Точное количество простых чисел в интервале

[wrest]

Yadryara в сообщении #1731371 писал(а):

Ну вот не похоже, гораздо больше похоже что из 12 сегментов счёт идёт лишь по 2-м — остальными пренебрегли?

Пренебрёг я или Платт? Платт не считает никакие 12 сегментов
Вы же перевод не закончили публиковать тут. Закончите и обсудим - что считает Платт и что считаю я.

[Yadryara]

wrest в сообщении #1731389 писал(а):

Вы же перевод не закончили публиковать тут.

Не заладилось как раз с картинкой этих 12 сегментов в TikZ. То масштаб не тот, то кракозябры вылезают. Я пока ленюсь разбираться.

[wrest]

Yadryara в сообщении #1731391 писал(а):

Не заладилось как раз с картинкой этих 12 сегментов в TikZ.

Ну без tikz тогда.

[Yadryara]

Русские не сдаются Я вот эту картинку не меньше 10 часов рисовал и не ленился. Так что буду ещё пробовать. Хотите — публично, в Тестировании. А пока вот:
_______________________________________________________________

Теорема 4.7. Пусть $\widehat{\Phi}(s)$ определено как в лемме 4.6. Тогда

$$\frac{1}{2\pi i} \int_{2-i\infty}^{2+i\infty} \widehat{\varphi}(s) \log \zeta(s) ds = \widehat{\Phi}(1) - \sum_{\rho} \Re \widehat{\Phi}(\rho) - \log(2) + \frac{1}{2\pi i} \int_{-1-i\infty}^{-1+i\infty} \widehat{\varphi}(s) \log(-\zeta(s)) ds.$$

Доказательство. Мы будем обращаться к контурам, представленным на рисунке 1. Эти контуры:

* $\Gamma_1$ — полукруг по часовой стрелке от $1 - \epsilon$ до $1 + \epsilon$ для малых и положительных значений $\epsilon$.
* $\Gamma_2$ — полукруг по часовой стрелке от $1 + \epsilon$ до $1 - \epsilon$.
* $\Gamma_3$ — горизонтальная линия от $1 + \epsilon$ до $2$.
* $\Gamma_4$ — горизонтальная линия от $2$ до $1 + \epsilon$.
* $\Gamma_5$ — вертикальная линия от $2$ до $2 + iT_j$, где $T_j$ не является ординатой нуля $\zeta$.
* $\Gamma_6$ — вертикальная линия от $2 - iT_j$ до $2$.
* $\Gamma_7$ — горизонтальная линия от $2 + iT_j$ до $-1 + iT_j$.
* $\Gamma_8$ — горизонтальная линия от $-1 - iT_j$ до $2 - iT_j$.
* $\Gamma_9$ — вертикальная линия от $-1 + iT_j$ до $-1 + \frac{5}{4}i$, за которой следует круговая дуга по часовой стрелке с центром в точке $-1$ до $\frac{1}{4}$.
* $\Gamma_{10}$ — круговая дуга по часовой стрелке с центром в точке $-1$ от $\frac{1}{4}$ до $-1 - \frac{5}{4}i$, за которой следует вертикальная линия до $-1 - iT_j$.
* $\Gamma_{11}$ — горизонтальная линия от $\frac{1}{4}$ до $1 - \epsilon$.
* $\Gamma_{12}$ — горизонтальная линия от $1 - \epsilon$ до $\frac{1}{4}$.

[wrest]

Yadryara в сообщении #1731391 писал(а):

Не заладилось как раз с картинкой этих 12 сегментов в TikZ.

Начните с этого:

(Оффтоп)

\begin{tikzpicture}[x=1.5cm, y=1.5cm] % Оси \draw[->, thick] (-2.5,0) -- (3.2,0) node[right] {Re s}; \draw[->, thick] (0,-2.7) -- (0,2.7) node[above] {Im s}; % Точки \fill (-1,0) circle (2pt) node[below] {-1}; \fill (0,0) circle (2pt) node[below left] {0}; \fill (0.25,0) circle (2pt) node[below] {1/4}; \fill (1,0) circle (2pt) node[below] {1}; \fill (2,0) circle (2pt) node[below] {2}; \fill (0,2.2) circle (2pt) node[left] {iTj}; \fill (0,-2.2) circle (2pt) node[left] {-iTj}; % Γ1 (верхняя полуокружность вокруг 1, слева направо) \draw[->, red, thick] (0.7,0.05) arc (180:0:0.3); \node[red, above] at (1,0.35) {$\Gamma_ 1$}; % Γ2 (нижняя полуокружность вокруг 1, справа налево) \draw[->, blue, thick] (1.3,-0.05) arc (0:-180:0.3); \node[blue, below] at (1,-0.35) {$\Gamma_ 2$}; % Γ3 (от 1 до 2, сверху, слева направо) \draw[->, green!50!black, thick] (1.3,0.05) -- (2,0.05); \node[green!50!black, above] at (1.65,0.2) {$\Gamma_ 3$}; % Γ4 (от 2 до 1, снизу, справа налево) \draw[->, orange, thick] (2,-0.05) -- (1.3,-0.05); \node[orange, below] at (1.65,-0.2) {$\Gamma_ 4$}; % Γ5 (вертикально вверх от 2) \draw[->, purple, thick] (2,0.05) -- (2,2.2); \node[purple, right] at (2.1,1.2) {$\Gamma_ 5$}; % Γ6 (вертикально вниз от 2) \draw[->, cyan, thick] (2,-2.22) -- (2,-0.05); \node[cyan, right] at (2.1,-1.2) {$\Gamma_ 6$}; % Γ7 (горизонтально на высоте iTj, справа налево) \draw[->, magenta, thick] (2,2.2) -- (-1,2.2); \node[magenta, above] at (0.5,2.4) {$\Gamma_ 7$}; % Γ8 (горизонтально на высоте -iTj, слева направо) \draw[->, brown, thick] (-1,-2.2) -- (2,-2.2); \node[brown, below] at (0.5,-2.4) {$\Gamma_ 8$}; % (вертикально вниз от iTj до -1+1.25i) \draw[->, teal, thick] (-1,2.2) -- (-1,1.25); \node[teal, left] at (-1.3,1.8); % Γ9 (дуга вокруг -1, слева, от -1+1.25i до -1-1.25i) \draw[->, teal, thick] (-1,1.25) arc (90:0:1.25); \node[teal, left] at (-0.2,0.5) {$\Gamma_ 9$}; % Γ10 (дуга вокруг -1, слева, от -1+1.25i до -1-1.25i) \draw[->, teal, thick] (0.25,-0.05) arc (0:-90:1.25); \node[teal, left] at (-0.2,-0.5) {$\Gamma_ {10}$}; % (вертикально вниз от iTj до -1+1.25i) \draw[->, teal, thick] (-1,-1.25) -- (-1,-2.2); \node[teal, left] at (-1.3,1.8); % Γ11 (от 1/4 до 1, сверху, слева направо) \draw[->, gray, thick] (0.25,0.05) -- (0.7,0.05); \node[gray, above] at (0.475,0.2) {$\Gamma_{11}$}; % Γ12 (от 0.7 до 0.25, снизу, справа налево) \draw[->, gray!60!black, thick] (0.7,-0.05) -- (0.25,-0.05); \node[gray!60!black, below] at (0.475,-0.2) {$\Gamma_{12}$}; % Пунктир к полюсу \draw[dashed, gray!50] (0.5,-2.25) -- (0.5,2.25); \node[gray!50, right] at (0.5,1) {$Re_s=\frac12$}; \end{tikzpicture}

[Yadryara]

Благодарю. Зачем Платту нужно было так нумеровать — пока непонятно. Нумерацию менять не буду, но хотя бы перегруппирую:

* $\Gamma_1$ — полукруг по часовой стрелке от $1 - \epsilon$ до $1 + \epsilon$ для малых и положительных значений $\epsilon$.
* $\Gamma_3$ — горизонтальная линия от $1 + \epsilon$ до $2$.
* $\Gamma_5$ — вертикальная линия от $2$ до $2 + iT_j$, где $T_j$ не является ординатой нуля $\zeta$.
* $\Gamma_7$ — горизонтальная линия от $2 + iT_j$ до $-1 + iT_j$.
* $\Gamma_9$ — вертикальная линия от $-1 + iT_j$ до $-1 + \frac{5}{4}i$, за которой следует круговая дуга по часовой стрелке с центром в точке $-1$ до $\frac{1}{4}$.
* $\Gamma_{11}$ — горизонтальная линия от $\frac{1}{4}$ до $1 - \epsilon$.

И это обход северной области против часовой стрелки. А чётные индексы при $\Gamma$ — попросту обход южной симметричной области и тоже против часовой стрелки, с обратным перечислением индексов от 12-го ко 2-му.

[Yadryara]

Рисунок 1. Контуры для вычисления $\frac{1}{2\pi i} \int_{2-i\infty}^{2+i\infty} \hat{\phi}(s) \log \zeta(s) \, ds$

Рассмотрим интегралы

$$ \frac{1}{2\pi i} \int (\hat{\Phi}(s) - C) \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} \, ds \eqno(4.1) $$

для контуров $\Gamma_1$, $\Gamma_3$, $\Gamma_5$, $\Gamma_7$, $\Gamma_9$ и $\Gamma_{11}$ в верхней полуплоскости и

$$ \frac{1}{2\pi i} \int (\hat{\Phi}(s) + C) \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} \, ds \eqno(4.2) $$

для $\Gamma_2$, $\Gamma_4$, $\Gamma_6$, $\Gamma_8$, $\Gamma_{10}$ и $\Gamma_{12}$ в нижней полуплоскости.

Обозначим интегралы в (4.1) или (4.2) соответственно вдоль $\Gamma_n$ через $I_n$ и продолжим следующим образом.

Для $I_5$ и $I_6$ получаем:

$$ \lim_{j \to \infty} (I_5 + I_6) = \lim_{j \to \infty} \frac{1}{2\pi i} \left[ \int_{\Gamma_5} (\hat{\Phi}(s) - C) \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} \, ds + \int_{\Gamma_6} (\hat{\Phi}(s) + C) \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} \, ds \right] $$

$$ = \lim_{j \to \infty} \frac{1}{2\pi i} \left[ \left. (\hat{\Phi}(s) - C) \log \zeta(s) \right|_{2}^{2+iT_j} + \left. (\hat{\Phi}(s) + C) \log \zeta(s) \right|_{2-iT_j}^{2} \right] - \frac{1}{2\pi i} \int_{\Gamma_{5,6}} \hat{\phi}(s) \log \zeta(s) \, ds $$

$$ = \frac{1}{2\pi i} \left[ 2C \log \zeta(2) - \int_{2-i\infty}^{2+i\infty} \hat{\phi}(s) \log \zeta(s) \, ds \right] $$

где $\Gamma_{5,6}$ обозначает контур $\Gamma_5$, за которым следует $\Gamma_6$.

Рассматривая контуры $\Gamma_7$ и $\Gamma_8$, мы используем лемму 4.3 и гауссово затухание $\hat{\Phi}(s) \pm C$ из леммы 4.6, чтобы заключить:

$$ \lim_{j \to \infty} (I_7 + I_8) = \lim_{j \to \infty} \frac{1}{2\pi i} \left[ \int_{\Gamma_7} (\hat{\Phi}(s) - C) \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} \, ds + \int_{\Gamma_8} (\hat{\Phi}(s) + C) \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} \, ds \right] = 0. $$

Рассматривая $I_9$ и $I_{10}$, мы имеем:

$$ \lim_{j \to \infty} (I_9 + I_{10}) = \lim_{j \to \infty} \frac{1}{2\pi i} \left[ \int_{\Gamma_9} (\hat{\Phi}(s) - C) \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} \, ds + \int_{\Gamma_{10}} (\hat{\Phi}(s) + C) \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} \, ds \right] $$

$$ = \lim_{j \to \infty} \frac{1}{2\pi i} \left[ \left. (\hat{\Phi}(s) - C) \log(-\zeta(s)) \right|_{-1+iT_j}^{1/4} + \left. (\hat{\Phi}(s) + C) \log(-\zeta(s)) \right|_{1/4}^{-1-iT_j} \right] $$

$$ - \frac{1}{2\pi i} \left[ \int_{\Gamma_9} \hat{\phi}(s) \log(-\zeta(s)) \, ds + \int_{\Gamma_{10}} \hat{\phi}(s) \log(-\zeta(s)) \, ds \right] $$

$$ = -\frac{1}{2\pi i} \left[ \int_{\Gamma_9, \Gamma_{10}} \hat{\phi}(s) \log(-\zeta(s)) \, ds + 2C \log(-\zeta(1/4)) \right] $$

где контур интегрирования — $\Gamma_9$, за которым следует $\Gamma_{10}$. Сходимость этого интеграла обусловлена леммой 4.5 и областью без нулей $\zeta(s)$ с $|s + 1| \le \frac{5}{4}$ и $\Re(s) \ge -1$.

Для $I_{11}$ и $I_{12}$ мы имеем:

$$ I_{11} + I_{12} = \frac{1}{2\pi i} \left[ \int_{\Gamma_{11}} (\hat{\Phi}(s) - C) \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} \, ds + \int_{\Gamma_{12}} (\hat{\Phi}(s) + C) \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} \, ds \right] $$

$$ = \frac{1}{2\pi i} \left[ \left. (\hat{\Phi}(s) - C) \log(-\zeta(s)) \right||_{1/4}^{1-\varepsilon} + \left. (\hat{\Phi}(s) + C) \log(-\zeta(s)) \right||_{1-\varepsilon}^{1/4} \right] $$

$$ - \frac{1}{2\pi i} \left[ \int_{\Gamma_{11}} \hat{\phi}(s) \log(-\zeta(s)) \, ds + \int_{\Gamma_{12}} \hat{\phi}(s) \log(-\zeta(s)) \, ds \right] $$

$$ = \frac{1}{2\pi i} [2C \log(-\zeta(1/4)) - 2C \log(-\zeta(1 - \varepsilon))]. $$

Для $I_1$ и $I_2$ находим:

$$ I_1 + I_2 = \frac{1}{2\pi i} \left[ \int_{\Gamma_1} (\hat{\Phi}(s) - C) \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} \, ds + \int_{\Gamma_2} (\hat{\Phi}(s) + C) \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} \, ds \right] $$

$$ = \frac{1}{2\pi i} \left[ \int_{\Gamma_1} \hat{\Phi}(s) \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} \, ds + \int_{\Gamma_2} \hat{\Phi}(s) \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} \, ds - C \int_{\Gamma_1} \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} \, ds + C \int_{\Gamma_2} \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} \, ds \right] $$

$$ = \hat{\Phi}(1) - \frac{C}{2\pi i} \left[ \int_{\Gamma_1} \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} \, ds - \int_{\Gamma_2} \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} \, ds \right] $$

по теореме Коши, поскольку вычет $\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}$ при $s = 1$ равен $-1$.

Наконец, для $I_3$ и $I_4$ получаем:

$$ I_3 + I_4 = \frac{1}{2\pi i} \left[ \int_{\Gamma_3} (\hat{\Phi}(s) - C) \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} \, ds + \int_{\Gamma_4} (\hat{\Phi}(s) + C) \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} \, ds \right] $$

$$ = \frac{1}{2\pi i} \left[ \left. (\hat{\Phi}(s) - C) \log \zeta(s) \right||_{1+\varepsilon}^{2} + \left. (\hat{\Phi}(s) + C) \log \zeta(s) \right||_{2}^{1+\varepsilon} \right] - \frac{1}{2\pi i} \left[ \int_{\Gamma_3} \hat{\phi}(s) \log \zeta(s) \, ds + \int_{\Gamma_4} \hat{\phi}(s) \log \zeta(s) \, ds \right] $$

$$ = \frac{1}{2\pi i} [2C \log \zeta(1 + \varepsilon) - 2C \log \zeta(2)]. $$

[Yadryara]

Теперь, согласно теореме Коши и используя тот факт, что нетривиальные нули $\zeta$ встречаются в комплексно сопряженных парах,

$\lim_{j \to \infty} \sum_{k=1}^{12} I_k = \sum_{\rho} \Re \hat{\Phi}(\rho)$, поэтому мы имеем:

$$ \sum_{\rho} \Re \hat{\Phi}(\rho) = \hat{\Phi}(1) - \frac{1}{2\pi i} \left[ \int_{2-i\infty}^{2+i\infty} \hat{\phi}(s) \log \zeta(s) \, ds + \int_{\Gamma_9, \Gamma_{10}} \hat{\phi}(s) \log(-\zeta(s)) \, ds \right] $$

$$ + \frac{C}{\pi i} [\log \zeta(1 + \varepsilon) - \log(-\zeta(1 - \varepsilon))] - \frac{C}{2\pi i} \left[ \int_{\Gamma_1} \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} \, ds - \int_{\Gamma_2} \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} \, ds \right]. $$

Теперь результат следует из взятия предела при $\varepsilon \to 0^+$ согласно леммам 4.2 и 4.1 и последующего выпрямления линии интегрирования второго интеграла до $\Re(s) = -1$. Это вводит вклад $\log(-\zeta(0)) = -\log 2$ от полюса $\hat{\phi}(s)$ при $s = 0$ с вычетом $1$.

Опять же, если мы возьмем $\hat{\phi}(s) = \frac{x^s}{s}$, тогда $\hat{\Phi}(s) = \text{Ei}(s \log x)$, где $\text{Ei}$ — экспоненциальный интеграл, и мы восстанавливаем явную формулу Римана:

$$ \pi^*(x) = \text{Ei}(\log x) - \sum_{\rho} \text{Ei}(\rho \log x) - \log 2 + \int_{-1-i\infty}^{-1+i\infty} \log(-\zeta(s)) \frac{x^s}{s} \, ds. $$

[Yadryara]

Капля за каплей ситуация вроде проясняется. Похоже что имеется ещё одно неудачное обозначение: s это не везде в программе та самая s, которая аргумент дзета-функции Римана.