Фотометрия

[ozheredov]

Gagarin1968 в сообщении #1729605 писал(а):

Я не знаю, что такое самолёт на транспортёре

https://neolurk.org/wiki/%D0%92%D0%B7%D ... 8%D1%82%3F

[Gagarin1968]

reterty в сообщении #1729583 писал(а):

Предположим, что источник света находится на расстоянии $a$ ($0<a<R$) от центра сферы внутри нее. Требуется определить полярное распределение освещенностей $E(\theta)$ для сферы с диффузным (ламбертовым) отражением.

reterty
А в этой усложнённой задаче коэффициент отражения по-прежнему равен $k$?

[EUgeneUS]

Gagarin1968 в сообщении #1729605 писал(а):

Это потвердил уважаемый EUgeneUS:

Вопрос задачи корректен в том смысле, что корректно спрашивать про освещенность произвольной точки поверхности.
А вот нюанс с схождением лучей в центре, где расположен источник, на который обратил внимание realeugene, действительно скользкий.
Вы когда расместили решение, я как раз размышлял на тему, нет ли тут подвоха, спланированного автором задачи
Ибо считать источник прозрачным это как-то нефизично.

Сравнение с задачей с самолетом на транспортере тоже довольно показательное. Там тоже излишняя идеализация приводит к нефизичному решению и нефизичному ответу.

Если эту задачу предлагать школьникам/студентам, то лучше задавать диффузное рассеяние.

[reterty]

Gagarin1968 в сообщении #1729625 писал(а):

А в этой усложнённой задаче коэффициент отражения по-прежнему равен $k$?

Да

-- добавлено через 9 минут --

Вообще, такая сфера с диффузно отражающими внутренними стенками носит название интегрирующей сферы или сферы Ульбрихта: https://en.wikipedia.org/wiki/Integrating_sphere https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0 ... 1%82%D0%B0

[Gagarin1968]

EUgeneUS в сообщении #1729626 писал(а):

Если эту задачу предлагать школьникам/студентам, то лучше задавать диффузное рассеяние.

Ну, так тому и быть. Попробую решить усложнённую задачу:

Цитата:

Внутри сферы радиуса $R$ с диффузным (ламбертовым) отражением на расстоянии $a$ ($0<a<R$) от центра сферы находится изотропный точечный источник света с силой света $I$. Определить полярное распределение освещенностей $E(\theta)$, если коэффициент отражения равен $k$.

Как и в первоначальной задаче, сначала найдем освещенность $E_0(\theta)$ в точке $M$ на поверхности сферы, создаваемую непосредственно точечным источником $S$. Из геометрии треугольника $OMS$ (где $O$ — центр сферы, $a=OS$, $R=OM$, а $\theta$ — угол между радиус-вектором $\vec{OM}$ и направлением $\vec{OS}$) следует:
во-первых, расстояние от источника до точки $M$:

$$r=\sqrt{R^{2}+a^{2}-2aR\cos \theta }$$

и во-вторых, угол $\alpha$ между направлением луча $SM$ и нормалью к сфере $OM$ находится по теореме косинусов для угла $\alpha$ в треугольнике $ OMS$:

$$a^{2}=R^{2}+r^{2}-2Rr\cos \alpha \implies \cos \alpha =\dfrac{R^{2}+r^{2}-a^{2}}{2Rr}=\dfrac{2R^{2}-2aR\cos \theta }{2Rr}=\dfrac{R-a\cos \theta }{r}$$

Отсюда прямая освещённость от точечного источника

$$E_{0}(\theta )=\dfrac{I\cos \alpha }{r^{2}}=\dfrac{I(R-a\cos \theta )}{\sqrt {(R^{2}+a^{2}-2aR\cos \theta )^3}}$$

Да, и кстати, поскольку для сферы выполняется геометрическое свойство $\cos\alpha = \dfrac{R^2 + r^2 - a^2}{2Rr}$, я записал эту формулу освещённости в альтернативной и, как мне кажется, более изящной форме через проекцию, использующую инвариант ламбертовой сферы: $E_0(\theta) = \dfrac{I (R^2 - a^2)}{R \cdot r^3}$. Обе формулы эквивалентны.

Теперь рассчитаем многократные переотражения.
По сравнению с зеркальным отражением решение данной задачи во многом упрощается тем, что свет, отраженный от любого элемента поверхности, создает абсолютно равномерную освещенность по всей остальной поверхности сферы.
Полный световой поток, падающий от источника на сферу $\Phi_0 = 4\pi I$.
После первого отражения с коэффициентом $k$ сфера излучает диффузный поток $\Phi_1 = k \Phi_0 = 4\pi k I$.
Этот поток равномерно распределяется по площади сферы $4\pi R^2$, создавая добавку к освещенности $E_1 = \dfrac{k \Phi_0}{4\pi R^2} = \dfrac{k I}{R^2}$.
Процесс повторяется бесконечно в виде геометрической прогрессии со знаменателем $k$:

$$E_{\text{отр}}=E_{1}+kE_{1}+k^{2}E_{1}+\dots =\frac{kI}{R^{2}}\sum _{n=0}^{\infty }k^{n}=\frac{kI}{R^{2}(1-k)}$$

Ну и теперь полная освещенность $E(\theta)$ складывается из прямого света источника и равномерного фона от переотражений:

$$E(\theta )=E_{0}(\theta )+E_{\text{отр}}=\dfrac{I(R^{2}-a^{2})}{R\sqrt {(R^{2}+a^{2}-2aR\cos \theta)^3}}+\dfrac{kI}{R^{2}(1-k)}$$

Если нигде в арифметике не ошибся, то как-то так.
Максимальная освещённость будет в ближайшей к источнику точке сферы с $\theta=0$, а минимальная — соответственно в антиподе этой точки с $\theta=\pi$.

Да, и вопрос к знатокам: как мне растянуть стрелочку вектора $\vec{OM}$ на обе буквы?

[reterty]

Gagarin1968 в сообщении #1729632 писал(а):

Если нигде в арифметике не ошибся, то как-то так.
Максимальная освещённость будет в ближайшей к источнику точке сферы с $\theta=0$, а минимальная — соответственно в антиподе этой точки с $\theta=\pi$.

Все верно! Браво!

[Gagarin1968]

Gagarin1968 в сообщении #1729632 писал(а):

вопрос к знатокам: как мне растянуть стрелочку вектора $\vec{OM}$ на обе буквы?

О, получилось: $\overrightarrow {OM}$
Век живи, век, как грится, учись!

[chislo_avogadro]

Gagarin1968 в сообщении #1729555 писал(а):

Закон сохранения энергии запрещает существование идеальных зеркал с $k = 1$.

Как-то почувствовал диссонанс. Именно закон сохранения энергии?

[realeugene]

В сфере с идеально рассеивающей внутренней поверхностью ($k = 1$) радиусом 1 м на расстоянии 25 см от центр расположен шарик с абсолютно чёрной поверхностью диаметром 1 см, нагретый до температуры T=1000 K. Найти полярное распределение освещённости внутренней поверхности сферы тепловым излучением шарика.

[Gagarin1968]

realeugene
И сразу вопрос. Поскольку диаметр шарика значительно меньше радиуса сферы, можно ли его считать точечным изотропным источником?

[realeugene]

Gagarin1968 в сообщении #1729655 писал(а):

Поскольку диаметр шарика значительно меньше радиуса сферы, можно ли его считать точечным изотропным источником?

Я не очень хорошо понимаю что именно вы называете точечным изотропным источником, поэтому выберите диаметр шарика таким маленьким (но фиксированным), какой хотите.

[Gagarin1968]

realeugene в сообщении #1729662 писал(а):

Я не очень хорошо понимаю что именно вы называете точечным изотропным источником, поэтому выберите диаметр шарика таким маленьким (но фиксированным), какой хотите.

Я не очень хорошо понимаю, какое из трёх слов во фразе "точечный изотропный источник" можно не понять.
Ну да ладно, воспользуюсь Вашим любезным разрешением.
Для решения этой задачи (как и предыдущей) необходимо учесть два компонента освещённости внутренней поверхности сферы: прямое излучение от шарика и многократно отражённое (рассеянное) излучение.
Как и в предыдущей задаче, $\theta$ — полярный угол относительно оси, проходящей через центры сферы и шарика.
Сначала рассчитаем прямое излучение от шарика.
Обозначим $R$ - радиус сферы, $r$ - радиус шарика, $d$ - расстояние между их центрами.
Поскольку $r\ll R$, и используя разрешение от realeugene, я буду рассматривать шарик как точечный изотропный источник. Полный поток излучения абсолютно чёрного шарика радиуса $r$ по закону Стефана — Больцмана равен:

$$Q=4\pi r^2\sigma T^4$$

Расстояние $L$ от шарика до точки на поверхности сферы с полярным углом $\theta$ находим по теореме косинусов:

$$L=\sqrt{R^2+d^2-2Rd\cos \theta}$$

Угол $\alpha$ между лучом света и внутренней нормалью к сфере также определяем геометрически:

$$\cos \alpha =\dfrac{R-d\cos \theta }{L}$$

Тогда прямая освещённость равна:

$$E_0(\theta )=\dfrac{Q}{4\pi L^2}\cos \alpha =\sigma T^4\dfrac{r^2(R-d\cos \theta )}{\sqrt {(R^2+d^2-2Rd\cos \theta )^3}}$$

Теперь рассчитаем многократно отражённое излучение.

reterty в сообщении #1729627 писал(а):

такая сфера с диффузно отражающими внутренними стенками носит название интегрирующей сферы или сферы Ульбрихта

Такая сфера имеет идеально рассеивающую внутреннюю поверхность с коэффициентом отражения $k = 1$ (кстати, в англоязычных учебниках часто пишут, что альбедо равно $100\%$). Свойство интегрирующей сферы Ульбрихта заключается в том, что диффузно отражённый свет от любого элемента поверхности распределяется по всей остальной сфере абсолютно равномерно.
Так как по условию задачи шарик является абсолютно чёрным телом, он поглощает падающее на него излучение. Доля излучения, перехватываемая шариком при каждом отражении, равна отношению площадей поверхностей шарика и сферы:

$$f=\dfrac{4\pi r^2}{4\pi R^2}=\frac{r^2}{R^2}$$

Следовательно, доля энергии, остающаяся в сфере после каждого отражения, равна $1-f$. Суммируя бесконечно убывающую геометрическую прогрессию многократных отражений, получаем плотность равномерного диффузного фона:

$$E_{\text {отр}}=\dfrac{Q}{4\pi R^2}\cdot \left (1+(1-f)+(1-f)^2+\ldots \right)=\dfrac{Q}{4\pi R^2}\cdot \dfrac{1}{f}=\dfrac{Q}{4\pi r^2}=\sigma T^4$$

Оп-па! (тут я проверил все предыдущие выкладки — вроде всё правильно). Неожиданно! Интересное кино!
Получается, что многократные отражения создают внутри сферы однородное тепловое излучение, соответствующее температуре самого шарика.
Значит, искомое полярное распределение освещённости задаётся выражением

$$E(\theta )=\sigma T^{4}\left (1+\dfrac{r^2(R-d\cos \theta )}{\sqrt {(R^2+d^2-2Rd\cos \theta )^3}}\right )$$

realeugene, поскольку Вы задали в условии конкретные числовые значения, я делаю вывод, что Вам самому хочется посмотреть, что из всего этого получится.
Ну что ж! Я подставлю, мне не лень (да и самому интересно).

$R=1~\text{м}$

$d=0,25~\text {м}$

$r=0,005~\text {м}$

$T=1000~K$
Постоянная Стефана — Больцмана $\sigma \approx 5.67 \times 10^{-8} \text{ Вт/(м}^2 \cdot \text{К}^4)$

Плотность равновесного излучения фона

$$\sigma T^4=5,67\times 10^{-8}\times 10^{12}=56700\text{\ Вт/м}^2$$

Рассчитаем значения освещённости в ключевых точках сферы
1. В ближайшей к шарику точке ($\theta = 0^\circ$):

$$E(0^{\circ})=56700+2,52=56702,52\text{\ Вт/м}^2$$

2. В перпендикулярном направлении ($\theta = 90^\circ$):

$$E(90^{\circ})=56700+1,29=56701,29\text{\ Вт/м}^2$$

3. В самой дальней точке ($\theta = 180^\circ$):

$$E(180^{\circ })=56700+0,91=56700,91\text{\ Вт/м}^2$$

И выходит, что за счёт идеального отражения стенками сферы ($k=1$) основной вклад вносит равномерный фон $E_{\text {отр}}= 56700 \text{ Вт/м}^2$, на который накладывается незначительная полярная асимметрия от прямого излучения шарика (от $0,91$ до $2,52\text{ Вт/м}^2$).

[realeugene]

Gagarin1968 в сообщении #1729792 писал(а):

$$E(0^{\circ})=56700+2,52=56702,52\text{\ Вт/м}^2$$

Поздравляю: вы открыли способ построить вечный двигатель второго рода.

На самом деле, шарик находится в равновесии с тепловым излучением в полости. Так как температура стенок не влияет ни на что из-за их нулевого коэффициента излучения, и в полости нет ничего кроме шарика. Где бы в полости шарик ни находился. Так что полость заполнена тепловым излучением с температурой 1000 K с потоком через любую поверхность $56700\text{\ Вт/м}^2$ ровно (для принятого точным значения постоянной Стефана-Больцмана).

[Gagarin1968]

realeugene в сообщении #1729795 писал(а):

Поздравляю: вы открыли способ построить вечный двигатель второго рода.

realeugene
Но ведь прямой поток от шарика на ближнюю стенку действительно выше, чем на дальнюю.
Не понял, где же в своих рассуждениях я нарушил второе начало термодинамики?

[realeugene]

Gagarin1968 в сообщении #1729796 писал(а):

Не понял, где же в своих рассуждениях я нарушил второе начало термодинамики?

Где-то. Не знаю. Но факт, что если на стенку наклеить чёрную заплатку - то по-вашему расчёту её равновесная температура окажется больше 1000 К.

Может быть ваши приближения точечного источника протекают?

-- добавлено через 1 минуту --

Gagarin1968 в сообщении #1729796 писал(а):

Но ведь прямой поток от шарика на ближнюю стенку действительно выше, чем на дальнюю.

Нет. Этот ваш расчёт потока очевидно ошибочный, так как результат нарушает второе начало термодинамики.

Шарик загораживает больший телесный угол вблизи ближней стенки.