Кортежи из простых чисел

[wrest]

Yadryara в сообщении #1728290 писал(а):

Если бы он полноценно заменял, тогда результат бы сходился. А он не сходится.

Ну асимптотически-то сходится. Полноценно -- это перебор только.
Для того, чтобы понять, где примерно наступает максимум плотности - достаточно наверное и этой формулы. А чтобы получить количество кортежей с погрешностью меньше процента - надо больше констант.

-- добавлено через 3 минуты --

Yadryara в сообщении #1728290 писал(а):

А вы понимаете почему интересующая область примерно от 0 до 1e21 — 1e23 ?

Я не хочу играть с вами в загадки. :)
Считайте, что на ваши вопросы "а вы понимаете..." ответ по умолчанию "нет, не понимаю".

-- добавлено через 3 минуты --

Yadryara в сообщении #1728290 писал(а):

Так о чём и речь. Претендуйте.

Зачем?

Yadryara в сообщении #1728290 писал(а):

Я вроде бы всё рассказал и показал, ни одного секрета за пазухой не утаил. Или всё-таки какой-то момент остался непонятен?

Ну, хотелось бы увидеть изложение вычисления что вы там вычисляете не в виде "читайте тему, там всё есть" или скриптов pari/gp, а в виде ясных формул, от начала до конца. Но это так, если вдруг вам делать нечего будет :) Теорминимум, короче.

[Yadryara]

wrest в сообщении #1728291 писал(а):

Считайте, что на ваши вопросы "а вы понимаете..." ответ по умолчанию "нет, не понимаю".

Ну я-то полагал что уж эту-то тему, где всего 15 страниц, вы прочитали и видели какую задачу Дмитрий предлагал.

wrest в сообщении #1728291 писал(а):

Зачем?

Например для того, чтобы решать задачи.

wrest в сообщении #1728291 писал(а):

Ну, хотелось бы увидеть изложение вычисления что вы там вычисляете не в виде "читайте тему, там всё есть" или скриптов pari/gp, а в виде ясных формул, от начала до конца.

Хорошо. От начала и до конца. С чего начнём? С самой формулы HL1, примерно 1922-23 года выпуска?

[wrest]

Yadryara в сообщении #1728297 писал(а):

Хорошо. От начала и до конца. С чего начнём? С самой формулы HL1, примерно 1922-23 года выпуска?

Конечно. С начала. И лучше в одном посте, чтобы ссылаться и смотреть время от времени.

-- добавлено через 21 минуту --

Yadryara в сообщении #1728297 писал(а):

Ну я-то полагал что уж эту-то тему, где всего 15 страниц, вы прочитали и видели какую задачу Дмитрий предлагал.

Нет, в темах к сожалению всё отрывочно и загадочно - типа читаем тут, потом три поста из соседней темы, которые ссылаются на два поста из соседней к той, два на ум пошло и тому подобное.

[Yadryara]

wrest в сообщении #1728298 писал(а):

Нет, в темах к сожалению всё отрывочно и загадочно - типа читаем тут, потом три поста из соседней темы, которые ссылаются на два поста из соседней к той, два на ум пошло и тому подобное.

Ну я как раз об этом и говорил, что не хочу скакать из темы в тему, чтобы было легче разобраться. Однако же мы (с вами) скакали.

wrest в сообщении #1728298 писал(а):

С начала. И лучше в одном посте, чтобы ссылаться и смотреть время от времени.

Для меня это совершенно нереально. Мало того что задача непростая, так я ещё и люблю лирические отступления.

https://en.wikipedia.org/wiki/First_Har ... conjecture
https://mathworld.wolfram.com/k-TupleConjecture.html
https://mathworld.wolfram.com/PrimeConstellation.html

Вот формула:

$$C(m_1,m_2,...,m_k)=2^k\prod_{p>2}^{\infty}\frac{1-\frac{w(p;m_1,m_2,...,m_k)}p}{{(1-\frac1p)^{k+1}}}$$

Для близнецов она даёт

$$C(2)=2\prod_{p>2}^{\infty}\frac{p(p - 2)}{(p - 1)^2}\approx 1.320323632$$

Но в современных наших обозначениях это не C(2), а C0.

[Yadryara]

11 дней прошло — wrest пока молчит. Вдруг неинтересно стало или уже непонятно?

Я в это время не бездействовал — например собирал статистику по паттерну [0, 60].

Нет, разворота не произошло ни на втором, ни на третьем, ни на 12-м триллионе:

Кортежей        Рост
на          в полных
триллион     тысячах

521616481
535345192      13728
538921769       3576
540899354       1977
542229029       1329
543178469        949
543953423        774
544569418        615
545076235        506
545447607        371
545829503        381
546105425        275

[Yadryara]

wrest в сообщении #1728283 писал(а):

Я же не претендую на знание сокровенной формулы точного подсчёта кортежей :) Это ваша поляна

И я не претендую. Хотя спрашивал про аналог точной формулы Римана. Не для простых чисел, а для кортежей из них.

wrest в сообщении #1728283 писал(а):

Но заметьте: последний множитель тут
$E(N) = 10^6 \cdot \frac{4.225}{(N \ln 10)^2} \cdot \exp\left( - \frac{210}{N \ln 10} \right) $
Как раз и отсекает загрязнённые кортежи. То есть, он заменяет собой знакомпеременную сумму включений-исключений.

А для кортежей [0, 60] будет такая формула?

$E(N) = 10^6 \cdot \frac{3.521}{(N \ln 10)^2} \cdot \exp\left( - \frac{60}{N \ln 10} \right) $

[Yadryara]

Всё-таки HL1 — жутко точная штука. Вот, посчитал для этого паттерна все 15 констант и сравнил:

Интервал           К  о  р  т  е  ж  е  й
e11                Прогноз           Факт

1 — 2              51210441      51210028
2 — 3              51861525      51868092


Интервал           К  о  р  т  е  ж  е  й
e12                Прогноз           Факт

1 — 2              535346542    535345192
2 — 3              538908939    538921769
3 — 4              540904583    540899354

[Yadryara]

Н-да. HL1 показывает максимум кортежей [0, 60] аж на 106-м триллионе.
Увеличу интервал в 10 раз и покажу интервалы по 10 триллионов в каждом, кроме первого:

Интервал           К  о  р  т  е  ж  е  й
e13                Прогноз

1 — 2              5468640553
2 — 3              5481730625
3 — 4              5487846399
4 — 5              5491258431
5 — 6              5493312773
6 — 7              5494585931
7 — 8              5495369591
8 — 9              5495828054
9 — 10             5496061123
10 — 11            5496132929
11 — 12            5496086517

Далее буду смотреть по формуле wrestа-LLM.

[Yadryara]

wrest

Может я чё-то не так делаю? По вашей формуле спад идёт уже даже до 20-го триллиона:

? {calc(n) = my(ln_n = log(n)); 10^13 * 3.521 / ln_n^2 * exp(-60 / ln_n)}
%1 = (n)->my(ln_n=log(n));10^13*3.521/ln_n^2*exp(-60/ln_n)
? calc(1*10^13)
%2 = 5294591015.9853626344624519836095570040
? calc(2*10^13)
%3 = 5292369472.1537738654053378682674921337
? calc(3*10^13)
%4 = 5288629143.3280322895892111333190990933

Вот сравнения:

    HL1                     wrest-LLM
1e13 — 2e13        1e13                   2e13
5468640553         5294591016       5292369472

    HL1                     wrest-LLM
1e13 — 2e13        2e13                   3e13
5481730625         5292369472       5288629143

И расхождения уже неслабые.

[wrest]

Yadryara в сообщении #1729581 писал(а):

Может я чё-то не так делаю? По вашей формуле спад идёт уже даже до 20-го триллиона:

Ну значит формула негодная.
Но где-то спад таки должен быть, ведь плотность-то простых чисел, а с ними и кортежей, в итоге падает.

[Yadryara]

wrest в сообщении #1729589 писал(а):

Но где-то спад таки должен быть,

В смысле где-то должен быть? По HL1 у меня получилось что спад где-то после 106-го триллиона, а по вашей — после 11-го:

? {calc(n) = my(ln_n = log(n)); 10^12 * 3.521 / ln_n^2 * exp(-60 / ln_n)}
%11 = (n)->my(ln_n=log(n));10^12*3.521/ln_n^2*exp(-60/ln_n)
? calc(6*10^12)
%12 = 529260593.13307381698856338738711756974
? calc(7*10^12)
%13 = 529354405.12325221197409464440619496354
? calc(8*10^12)
%14 = 529411745.77197365518381807354388334747
? calc(9*10^12)
%15 = 529444215.17626568058757031694376164513
? calc(10*10^12)
%16 = 529459101.59853626344624519836095570041
? calc(11*10^12)
%17 = 529461211.25696909397876860808453570077
? calc(12*10^12)
%18 = 529453836.96144418788577595836754225322

Ну и фактические количества кортежей у меня нынче посчитаны до 15 триллионов включительно:

521616481
535345192   13728
538921769    3576
540899354    1977
542229029    1329
543178469     949
543953423     774
544569418     615
545076235     506
545447607     371
545829503     381
546105425     275
546436484     331
546588506     152
546805749     217

[wrest]

Yadryara в сообщении #1729542 писал(а):

А для кортежей [0, 60] будет такая формула?

$E(N) = 10^6 \cdot \frac{3.521}{(N \ln 10)^2} \cdot \exp\left( - \frac{60}{N \ln 10} \right) $

Да. Почему собсно там $\cdot \exp\left( - \frac{60}{N \ln 10}\right)$
Потому что разложение в ряд Тейлора $e^{-x}=1 - x + x^2/2 - x^3/6 + x^4/24 - x^5/120 + ...$ как раз и является суммой по формуле включений-исключений, но с одним и тем же безымянным коэффициентом. Тут видимо и погрешность залезает.

-- добавлено через 29 минут --

Yadryara в сообщении #1729590 писал(а):

Ну и фактические количества кортежей у меня нынче посчитаны до 15 триллионов включительно:

Я не понял что там за числа после этих слов, так что скажите: и что, падает плотность после 11-го трллиона?

[Yadryara]

wrest в сообщении #1729596 писал(а):

Я не понял что там за числа после этих слов, так что скажите: и что, падает плотность после 11-го трллиона?

Шапка та же самая, что и выше:

Кортежей        Рост
на          в полных
триллион     тысячах

521616481
535345192      13728
538921769       3576
540899354       1977
542229029       1329
543178469        949
543953423        774
544569418        615
545076235        506
545447607        371
545829503        381
546105425        275
546436484        331
546588506        152
546805749        217

Нет конечно, не падает: видно же что последний прирост на 15-м триллионе составляет 217 тысяч кортежей. Количество кортежей будет расти вплоть до 106-го триллиона. Так гласит HL1 и я ей верю.

[wrest]

Yadryara в сообщении #1729598 писал(а):

Нет конечно, не падает: видно же что последний прирост на 15-м триллионе

Вам виднее, но я не вижу в колонках цифр "15-й триллион".

[Yadryara]

А так?

Интервал      Кортежей        Рост
в             на          в полных
триллионах    триллион     тысячах
0 — 1        521616481
1 — 2        535345192       13728
2 — 3        538921769        3576
3 — 4        540899354        1977
4 — 5        542229029        1329
5 — 6        543178469         949
6 — 7        543953423         774
7 — 8        544569418         615
8 — 9        545076235         506
9 — 10       545447607         371
10 — 11      545829503         381
11 — 12      546105425         275
12 — 13      546436484         331
13 — 14      546588506         152
14 — 15      546805749         217