Кортежи из простых чисел

[wrest]

Yadryara в сообщении #1728257 писал(а):

Вы разве не видите, что для [0, 210] это не так??

А как?

[Yadryara]

Вот так:

Паттерн [0, 210]

Диапазон от 0 до        Кортежей     Кортежей/млрд

             1e8               2                20
             1e9              48                48
            1e10            1531               153
            1e11           41968               420
             59#      3.72924e16             19395
             61#      2.83759e18             24193

[wrest]

Yadryara в сообщении #1728257 писал(а):

но вроде где-то повыше чем 1e45, тогда да, начнёт падать.

Хм... интересно. То есть для оценки там достаточно перебрать всего миллион-другой.
Должно быть какое-то объяснение и оценка где максимум и чему равен.

[Yadryara]

Теперь возвращаюсь к 11-168-10. Посчитаю ожидаемое количество кортежей в конце интервала 0 — 71#:

Интервал e16                         Кортежей

55794083008 — 55794083009     2.0765693844113
55794083009 — 55794083010     2.0765693844058       55
55794083010 — 55794083011     2.0765693844003       55
55794083011 — 55794083012     2.0765693843948       55
55794083012 — 55794083013     2.0765693843893       55

Ну то бишь два кортежа на тот же интервал, который брал выше — 1e16. Ожидается снижение плотности по сравнению с концом интервала 0 — 53# в 15.59 раза:

32.374 / 2.0766 ~ 15.59

[Yadryara]

wrest
Давайте возьмём пока гэп поменьше — 60. Кстати, даже если по ярду считать, то флуктуации будь здоров получаются:

(Первые 30 ярдов)

? forstep(sta = 0, 29e9, 1e9, w=n=0; forprime(p=sta, sta + 1e9, if(p-w==60, n++); w=p); print(n))
371839
417615
432757
440966
448068
451517
455865
459648
462161
464450
467619
468837
470867
473087
473587
475617
475881
476385
479158
478555
480314
481426
483392
482916
484542
484920
485235
485228
486227
486872

Увеличим выборку до 10 ярдов и посчитаем первый триллион:

(Первый триллион)

? forstep(sta = 0, 99e10,1e10, w=n=0; forprime(p=sta, sta + 1e10, if(p-w==60, n++); w=p); print(n))
4404886
4739593
4841072
4900072
4945783
4973263
5002489
5029470
5042688
5059631
5075192
5087206
5098501
5110757
5119072
5127177
5137964
5142980
5151177
5160002
5162338
5168624
5175013
5183172
5188002
5189988
5194436
5198096
5205675
5202748
5207485
5216369
5214667
5220308
5226401
5226631
5233370
5230787
5235034
5236669
5232506
5239231
5243013
5248083
5247534
5254086
5256710
5254097
5256928
5264622
5261752
5262847
5266761
5268200
5268019
5271801
5272395
5272443
5274589
5280728
5280702
5284240
5282022
5290204
5286318
5285813
5289475
5294340
5288752
5290853
5294152
5294956
5295614
5298948
5298517
5296557
5303225
5299908
5301226
5303872
5305456
5306462
5306544
5308789
5309656
5312296
5310422
5313669
5314717
5314328
5315177
5315195
5320730
5319767
5318869
5319772
5320879
5319748
5323551
5319627

Тренд так и не развернулся толком, хотя вроде бы собирался.

Возьмётесь самостоятельно посчитать точку разворота по HL1 или это сделать мне?

[wrest]

Yadryara
Я посчитал кортеж [0,210] по порядкам до 10^50, брал диапазон - случайный миллион в каждом порядке.

[Yadryara]

wrest
Не вижу. Написано: "Изображение". И значок.

-- добавлено через 2 минуты --

Да, вот теперь вижу. А какова теоретическая формула?

[wrest]

Yadryara в сообщении #1728270 писал(а):

А какова теоретическая формула?

$E(N) = 10^6 \cdot \frac{4.225}{(N \ln 10)^2} \cdot \exp\left( - \frac{210}{N \ln 10} \right) $

-- добавлено через 52 минуты --

Досчиталось до 10^60

[Yadryara]

wrest в сообщении #1728272 писал(а):

$E(N) = 10^6 \cdot \frac{4.225}{(N \ln 10)^2} \cdot \exp\left( - \frac{210}{N \ln 10} \right) $

Не понял юмора:

? \p 60
? n = 1.17288e23;
? 10^6 * 4.225 / (n * log(10))^2 * exp(-210 / (n * log(10)))
%81 = 5.79279519730188265120802489618997788055960368723738889382181 E-41

[wrest]

Yadryara в сообщении #1728274 писал(а):

Не понял юмора:

N это порядок, для которого строим точку на графике :)

? \\ N - это ПОРЯДОК (количество цифр), а не само число!
? N = 50;
?
? \\ Правильная формула
? E = 10^6 * 4.225 / (N * log(10))^2 * exp(-210 / (N * log(10)))
%4 = 51.438251764055064725237406889647909342
?

[wrest]

wrest в сообщении #1728272 писал(а):

какова теоретическая формула?

$E(N) = 10^6 \cdot \frac{4.225}{(N \ln 10)^2} \cdot \exp\left( - \frac{210}{N \ln 10} \right) $

Соответственно, максимум при N=45,6 (это порядок) а сам максимум равен 51,9 (плотность: кортежей на отрезке длиной 10^6)

Положение максимума от константы не зависит, сам максимум ессно зависит.
Ну вот опять: надо правильно вычислять константу. Тут вроде подошла 4,225 :)

https://m.wolframalpha.com/input?i=maxi ... 29&lang=en

[Yadryara]

Окей. Я привык что n это число. Порядок у меня обычно po сразу по двум причинам, это и power (степень) и poryadok.

? {calc(n) = my(ln_n = log(n)); 10^6 * 4.225 / ln_n^2 * exp(-210 / ln_n)}
%96 = (n)->my(ln_n=log(n));10^6*4.225/ln_n^2*exp(-210/ln_n)
? calc(10^50)
%97 = 51.438251764055064725
? calc(1.17288 * 10^23)
%98 = 28.733676116765598491
? calc(0.35*1.17288 * 10^23)
%99 = 27.612931099201557604

Но ранее я уже выяснил (с использованием ваших монтекарловских чисел), что в этом диапазоне (то есть 0 — 61#) плотность таких кортежей 24.2 на миллион. А не 28 и не 27. См. таблицу на этой странице.

В вашей формуле только одна константа C0, а в той формуле HL1 их 20 штук — от C0 до C19.

-- добавлено через 4 минуты --

wrest в сообщении #1728279 писал(а):

Тут вроде подошла 4,225 :)

Да, это C0, вот она в файле записана:

vC= [4.22503562141998918414296

[wrest]

Yadryara в сообщении #1728280 писал(а):

В вашей формуле только одна константа C0, а в той формуле HL1 их 20 штук — от C0 до C19.

Ну да. Но их трудно вычислять, сумма плохо сходится и всё такое. Это же график для понимания где кривая плотности завернёт вниз :)

Я же не претендую на знание сокровенной формулы точного подсчёта кортежей :) Это ваша поляна

[wrest]

Yadryara в сообщении #1728280 писал(а):

В вашей формуле только одна константа C0, а в той формуле HL1 их 20 штук — от C0 до C19.

Ну да. Но их трудно вычислять, сумма плохо сходится и всё такое. Это же график для понимания где кривая плотности завернёт вниз :)

Я же не претендую на знание сокровенной формулы точного подсчёта кортежей :) Это ваша поляна

Где-то к 10^30 загрязнения начинают пропадать, как видно, и формула по только первой константе начинает давать лучшие приближения. Я визуально подвигал график и пошевелил константу. При сдвиге красной кривой на 2 единицы вправо становится покрасивее картинка:


-- добавлено через 22 минуты --

Yadryara

Но заметьте: последний множитель тут

wrest в сообщении #1728272 писал(а):

А какова теоретическая формула?

$E(N) = 10^6 \cdot \frac{4.225}{(N \ln 10)^2} \cdot \exp\left( - \frac{210}{N \ln 10} \right) $

Как раз и отсекает загрязнённые кортежи. То есть, он заменяет собой знакомпеременную сумму включений-исключений.

[Yadryara]

wrest в сообщении #1728283 писал(а):

То есть, он заменяет собой знакомпеременную сумму включений-исключений.

Если бы он полноценно заменял, тогда результат бы сходился. А он не сходится. Вы обратили внимание насколько тщательно я вычислял реальное количество кортежей?

А вы понимаете почему интересующая область примерно от 0 до 1e21 — 1e23 ?

wrest в сообщении #1728283 писал(а):

Я же не претендую на знание сокровенной формулы точного подсчёта кортежей :) Это ваша поляна

Так о чём и речь. Претендуйте. Я вроде бы всё рассказал и показал, ни одного секрета за пазухой не утаил. Или всё-таки какой-то момент остался непонятен?