Элементарная алгебра для отстающих

[wrest]

horda2501 в сообщении #1727441 писал(а):

Предлагается выполнить действие: $(a-b):(\sqrt{a}-\sqrt{b})$. Не пойму что нужно делать. (Ответ: $\sqrt{a}+\sqrt{b}$).

А проверить, что ответ правильный, можете?
Ну то есть, вот вам говорят, например что A:B=C
Как это можно проверить? Как проверить, что 10:5=2 если вы не умеете делить?

[Mihr]

wrest в сообщении #1727458 писал(а):

А проверить, что ответ правильный, можете?

Извините, по-моему, это не лучший совет. Сложно научиться решать задачи, просто проверяя справедливость ответов.

horda2501, вот начало цепочки рассуждений:

$$\dfrac{a-b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\dfrac{(\sqrt{a})^2-(\sqrt{b})^2}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=...$$

Попробуйте продолжить сами. Вспомнив, как раскладывается на множители разность квадратов.

[wrest]

Mihr в сообщении #1727465 писал(а):

Извините, по-моему, это не лучший совет. Сложно научиться решать задачи, просто проверяя справедливость ответов.

Извините, по-моему, в данном конкретном случае это не так.

[Klein]

Нормальная задача. Сейчас похожие задания дают в первом вопросе ДВИ при поступлении на мехмат МГУ. Сами можете проверить. Возможно что-то уже изменилось.


Упростим

$\displaystyle \frac{a-b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}},$

где $a,b > 0$ и $a\ne b$.

Умножим на единицу, записанную в виде

$\displaystyle 1= \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}.$

Тогда
$\displaystyle \begin{aligned} \frac{a-b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} &= \frac{(a-b)(\sqrt{a}+\sqrt{b})} {(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}. \end{aligned}$

Используя формулу разности квадратов, получаем

$\displaystyle (\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b}) = a-b.$

Следовательно,

$\displaystyle \frac{(a-b)(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{a-b} = \sqrt{a}+\sqrt{b}.$

Таким образом,

$\displaystyle \frac{a-b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} = \sqrt{a}+\sqrt{b}.$