Точное количество простых чисел в интервале

[Yadryara]

Ну вот вижу что главные действующие лица уже выходят на сцену. Уже и фихат появилась и лямбда и $\frac{2}{\sqrt{\pi}}$, которая использовалась вот здесь:

Yadryara в сообщении #1730893 писал(а):

? 2*sqrt(0.02310499/Pi)
%9 = 0.171517

А вот далее, в этих леммах 4-й части вроде бы как раз и усечённая сумма по нулям появляется. Продолжение.
_________________________________________________________________________________

Лемма 4.2. У нас есть

$$\lim_{\epsilon \to 0^+} (\log \zeta(1 + \epsilon) - log(-\zeta(1 - \epsilon))) = 0.$$

Доказательство.

$$\lim_{\epsilon \to 0^+} (\log \zeta(1 + \epsilon) - log(-\zeta(1 - \epsilon))) = \lim_{\epsilon \to 0^+} \log \frac{\zeta(1 + \epsilon)}{-\zeta(1 - \epsilon)} = \lim_{\epsilon \to 0^+} \log \frac{1/\epsilon + O(1)}{1/\epsilon + O(1)} = 0.$$

Лемма 4.3. Существует последовательность $T_j \to \infty$ такая, что для любого $\sigma \in [-1, 2]$ мы имеем для $s = \sigma + iT_j$

$$\frac{\zeta'}{\zeta}(s) = O(\log^2 T_j).$$

Доказательство. Ссылаясь на Дэвенпорта, для любого нуля $\beta + i\gamma$ функции $\zeta$ с большим $\gamma$ мы отмечаем, что существует $O(\log \gamma)$ нулей с мнимой частью $\in [\gamma - 1, \gamma + 1]$ (следствие (а), стр. 99). Следовательно, мы можем выбрать $T_j$ в пределах $O(1)$ от $\gamma$ такой, что $T_j$ отличается от мнимой части любого нуля на $\gg \frac{1}{\log T_j}$. Согласно (4) на странице 99, для $\sigma \in [-1, 2]$

$$\left\vert{} \frac{\zeta'}{\zeta}(\sigma + iT_j) \right\vert{} = \left\vert{} \sum_{\rho}' \frac{1}{\sigma + iT_j - \rho} + O(\log T_j) \right\vert{}$$

где сумма берется по нулям с мнимой частью $\in [T_j - 1, T_j + 1]$. Существует $O(\log T_j)$ таких нулей, каждый из которых вносит вклад в сумму, ограниченную $O(\log T_j)$, и результат следует.

Лемма 4.4. Для $t \in \mathbb{R}$

$$\vert{}\log(-\zeta(-1 + it))\vert{} \le 5 + t^2.$$

Доказательство. Согласно функциональному уравнению:

$$\zeta(-1 + it) = \zeta(2 - it) \frac{\Gamma\left(\frac{2-it}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{-1+it}{2}\right)} \pi^{-\frac{3}{2}+it}.$$

Затем мы используем $\frac{-1+it}{2} \Gamma\left(\frac{-1+it}{2}\right) = \Gamma\left(\frac{1+it}{2}\right)$ таким образом, мы можем применить приближение Стирлинга.
Также, для $\Re s > 1$ имеем:

$$\vert{}\log \zeta(s)\vert{} = \left\vert{} \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\Lambda(n)}{\log(n)} \frac{1}{n^s} \right\vert{} \le \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\Lambda(n)}{\log(n)} \frac{1}{n^{\Re s}} = \log \zeta(\Re s).$$

Лемма 4.5.

$$\left\vert{} \frac{1}{2\pi i} \int_{-1-i\infty}^{-1+i\infty} \log(-\zeta(s)) \hat{\varphi}(s) ds \right\vert{} \le \exp\left(\frac{\lambda^2}{2}\right) \frac{1}{2\pi x \lambda} \left( \frac{5}{\sqrt{2\pi}} + \frac{2}{\lambda} \right) $$

Лемма 4.6. Пусть $\widehat{\Phi}(s)$ — единственная голоморфная функция $\widehat{\Phi} : \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_{\le 0} \to \mathbb{C}$ такая, что

* $\widehat{\Phi}'(s) = \widehat{\varphi}(s)$ и
* $\lim_{t \to \infty} \left[ \widehat{\Phi}(\sigma + it) + \widehat{\Phi}(\sigma - it) \right] = 0$ для любого фиксированного действительного $\sigma$.

Тогда
(1) $\widehat{\Phi}(s) - \log s$ распространяется на всю функцию,
(2) $\lim_{t \to \infty} \widehat{\Phi}(\sigma + it) = C$ является чисто мнимой и
(3) $\widehat{\Phi}(\sigma \pm it) \mp C$ быстро убывает при $t \to \infty$.

Доказательство. Чтобы показать (1), определим для $s \notin \mathbb{R}_{\le 0}$

$$F(s) = \int_{1}^{s} \widehat{\varphi}(z) dz$$

где контур интегрирования — прямая линия от 1 до $s$. Затем определим

$$\widehat{\Phi}(s) := \lim_{T \to \infty} \left[ F(s) - \frac{F(1 + iT) + F(1 - iT)}{2} \right]$$

и получим

$$F(s) - \log s = \int_{1}^{s} \left( \widehat{\varphi}(z) - \frac{1}{z} \right) dz.$$

Чтобы показать (2), заметим, что $\overline{\widehat{\Phi}(s)} = \widehat{\Phi}(\bar{s})$, и из определения следует $C + \bar{C} = 0$.
Чтобы показать (3), возьмем $T > 0$ и получим

$$\vert{}\widehat{\Phi}(\sigma \pm iT) \mp C\vert{} \le \frac{x^\sigma}{T} \exp\left(\frac{\sigma^2}{2\lambda^2}\right) \int_{T}^{\infty} \exp\left(-\frac{\lambda^2 t^2}{2}\right) dt.$$

[Yadryara]

Продолжаю разбираться.

wrest
А нет ли здесь в вашей программе подгонки под ответ?

ftarget(y) = sum(n=1, floor(log(y)/log(2)), primepi(sqrtn(y,n))/n);

[wrest]

Yadryara в сообщении #1731085 писал(а):

А нет ли здесь в вашей программе подгонки под ответ?

Упаси Платт, это левое равенство в формуле (3.1)

Yadryara в сообщении #1731035 писал(а):

$$\sum_{n \le x}{}^* \frac{\Lambda(n)}{\log n} = \pi^*(x) = \frac{1}{2\pi i} \int_{c-i\infty}^{c+i\infty} \log \zeta(s) \frac{x^s}{s} ds \qquad\qquad\qquad \text{(3.1)}$$

То есть

$$\pi^*(x) = \sum_{n \le x}{}^* \frac{\Lambda(n)}{\log n} $$

Мы начинаем с n=2, т.е. для вычисления скажем $\pi(10^{12})$ аналитически, вычисляем $\pi(10^6)$ при помощи primepi()

Как правильно пишет Платт,

Yadryara в сообщении #1731035 писал(а):

Здесь отметим, что хотя мы можем легко восстановить $\pi(x)$ из $\pi^*(x)$, медленная скорость сходимости интеграла обрекает на неудачу любую попытку использовать его в этом контексте.

Так что интеграл не вычисляем.

[Yadryara]

Как понимаю есть, но только не для первой строки, так что это не страшно. И в той таблице и здесь, для тысячи, все строки честно считаются:

Миллион нулей:

1    177.610     -0.221     -0.693      0.000        176.696
2     -6.748     -0.307      0.347     -0.000         -6.708
3     -2.055      0.047      0.231     -0.001         -1.778
5     -0.591      0.056      0.139     -0.004         -0.400
6      0.385      0.058     -0.116      0.006          0.333
7     -0.266      0.032      0.099     -0.008         -0.143

                                                     167.999876

(PARI)

allocatemem(2^27);

{print;t0=getwalltime();

sstroki = vector(1000); sstolbcy = vector(4);


z = readvec ("1-st million Zeros.txt");

for(i = 1, 9,
po = 1/i;
x = 1000^po;

m = moebius(i)*po; if(m == 0, next);

a = real(-eint1(-log(x)));


sz = sum(i = 1, 1000000, 2*real(eint1(-log(x)*(1/2+z[i]*I))));


c = -log(2);

d = intnum(t = x, oo, 1/(t*(t^2-1)*log(t)) );

sstroki[i] = a*m + sz*m + c*m + d*m;

\\print;
printf("%u     %0.3f     %0.3f     %0.3f     %0.3f          %0.3f\n",
 i, a*m, sz*m, c*m, d*m,   sstroki[i]);\\print;
);

print;printf("                                                    %0.6f\n", vecsum(sstroki));

\\print;

print();print(strtime(getwalltime()-t0));

print();
}quit;

[wrest]

Yadryara
Хитрюга Платт всю дорогу пишет про вычисление $\pi ^*(x)$ и потом бац! и приводит вычисленное $\pi(10^{24})$, но не разжёвывает переход $\pi ^*(x) \rightarrow \pi(x)$ посчитав что это и так очевидно.

[Yadryara]

А, вот добавка к посту была:

wrest в сообщении #1731092 писал(а):

Как правильно пишет Платт,

Yadryara в сообщении #1731035 писал(а):

Здесь отметим, что хотя мы можем легко восстановить $\pi(x)$ из $\pi^*(x)$, медленная скорость сходимости интеграла обрекает на неудачу любую попытку использовать его в этом контексте.

А я не об этом писал?

Yadryara в сообщении #1688644 писал(а):

Так что если считать в лоб складывая нули, то сходимость очень плохая и потому формула Римана по сути непригодна для практических вычислений.

НО. Для очень маленьких $x$, например 100 или 1000, $\pi(x)$ таки можно посчитать весьма точно даже в лоб.

Вы промолчали, поэтому я не в курсе понятно ли что я считаю в приведённой программе.

Я как раз в лоб и считаю. И у меня в первой строке крайнее справа число 176.696. Это сумма по первой строке. Как понимаю, она и считается методом Платта.

И если вставляю вот сюда такую команду

\\ ============ ОБРАЩЕНИЕ МЁБИУСА ============

\\ точное f(y)=sum (1/n) pi(y^{1/n}) встроенным primepi
\\ (нужно только для поправок при малых аргументах y=x^{1/n}, n>=2)

ftarget(y) = sum(n=1, floor(log(y)/log(2)), primepi(sqrtn(y,n))/n);

print(1000, "   ", ftarget(1000) +.);

То получаю

1000   176.695634920634920634920634921

Что до тысячных как раз совпадает с вычисленной выше суммой первой строки в лоб с помощью миллиона нулей, по точной формуле Римана.

[wrest]

Yadryara в сообщении #1731134 писал(а):

А я не об этом писал?

Понятия не имею. Вы предполагаете, видимо, что я вниматеельно читал все ваши темы, конспектировал, выучил что всё вы делали. Но нет

-- добавлено через 2 минуты --

Yadryara в сообщении #1731134 писал(а):

Вы промолчали, поэтому я не в курсе понятно ли что я считаю в приведённой программе.

Я насчёт ваших программ вам говорил: делайте отступы хотя бы.
Нет, что там у вас, мне понимать трудно, так что я и не пытаюсь. Можно конечно попросить Qwen-а...

[Yadryara]

wrest в сообщении #1731136 писал(а):

Вы предполагаете, видимо, что я вниматеельно читал все ваши темы, конспектировал, выучил что всё вы делали.

Нет конечно, не думаю что всё. Но надеюсь хотя бы 99%

А вообще это логичная надежда. Чтобы понимать друг друга, разумеется нужно внимательно читать что пишет собеседник. Я стараюсь читать вас, хотя, увы, не всегда достаточно внимательно. И конечно жду примерно того же от вас.

А Дербишира вы за этот год прочитали?

Продолжаю разбираться с конца.

Не знаю почему функция, считающая сумму по первой строке, называется platt_f, но мне удобно считать что это просто сокращение от platt_first.

Из классической формулы Римана 1859 года выбрасывается 4-й член (и правильно), а первые два заменяются на сумму трёх:

re1 - 2*zsum + sieve_corr_taylor(x, lam, nseg);

Первые два из этих трёх считаются с помощью фихат, но это вроде бы различные фихат и счёт с разными параметрами.

[wrest]

Yadryara в сообщении #1731137 писал(а):

А Дербишира вы за этот год прочитали?

Даже не открывал. У меня нет большого интереса в предметной теме, мой интерес в программах. В этой теме интерес был в конвертации статьи в работающую программу (т.к. вы тут и в других темах спрашивали как же считать по Платту), это ~10 часов с ИИ. В детали теории (типа формулы Перрона) я не вникал - ума не хватает. Платт сделал формулы и оценки погрешностей, ну и прекрасно.

Следующий интерес, возможно, будет переписать алгоритм Гурдона из primecount на языке pari.

[wrest]

Yadryara в сообщении #1731134 писал(а):

1000 176.695634920634920634920634921

Да, если без нулей а на бумажке, то это число в точности равно:

? 168+11/2+4/3+3/4+2/5+2/6+1/7+1/8+1/9
time = 2 ms.
445273/2520
? 168+11/2+4/3+3/4+2/5+2/6+1/7+1/8+1/9+.
176.69563492063492063492063492063492064
?

[Yadryara]

wrest в сообщении #1731138 писал(а):

Следующий интерес, возможно, будет переписать алгоритм Гурдона из primecount на языке pari.

Да, мне тоже это интересно.

wrest в сообщении #1731136 писал(а):

Я насчёт ваших программ вам говорил: делайте отступы хотя бы.
Нет, что там у вас, мне понимать трудно, так что я и не пытаюсь. Можно конечно попросить Qwen-а...

Да, хорошая идея. Он и без отступов прекрасно поймёт о чём речь.

Не страшны дурные вести —
Что пробелов нет на месте.
Всё догонит даже начинающий.

Красота — средь вездесущих
Первых нет и отстающих!
Квен китайский — общепримиряющий.

[wrest]

Yadryara в сообщении #1731143 писал(а):

Да, хорошая идея. Он и без отступов прекрасно поймёт о чём речь.

Да, он понял.