Замедление времени в свободном падении

[SergeyGubanov]

SergeyGubanov в сообщении #1725297 писал(а):

В момент координатного времени $t_{B}$ свет испускают с радиуса $r_{B}$, в момент координатного времени $t_{A}$ свет приходит на некий радиус $r_{A}$:

$$ t_{A} = t_{B} + \int^{r_A}_{r_{B}} \frac{dr}{1 - \sqrt{\frac{r_g}{r}}} $$

Источник света падает, это приводит к задержке сигнала

$$ \delta t_{A} = - \frac{\delta r_{B}}{1 - \sqrt{\frac{r_g}{r_{B}}}} $$

Прошу прощения, тут кое-что было мной потеряно

Источник света падает, это приводит к задержке сигнала

$$ \delta t_{A} = \delta t_{B} - \frac{\delta r_{B}}{1 - \sqrt{\frac{r_g}{r_{B}}}} $$

Далее надо эту потеряную $\delta t_{B}$ везде добавить, получится так:

$$ \delta t_{A} = \left( 1 - \frac{ \frac{d r_{B}}{d t_B }}{1 - \sqrt{\frac{r_g}{r_{B}}}} \right) \delta t_{B} $$

$$ \frac{\delta \tau_{A}}{\sqrt{1 - \frac{r_g}{r_A}}} = \left( 1 + \sqrt{\frac{r_g}{r_B}} \frac{1}{1 - \sqrt{\frac{r_g}{r_{B}}}} \right) \delta \tau_{B} $$

[Cos(x-pi/2)]

SergeyGubanov, да.

(У меня был точно такой же ход вычислений (для произвольного радиального падения - не обязательно свободного). Рассказывая о нём в этом сообщении (оно на с трудом загружаемой предыдущей странице), я упомянул, что к изменению интеграла из-за изменения на $\delta r_B$ нижнего предела надо добавлять промежуток координатного времени, отвечающий продвижению "В" на $\delta r_B$ между актами испускания сигналов. Конкретно: эта добавка равна $\delta r_B/x,$ где x у меня обозначает координатную скорость dr/dt источника сигналов "В". В окончательном ответе я выражал x через $v$ и $r_B,$ обозначаемое мной просто как $r,$ и полагал $r_A\to\infty.$ Таким путём у меня и образовался тот упоминавшийся на предыдущей странице ответ для разности времён сигналов, получаемых приёмником "А", покоящимся на бесконечности.)

Если в Вашей последней формуле, которая уже есть Ваша правильная "простая формула", положить $r_A\to\infty$ и привести слагаемые в скобках к общему знаменателю, то получается ещё более простая формула:

$$\delta \tau_A=\frac{1}{1-\sqrt{\frac{r_g}{r_B}}}\,\delta\tau_B.$$

Такое же выражение следует из упоминавшегося моего ответа для для разности времён сигналов, получаемых приёмником "А", покоящимся на бесконечности, для рассматриваемого Вами случая свободного падения "В", т.е. когда абсолютная величина скорости "В" относительно неподвижной системы отсчёта есть $v=\sqrt{r_g/r}.$ Там у меня $r$ означает то же, что у Вас $r_B.$ (Итог: предлагаю считать, что совместными усилиями огонь погашен :))

[Ende]

Выделена тема «Вопросы chislo_avogadro о сравнении хода часов»