Фотометрия

[ozheredov]

Gagarin1968 в сообщении #1729605 писал(а):

Я не знаю, что такое самолёт на транспортёре

https://neolurk.org/wiki/%D0%92%D0%B7%D ... 8%D1%82%3F

[Gagarin1968]

reterty в сообщении #1729583 писал(а):

Предположим, что источник света находится на расстоянии $a$ ($0<a<R$) от центра сферы внутри нее. Требуется определить полярное распределение освещенностей $E(\theta)$ для сферы с диффузным (ламбертовым) отражением.

reterty
А в этой усложнённой задаче коэффициент отражения по-прежнему равен $k$?

[EUgeneUS]

Gagarin1968 в сообщении #1729605 писал(а):

Это потвердил уважаемый EUgeneUS:

Вопрос задачи корректен в том смысле, что корректно спрашивать про освещенность произвольной точки поверхности.
А вот нюанс с схождением лучей в центре, где расположен источник, на который обратил внимание realeugene, действительно скользкий.
Вы когда расместили решение, я как раз размышлял на тему, нет ли тут подвоха, спланированного автором задачи
Ибо считать источник прозрачным это как-то нефизично.

Сравнение с задачей с самолетом на транспортере тоже довольно показательное. Там тоже излишняя идеализация приводит к нефизичному решению и нефизичному ответу.

Если эту задачу предлагать школьникам/студентам, то лучше задавать диффузное рассеяние.

[reterty]

Gagarin1968 в сообщении #1729625 писал(а):

А в этой усложнённой задаче коэффициент отражения по-прежнему равен $k$?

Да

-- добавлено через 9 минут --

Вообще, такая сфера с диффузно отражающими внутренними стенками носит название интегрирующей сферы или сферы Ульбрихта: https://en.wikipedia.org/wiki/Integrating_sphere https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0 ... 1%82%D0%B0

[Gagarin1968]

EUgeneUS в сообщении #1729626 писал(а):

Если эту задачу предлагать школьникам/студентам, то лучше задавать диффузное рассеяние.

Ну, так тому и быть. Попробую решить усложнённую задачу:

Цитата:

Внутри сферы радиуса $R$ с диффузным (ламбертовым) отражением на расстоянии $a$ ($0<a<R$) от центра сферы находится изотропный точечный источник света с силой света $I$. Определить полярное распределение освещенностей $E(\theta)$, если коэффициент отражения равен $k$.

Как и в первоначальной задаче, сначала найдем освещенность $E_0(\theta)$ в точке $M$ на поверхности сферы, создаваемую непосредственно точечным источником $S$. Из геометрии треугольника $OMS$ (где $O$ — центр сферы, $a=OS$, $R=OM$, а $\theta$ — угол между радиус-вектором $\vec{OM}$ и направлением $\vec{OS}$) следует:
во-первых, расстояние от источника до точки $M$:

$$r=\sqrt{R^{2}+a^{2}-2aR\cos \theta }$$

и во-вторых, угол $\alpha$ между направлением луча $SM$ и нормалью к сфере $OM$ находится по теореме косинусов для угла $\alpha$ в треугольнике $ OMS$:

$$a^{2}=R^{2}+r^{2}-2Rr\cos \alpha \implies \cos \alpha =\dfrac{R^{2}+r^{2}-a^{2}}{2Rr}=\dfrac{2R^{2}-2aR\cos \theta }{2Rr}=\dfrac{R-a\cos \theta }{r}$$

Отсюда прямая освещённость от точечного источника

$$E_{0}(\theta )=\dfrac{I\cos \alpha }{r^{2}}=\dfrac{I(R-a\cos \theta )}{\sqrt {(R^{2}+a^{2}-2aR\cos \theta )^3}}$$

Да, и кстати, поскольку для сферы выполняется геометрическое свойство $\cos\alpha = \dfrac{R^2 + r^2 - a^2}{2Rr}$, я записал эту формулу освещённости в альтернативной и, как мне кажется, более изящной форме через проекцию, использующую инвариант ламбертовой сферы: $E_0(\theta) = \dfrac{I (R^2 - a^2)}{R \cdot r^3}$. Обе формулы эквивалентны.

Теперь рассчитаем многократные переотражения.
По сравнению с зеркальным отражением решение данной задачи во многом упрощается тем, что свет, отраженный от любого элемента поверхности, создает абсолютно равномерную освещенность по всей остальной поверхности сферы.
Полный световой поток, падающий от источника на сферу $\Phi_0 = 4\pi I$.
После первого отражения с коэффициентом $k$ сфера излучает диффузный поток $\Phi_1 = k \Phi_0 = 4\pi k I$.
Этот поток равномерно распределяется по площади сферы $4\pi R^2$, создавая добавку к освещенности $E_1 = \dfrac{k \Phi_0}{4\pi R^2} = \dfrac{k I}{R^2}$.
Процесс повторяется бесконечно в виде геометрической прогрессии со знаменателем $k$:

$$E_{\text{отр}}=E_{1}+kE_{1}+k^{2}E_{1}+\dots =\frac{kI}{R^{2}}\sum _{n=0}^{\infty }k^{n}=\frac{kI}{R^{2}(1-k)}$$

Ну и теперь полная освещенность $E(\theta)$ складывается из прямого света источника и равномерного фона от переотражений:

$$E(\theta )=E_{0}(\theta )+E_{\text{отр}}=\dfrac{I(R^{2}-a^{2})}{R\sqrt {(R^{2}+a^{2}-2aR\cos \theta)^3}}+\dfrac{kI}{R^{2}(1-k)}$$

Если нигде в арифметике не ошибся, то как-то так.
Максимальная освещённость будет в ближайшей к источнику точке сферы с $\theta=0$, а минимальная — соответственно в антиподе этой точки с $\theta=\pi$.

Да, и вопрос к знатокам: как мне растянуть стрелочку вектора $\vec{OM}$ на обе буквы?

[reterty]

Gagarin1968 в сообщении #1729632 писал(а):

Если нигде в арифметике не ошибся, то как-то так.
Максимальная освещённость будет в ближайшей к источнику точке сферы с $\theta=0$, а минимальная — соответственно в антиподе этой точки с $\theta=\pi$.

Все верно! Браво!

[Gagarin1968]

Gagarin1968 в сообщении #1729632 писал(а):

вопрос к знатокам: как мне растянуть стрелочку вектора $\vec{OM}$ на обе буквы?

О, получилось: $\overrightarrow {OM}$
Век живи, век, как грится, учись!

[chislo_avogadro]

Gagarin1968 в сообщении #1729555 писал(а):

Закон сохранения энергии запрещает существование идеальных зеркал с $k = 1$.

Как-то почувствовал диссонанс. Именно закон сохранения энергии?