Фотометрия

[reterty]

В центре сферы радиуса $R$ с зеркальной внутренней поверхностью находится изотропный точечный источник света с силой света $I$. Определить освещенность $E$ произвольной точки ее внутренней поверхности, если коэффициент отражения равен $k$.

[Gagarin1968]

(Оффтоп)

У меня получилось $E=\dfrac{I}{R^{2}(1-k)}$
Вроде нигде не ошибся.

[reterty]

Gagarin1968 в сообщении #1729526 писал(а):

(Оффтоп)

У меня получилось $E=\dfrac{I}{R^{2}(1-k)}$
Вроде нигде не ошибся.

Все верно

[Gagarin1968]

reterty
Задача интересная, но, как мне кажется, на олимпиадную ну никак не тянет.
Ибо самая большая трудность в ней — суммировать геометрическую прогрессию.

[reterty]

Gagarin1968 в сообщении #1729530 писал(а):

reterty
Задача интересная, но, как мне кажется, на олимпиадную ну никак не тянет.
Ибо самая большая трудность в ней — суммировать геометрическую прогрессию.

.... А Вы сдвиньте источник из центра и задача несоизмеримо усложнится. Вместо сферической симметрии появится аксиальная и нужно будет уже искать азимутальное распределение освещенностей.

[Gagarin1968]

reterty в сообщении #1729539 писал(а):

А Вы сдвиньте источник из центра и задача несоизмеримо усложнится

Это да.
Но меня немного заинтересовало, как изменится освещённость, если в условии задачи вместо зеркального отражения внутренней поверхности сферы рассмотреть случай с диффузным отражением.
Прямая освещенность от источника будет такая же как и в случае с зеркальным отражением:

$$E_0=\dfrac{I}{R^2}$$

Полный световой поток от источника равен $\Phi_0 = 4\pi I$, причём сфера полностью улавливает этот поток.
При диффузном рассеянии свет отражается во всех направлениях по закону Ламберта. В данном случае используем геометрическое свойство сферы: свет, диффузно отраженный от любого участка сферы, создает абсолютно равномерную освещенность по всей её внутренней поверхности. И каждый цикл отражения равномерно увеличивает освещенность всех точек.
Теперь суммируем световые потоки.
Поток после первого отражения: $\Phi_1 = k \Phi_0$.
Поток после второго отражения: $\Phi_2 = k^2 \Phi_0$ и т.д.
Суммарный световой поток внутри сферы с учетом всех отражений:

$$\Phi =\Phi _0+k\Phi _0+k^2\Phi _0+\ldots =\dfrac{\Phi _0}{1-k}$$

Разделим полный поток на площадь поверхности сферы $S = 4\pi R^2$:

$$E=\dfrac{\Phi }{4\pi R^2}=\dfrac{4\pi I}{4\pi R^2(1-k)}=\dfrac{I}{R^2(1-k)}$$

Когда я получил этот результат, я минуты две тупо смотрел на него и не мог понять, почему получился тот же результат, что при зеркальном отражении? Фантастика!
Почему характер отражения (зеркальный или диффузный) не влияет на итоговую величину освещённости?
У меня есть только одна версия: из-за идеальной симметрии сферы. Я прошу более грамотных товарищей объяснить сей удивительный факт.

[Parkhomuk]

чет не нравится мне Ваш ответ к исходной задаче. Получается при $k=1$ ответ бесконечность
Наверное задача не адекватная (сферический конь в вакууме?). Что изменится в ответе к этой задаче если мы, захотев получить экспериментальное подтверждение этому результату, засунем туда датчик?

[Gagarin1968]

Parkhomuk в сообщении #1729552 писал(а):

чет не нравится мне Ваш ответ

У меня в ответе нет ни чёта, ни нечета. Что Вы имеете в виду?

Parkhomuk в сообщении #1729552 писал(а):

Получается при $k=1$ ответ бесконечность

Это не так.
Закон сохранения энергии запрещает существование идеальных зеркал с $k = 1$.
Далее, время распространения света в сфере конечно, поэтому предел достигается не мгновенно. А следовательно, на практике при $k \approx 1$ освещенность будет очень высокой, но конечной.

[EUgeneUS]

reterty в сообщении #1729523 писал(а):

Определить освещенность $E$ произвольной точки ее внутренней поверхности, если коэффициент отражения равен $k$.

Сам вопрос некорректен.
Не бывает никаких "освещенностей произвольной точки".
Удолил.
Ибо в вопросе речь не про произвольную точку (внутри сферы), а про произвольную точку внутренней поверхности сферы. Это - корректная постановка вопроса.

[Gagarin1968]

EUgeneUS в сообщении #1729557 писал(а):

Не бывает никаких "освещенностей произвольной точки".

EUgeneUS
Это не так. Формулировка "освещенность произвольной точки" корректна и стандартна и используется в вузовских задачах по фотометрии.
Может быть, Вы спутали освещенность со световым потоком или силой света? Освещенность по определению привязана к точке. Это локальная дифференциальная характеристика. Она определяется как отношение светового потока, падающего на бесконечно малый элемент поверхности, к площади этого элемента, т.е. $E = \dfrac{d\Phi}{dS}$.
А понятие "произвольная точка" означает лишь то, что из-за идеальной сферической симметрии задачи освещенность в любом месте внутренней стенки сферы будет абсолютно одинаковой.
Вы можете выбрать любую (произвольную) точку на сфере, вычислить значение освещённости для неё, и этот результат автоматически распространяется на всю внутреннюю поверхность.
Откройте Савченко или Иродова и частенько увидите эту фразу "определить освещенность произвольной точки".
Или Вы сомневаетесь в их безупречном владении научной терминологией?

[Parkhomuk]

Gagarin1968 в сообщении #1729555 писал(а):

нет ни чёта, ни нечета. Что Вы имеете в виду?

это разговорное от "что-то"

Gagarin1968 в сообщении #1729555 писал(а):

Закон сохранения энергии запрещает существование идеальных зеркал с $k = 1$.

А 0,999999? Я это к тому, что как мне кажется, задача (или предложенное решение) не физична. Получив такой ответ, я захочу убедиться самолично в результате, в итоге мой датчик перекроет тот участок поверхности на котором я его расположу и ответ будет другим (правдоподобным).

[Gagarin1968]

EUgeneUS в сообщении #1729557 писал(а):

Ибо в вопросе речь ... про произвольную точку внутренней поверхности сферы. Это - корректная постановка вопроса.

EUgeneUS
Для чего Вы это написали?
В условии задачи ясно же написано

reterty в сообщении #1729523 писал(а):

Определить освещенность $E$ произвольной точки ее внутренней поверхности

Её — то бишь вышеуказанной сферы. У меня лично никаких разночтений не возникло.

[naskamejke]

А зачем суммировать прогрессию? В равновесии что излучается ($4\pi I$), то и поглощается ($4\pi R^2 E (1-k)$). А если ничего не поглощается, то и равновесия не наступит (пока не расплавится все)

[Gagarin1968]

naskamejke в сообщении #1729565 писал(а):

В равновесии что излучается ($4\pi I$), то и поглощается ($4\pi R^2 E (1-k)$).

naskamejke
Вы имеете в виду метод теплового баланса? Ну, наверное, можно и так.
Только вот если бы в задаче спросили: "Какая освещенность будет через $t$ секунд после включения источника?", то Ваш метод баланса бы не сработал. Пришлось бы считать сумму конечного числа членов прогрессии (успевших выполниться отражений).

[EUgeneUS]

Gagarin1968

(Оффтоп)

Gagarin1968 в сообщении #1729562 писал(а):

Для чего Вы это написали?
В условии задачи ясно же написано

Я ошибся. А вот зачем Вы это написали - вопрос. Ибо я это уже давно исправил (до Вашего сообщения), и своё некорректное утверждение зачеркнул.
UPD: А если у Вас вопрос уже к исправленному варианту, то вообще непонятно - в чём Ваши претензии.
Там в моих словах написано, если пересказать: "в вопросе поверхность задана, вопрос корректный, был не прав".

-- добавлено через 1 минуту --

naskamejke в сообщении #1729565 писал(а):

В равновесии что излучается ($4\pi I$), то и поглощается ($4\pi R^2 E (1-k)$).

Так и надо решать. Причем в этом случае совершенно прозрачно, что в решении
а) используется сферическая симметрия.
б) а вот характер отражения (зеркальный, по закону Ламберта или ещё какой промежуточный) - не используется.

-- добавлено через 4 минуты --

Gagarin1968 в сообщении #1729559 писал(а):

EUgeneUS
Это не так. Формулировка "освещенность произвольной точки" корректна и стандартна и используется в вузовских задачах по фотометрии.
Может быть, Вы спутали освещенность со световым потоком или силой света? Освещенность по определению привязана к точке. Это локальная дифференциальная характеристика. Она определяется как отношение светового потока, падающего на бесконечно малый элемент поверхности, к площади этого элемента, т.е. $E = \dfrac{d\Phi}{dS}$.

"Это не так" - это у Вас.
1. Освещенность это дифференциальная характеристика в точке - это так.
2. Но кроме собственно точки задается (должна задаваться для определения освещенности) ещё нормаль к поверхности.

Поэтому никаких "освещенностей в произвольной заданной точке" не бывает. Бывает освещенность в произвольной заданной точке, лежащей на заданной поверхности.

Вопрос задачи корректен, потому что в вопросе задана поверхность, а значит и её нормаль.