем к оставшимся применяется тест Ферма на простоту по основанию 2. Имея список (нескольких) чисел в нашем диапазоне, которые являются составными, y-грубыми, и при этом проходят тест Ферма, мы завершаем работу. Наши тесты показывают, что хотя реализация гибридного решета не будет конкурентоспособной на высоте 10^{24}, переход может быть не за горами.

В нашей реализации использовалось решето Аткина и Бернштейна, основанное на бинарных квадратичных формах, для перечисления простых чисел решета (\le x^{1/2}), которые затем используются в сегментированной версии решета Эратосфена для удаления составных чисел в целевой области.

Для каждого сегмента решета с центром в x_0 мы выводим

$$ \sum\limits_p 1, \quad \sum\limits_p (x_0 - p) \quad \text{и} \quad \sum\limits_p (x_0 - p)^2 .$$

Ограничивая размеры сегментов, мы можем гарантировать, что все вычисления могут быть выполнены с использованием собственных 64-битных целочисленных инструкций, за исключением третьей суммы, которая требует 128-битного сложения. Однако это представляет собой лишь небольшое снижение производительности на современных процессорах. Затем эти три члена используются для формирования аппроксимации \sum\limits_p \varphi(p) с помощью ряда Тейлора. На самом деле трех членов недостаточно, чтобы обеспечить необходимую точность, поэтому мы используем следующую лемму для вывода линейной аппроксимации четвертого (кубического) члена.

Лемма 5.1. Если мы аппроксимируем действительную кубическую функцию y = a_3x^3 на интервале x \in [-w, w], где w > 0, прямой y = ax с a = \frac{3a_3w^2}{4}, то величина ошибки на этом интервале \le \frac{|a_3|w^3}{4}.

Более того, с точки зрения минимизации ошибки в наихудшем случае, эта прямая является наилучшим выбором среди всех квадратичных функций.

Доказательство. Обращаемся к рисунку 2. Без потери общности возьмем a_3 > 0. Поскольку и a_3x^3, и ax нечетны, мы рассматриваем только интервал x \in [0, w]. Ошибка E_1 просто равна a_3w^3 - aw, а E_2 достигает своего максимума там, где наклоны прямой и кубической функции равны. Это происходит при x = \sqrt{\frac{a}{3a_3}}, следовательно, E_2 = a\sqrt{\frac{a}{3a_3}} - a_3\left(\sqrt{\frac{a}{3a_3}}\right)^3 = \frac{2a}{3}\sqrt{\frac{a}{3a_3}}. Наихудшая ошибка следует из приравнивания E_1 к E_2 и решения относительно a.

Максимальная ошибка возникает 4 раза при x \in \{\pm w, \pm \sqrt{\frac{a}{3a_3}}\}. Это означает, что любая кривая, улучшающая прямую, должна быть ниже прямой при x \in \{-w, \sqrt{\frac{a}{3a_3}}\} и выше нее при x \in \{w, -\sqrt{\frac{a}{3a_3}}\}. Таким образом, такая кривая должна пересекать прямую по крайней мере 3 раза, что невозможно для квадратичной функции.