Элементарная алгебра для отстающих

[wrest]

horda2501 в сообщении #1727441 писал(а):

Предлагается выполнить действие: $(a-b):(\sqrt{a}-\sqrt{b})$. Не пойму что нужно делать. (Ответ: $\sqrt{a}+\sqrt{b}$).

А проверить, что ответ правильный, можете?
Ну то есть, вот вам говорят, например что A:B=C
Как это можно проверить? Как проверить, что 10:5=2 если вы не умеете делить?

[Mihr]

wrest в сообщении #1727458 писал(а):

А проверить, что ответ правильный, можете?

Извините, по-моему, это не лучший совет. Сложно научиться решать задачи, просто проверяя справедливость ответов.

horda2501, вот начало цепочки рассуждений:

$$\dfrac{a-b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\dfrac{(\sqrt{a})^2-(\sqrt{b})^2}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=...$$

Попробуйте продолжить сами. Вспомнив, как раскладывается на множители разность квадратов.

[wrest]

Mihr в сообщении #1727465 писал(а):

Извините, по-моему, это не лучший совет. Сложно научиться решать задачи, просто проверяя справедливость ответов.

Извините, по-моему, в данном конкретном случае это не так.

[Klein]

Нормальная задача. Сейчас похожие задания дают в первом вопросе ДВИ при поступлении на мехмат МГУ. Сами можете проверить. Возможно что-то уже изменилось.


Упростим

$\displaystyle \frac{a-b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}},$

где $a,b > 0$ и $a\ne b$.

Умножим на единицу, записанную в виде

$\displaystyle 1= \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}.$

Тогда
$\displaystyle \begin{aligned} \frac{a-b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} &= \frac{(a-b)(\sqrt{a}+\sqrt{b})} {(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}. \end{aligned}$

Используя формулу разности квадратов, получаем

$\displaystyle (\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b}) = a-b.$

Следовательно,

$\displaystyle \frac{(a-b)(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{a-b} = \sqrt{a}+\sqrt{b}.$

Таким образом,

$\displaystyle \frac{a-b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} = \sqrt{a}+\sqrt{b}.$

[horda2501]

Klein, изящно. Спасибо! У меня решение зашло в тупик в виде: $\sqrt{a}-(\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})((\sqrt{a})^2-\sqrt{ab}-(\sqrt{b})^2)}{\sqrt{ab}})+\sqrt{b}$. (Полагаю, что не стоит внимания).

[Mihr]

horda2501 в сообщении #1727531 писал(а):

изящно

Конечно, это дело вкуса, но домножение на единицу - совершенно излишне, по-моему.

$$\dfrac{a-b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\dfrac{(\sqrt{a})^2-(\sqrt{b})^2}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\dfrac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$$

- и вся любовь, как говорится. Ну, если Вы "не ищете лёгких путей", тогда другое дело

[Klein]

Mihr в сообщении #1727534 писал(а):

horda2501 в сообщении #1727531 писал(а):

изящно

Конечно, это дело вкуса, но домножение на единицу - совершенно излишне, по-моему.

$$\dfrac{a-b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\dfrac{(\sqrt{a})^2-(\sqrt{b})^2}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\dfrac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$$

- и вся любовь, как говорится. Ну, если Вы "не ищете лёгких путей", тогда другое дело

В данном случае это скорее лишнее. В других случаях нет. Я неслучайно писал, что похожие задания дают на экзаменах - например, задания на рационализацию знаменателя.

[horda2501]

Здравствуйте! Нужно "найти значение выражения": $\frac{4-3\sqrt{2}}{(\sqrt[4]{2}-\sqrt[4]{8})^2}$. Ответ: $-1$. Пыталась пробовать различные перегруппировки и вынесения общего множителя за скобки, но у меня ничего не вышло. Нужна помощь.

[Mikhail_K]

horda2501
А раскрыть квадрат в знаменателе пробовали?

[Лукомор]

horda2501 в сообщении #1728569 писал(а):

у меня ничего не вышло.

Это потому, что математику за седьмой класс Вы уже прошли... мимо.
Чтобы в этом убедиться, возьмите листок бумажки, ручку и секундомер.
И немедленно, никуда не подглядывая, напишите по памяти формулы сокращённого умножения.хотя бы первые три: квадрат суммы, квадрат разности, и разность квадратов.
Если не уложились в 45 секунд, значит, изучая эту тему, Вы их не вызубрили, как " Отче наш...", и не решили стопятьсот примеров, чтобы довести до автоматизма технический навык.
Возвращайтесь к истокам...
Зубрите, решайте примеры, трудитесь.
И будет Вам счастье!

[Neznajka_]

horda2501
Не смотрите решение, которое Вам дальше напишут, попробуйте сами.
Если Вы понимаете, как (изначально) упростить квадрат разности в знаменателе, то разберитесь в темах (9-го класса) - "(арифметический) корень n-степени, его свойства" и "степень с рациональным показателем, её свойства". Если не понимаете, тогда проходите заново всё с 7-го класса.
Чем быстрее поймёте и примете то, что математику следует изучать строго последовательно, и для каждой темы надо самостоятельно (!) сделать от нескольких десятков заданий - тем скорей Вы её (по крайней мере основную школьную программу) освоите.

[horda2501]

Mikhail_K в сообщении #1728571 писал(а):

horda2501
А раскрыть квадрат в знаменателе пробовали?

$\frac{4-3\sqrt{2}}{3\sqrt{2}-4}$. Но я не могу понять как получается $-1$. Я, конечно же, что-то совсем базовое забыла. Вы не могли бы подсказать что именно?

[Mikhail_K]

horda2501
Вынесите множитель $-1$ (или, что то же самое, знак "минус") за скобки в числителе или знаменателе

[horda2501]

Я не вижу как это делается и к чему должно привести в целом

[Dedekind]

horda2501
$a-b = (-1)(-1)a + (-1)b = (-1)((-1)a + b) = -(-a + b) = -(b-a)$