Логики 0, 1 и 2 порядков.

[Vladimir Pliassov]

tolstopuz в сообщении #1729054 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1729003 писал(а):

tolstopuz в сообщении #1728903 писал(а):

Тогда попробуйте посчитать $\bot \oplus [\top \oplus \top \oplus \top]$.

Результат будет тот же -- $\top$,

И как же это согласуется с вашим предыдущим

Vladimir Pliassov в сообщении #1728711 писал(а):

6). Определение строгой дизъюнкции ($\oplus $): Операция, предписывающая выбор строго одного из указанных компонентов при обязательном исключении остальных.

Я наконец понял, к чему Вы меня подводили. Конечно, определение строгой дизъюнкции надо взять стандартное:

6). Определение строгой дизъюнкции ($\oplus $): Операция, предписывающая выбор нечетного числа операндов при обязательном исключении остальных.

Но у меня в аксиоматике есть

3). Правило противоречия для выбора: Одновременный выбор элемента и его синтаксического отрицания (или одновременный выбор и не-выбор одного и того же элемента) в рамках одного рассуждения запрещён, так как это уничтожает синтаксическую определённость системы. может быть либо "выбран" (включен в контур рассуждения), либо "не выбран" (исключен из него). Одновременный выбор элемента и его отрицания запрещен, так как это уничтожает синтаксическую определенность системы. (Оно несколько многословное.)

Поэтому из формулы

$$(A\wedge \neg B)\oplus [(\neg A\wedge \neg B)\oplus (\neg A\wedge B)\oplus (A\wedge B)]$$

удастся выбирать только по одной конъюнкции.

tolstopuz в сообщении #1729054 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1729003 писал(а):

tolstopuz в сообщении #1728903 писал(а):

Что такое выводимость?

Если существует вывод данной формулы

И что же такое вывод?

У Клини определения не нашел, но на гугле такое:

Цитата:

В математической логике выводом из множества гипотез называется конечная последовательность формул, в которой каждая формула является либо аксиомой, либо гипотезой из данного множества, либо получена из предыдущих формул последовательности по одному из правил вывода.

[tolstopuz]

Vladimir Pliassov в сообщении #1729083 писал(а):

6). Определение строгой дизъюнкции ($\oplus $): Операция, предписывающая выбор нечетного числа операндов при обязательном исключении остальных.

А зачем вам это нужно? Вы где-то используете тот факт, что $1$ или $3$ операнда могут быть истинными, а $2$ не могут?

Vladimir Pliassov в сообщении #1729003 писал(а):

Если существует вывод данной формулы $B$ из $A_1, \cdots , A_m$, то говорим, что $B$ выводима из $A_1, \cdots , A_m$, и пишем $A_1, \cdots , A_m\vdash B$.

Vladimir Pliassov в сообщении #1729083 писал(а):

В математической логике выводом из множества гипотез называется конечная последовательность формул, в которой каждая формула является либо аксиомой, либо гипотезой из данного множества, либо получена из предыдущих формул последовательности по одному из правил вывода.

Отлично, теперь обоснуйте свою фразу:

Vladimir Pliassov в сообщении #1728711 писал(а):

Таким образом, на основе комбинаторного анализа общих элементов нами конструктивно обоснована выводимость $\neg (A\land \neg B)\vdash \neg A\lor B$.

[Vladimir Pliassov]

tolstopuz в сообщении #1729084 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1729083 писал(а):

6). Определение строгой дизъюнкции ($\oplus $): Операция, предписывающая выбор нечетного числа операндов при обязательном исключении остальных.

А зачем вам это нужно? Вы где-то используете тот факт, что $1$ или $3$ операнда могут быть истинными, а $2$ не могут?

Вы имеете в виду, что здесь не нужна строгая дизъюнкция ($\oplus$), достаточно нестрогой дизъюнкции ($\vee$)?
Наверное, это так и есть.

Должен признаться, что еще вчера я думал, что при строгой дизъюнкции, независимо от числа операндов, только один из них может быть истинным. Такая строгая дизъюнкция, как я потом прочитал, тоже существует, но не применяется в математической логике. И хотя я думаю, что ее применение в в математической логике не исключено, но в моем случае, как я теперь считаю, не надо никакой строгой дизъюнкции, особенно учитывая, что при применении ее "математического варианта" здесь нужен еще дополнительный "костыль" в виде "3). Правила противоречия для выбора: Одновременный выбор элемента и его (написано "синтаксического", но это слово уберем -- об этом ниже) отрицания (или одновременный выбор и не-выбор одного и того же элемента) в рамках одного рассуждения запрещён".

Кстати, о выборе.

mihaild в сообщении #1728717 писал(а):

дальше появляется какой-то "выбор"

У меня "выбор" это синоним истинности высказывания.

Vladimir Pliassov в сообщении #1729003 писал(а):

Если существует вывод данной формулы $B$ из $A_1, \cdots , A_m$, то говорим, что $B$ выводима из $A_1, \cdots , A_m$, и пишем $A_1, \cdots , A_m\vdash B$.

Vladimir Pliassov в сообщении #1729083 писал(а):

В математической логике выводом из множества гипотез называется конечная последовательность формул, в которой каждая формула является либо аксиомой, либо гипотезой из данного множества, либо получена из предыдущих формул последовательности по одному из правил вывода.

tolstopuz в сообщении #1729084 писал(а):

Отлично, теперь обоснуйте свою фразу:

Vladimir Pliassov в сообщении #1728711 писал(а):

Таким образом, на основе комбинаторного анализа общих элементов нами конструктивно обоснована выводимость $\neg (A\land \neg B)\vdash \neg A\lor B$.

Наверное, правильнее написать: "конструктивно обоснована эквивалентность высказываний $\neg (A\land \neg B)$ и $\neg A\lor B$". И еще добавить: "семантически (обоснована)", потому что синтаксиса в этом обосновании нет.

А так как синтаксиса нет, то и о выводе говорить не приходится, ибо вывод бывает только в синтаксисе, но не в семантике. Или я ошибаюсь?

Но само обоснование есть (хоть и семантическое)?

И еще: оно ведь (если есть) конструктивное?

[tolstopuz]

Vladimir Pliassov в сообщении #1729148 писал(а):

Но само обоснование есть (хоть и семантическое)

Текст выглядит так, как будто Веничка Ерофеев взял с собой в Петушки две таблицы истинности и по дороге придумал персонажей, сюжет и развязку. Не мог же он просто сравнить их, ничего не выпив. К математике текст имеет мало отношения.

Vladimir Pliassov в сообщении #1729148 писал(а):

И еще: оно ведь (если есть) конструктивное?

Неконструктивно заблудиться в четырех соснах надо еще постараться.

[Vladimir Pliassov]

tolstopuz в сообщении #1729185 писал(а):

Текст выглядит так, как будто Веничка Ерофеев взял с собой в Петушки две таблицы истинности и по дороге придумал персонажей, сюжет и развязку. Не мог же он просто сравнить их, ничего не выпив. К математике текст имеет мало отношения.

Вы имеете в виду текст попытки обоснования?

[tolstopuz]

Vladimir Pliassov в сообщении #1729186 писал(а):

tolstopuz в сообщении #1729185 писал(а):

Текст выглядит так, как будто Веничка Ерофеев

Вы имеете в виду текст попытки обоснования?

Да. Если хочется семантически и конструктивно, то вполне достаточно сравнить таблицы истинности левой и правой части. Зачем остальное - непонятно.

[Vladimir Pliassov]

tolstopuz в сообщении #1729192 писал(а):

Если хочется семантически и конструктивно, то вполне достаточно сравнить таблицы истинности левой и правой части. Зачем остальное - непонятно.

Конструктивно с таблицей истинности это если вы ее сами сконструировали, а если вам ее просто дали и сказали на что нажимать, то, по-моему, это не конструктивно. Я ее, как мне кажется, сконструировал (об этом в первом сообщении темы) -- хотя, по своему невежеству, не смог эту конструкцию строго описать -- так что теперь мог бы ею пользоваться, и это было бы конструктивно. Но мне не хотелось ею пользоваться, и я сконструировал импликации $\neg (P\land Q)\to \neg P\lor \neg Q$ и $\neg (P\lor Q)\to \neg P\land \neg Q$ (хотя опять не смог дать правильного описания).

В одном из предыдущих постов я написал: "обоснована эквивалентность высказываний $\neg (A\land \neg B)$ и $\neg A\lor B$", -- но это не так: импликации $(\neg A\lor B)\to \neg (A\land \neg B)$ я не обосновывал, это по моему методу, я думаю, невозможно: я исходил не из истинности, а из ложности дизъюнкции (и, соответственно, из ложности конъюнкции).

[tolstopuz]

Vladimir Pliassov в сообщении #1729202 писал(а):

Конструктивно с таблицей истинности это если вы ее сами сконструировали

Вам нужно несколько страниц текста и целый пантеон мутных понятий, чтобы самому сконструировать таблицу истинности для $P\land Q$? Или чтобы поменять в ней местами $0$ и $1$?

[Vladimir Pliassov]

tolstopuz в сообщении #1729206 писал(а):

Вам нужно несколько страниц текста и целый пантеон мутных понятий, чтобы самому сконструировать таблицу истинности для $P\land Q$? Или чтобы поменять в ней местами $0$ и $1$?

Я конструировал таблицу не для $P\land Q$, а для $P\to Q$, для $P\land Q$ она и так мне интуитивно понятна (как, я думаю, и всем).

А изобретал я этот велосипед, чтобы понять, как он устроен, и по-моему, понял, так что теперь часто использую таблицы истинности без внутренней неудовлетворенности. Но понял я еще далеко не все в логике (математике), и мне предстоит изобрести еще много велосипедов (если хватит жизни).

Кстати, хотел бы еще раз поблагодарить Вас и других участников за помощь, она для меня существенна.

[epros]

Vladimir Pliassov, вся эта тема - ни о чём. Вы начали с довольно спорного утверждения: “ Каждое высказывание либо истинно, либо ложно", - и ухитрились развернуть его в эти "многабукф".

В конце концов, если это Ваш символ веры, то всё, что Вам нужно было сделать после этого, выписать таблицы значений всех 16 возможных отображений $B^2 \mapsto B$ и методом тупого перебора их всех убедиться, что для выражения слова "следует" из них ничто не подходит лучше, чем известная таблица значений истинности классической импликации. На этом всё многобуквие данной темы должно было бы закончиться.

[Vladimir Pliassov]

epros в сообщении #1729457 писал(а):

В конце концов, если это Ваш символ веры, то всё, что Вам нужно было сделать после этого, выписать таблицы значений всех 16 возможных отображений $B^2 \mapsto B$ и методом тупого перебора их всех убедиться, что для выражения слова "следует" из них ничто не подходит лучше, чем известная таблица значений истинности классической импликации.

Думаю, Вы не поняли моих намерений: я попытался обосновать таблицу истинности по

Определению. Те высказывания, которые следуют из условий, назовем истинными, а те, которые не следуют из условий -- ложными.

Сразу скажу, что это определение я сегодня решил заменить на

Определение. Те высказывания, которые семантически следуют из условий, назовем истинными, а те, которые семантически не следуют из условий -- ложными, --

потому что сегодня мне пришла идея, что все написанное в первом сообщении можно изложить в семантике, тогда, во всяком случае, не будет смешения семантики и синтаксиса, за что меня, в частности, поругали на форуме.

Должен признаться еще и в том (я уже в чем-то признавался недавно), что когда я выкладывал первое сообщение этой темы, я не имел никакого представления ни о семантике, ни о синтаксисе. Но когда меня поругали, постарался восполнить этот пробел.

Сейчас работаю над новым вариантом своей попытки. Надеюсь, что, если я его представлю, у Вас будет меньше оснований для критики.

("Логикой" Клини занимаюсь.)

[tolstopuz]

Vladimir Pliassov в сообщении #1729508 писал(а):

высказывания, которые семантически следуют из условий

Что это вообще означает?

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1729508 писал(а):

Определение. Те высказывания, которые семантически следуют из условий, назовем истинными, а те, которые семантически не следуют из условий -- ложными,

А я предлагаю такое определение: те высказывания, при подстановке которых в антецедент и консеквент классической импликации получается истинная импликация, назовём "семантически следующими" друг из друга, а все прочие - "семантически не следующими" друг из друга.

[Vladimir Pliassov]

Обозначим оценочное высказывание $v(A\wedge \neg B)=\bot$ через $\Gamma$, оценочное высказывание $v(A)=\top$ -- через $P$, оценочное высказывание $v(B)=\top$ -- через $Q$. Можем ли мы (по Генцену) сделать такой вывод:

$$\frac{\Gamma, P\vdash Q}{\Gamma \vdash P\rightarrow Q} \eqno (1)$$

Ведь для синтаксиса не важно, что значат буквы?

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1729658 писал(а):

оценочное высказывание $v(A\wedge \neg B)=\bot$

Что это за логика, в которой помимо обычных высказываний $A$ и $B$ есть ещё "оценочные"? По-моему, это масло масляное, говорить вместо "солнце село" что-нибудь вроде: "то, что солнце село, истина".