Проверка способности LLM решать математические задачи

[nnosipov]

Проверьте кто-нибудь, как LLM решает такую задачу:

Consider the equation $x^2+xy+41y^2=(yz+1)^3$ in positive integers.

(a) Find the first four solutions sorted by $z$.
(b) Find another solution different from those four solutions (if it exists).
(c) Is it true that the equation has infinitely many solutions in positive integers?
(d) Find the fifth solution (if it exists).

У меня deepseek V4 не решает даже пункт (a). Это даже странно, поскольку предыдущая версия V3 пункт (a) осиливала, если правильно помню. Времени уходит на это безумно много, минут 80 (режим "Эскперт"). В итоге находит три решения и подтасовывает четвертое. Например, выдает за решение $(x,y,z)=(1439,20,121)$, при этом дополняет замечанием (Note: some sources give this as the fourth solution, though it is often misattributed; the next verified solution indeed has $z=121$.) Ну и да, каких только ссылок на опубликованные статьи с этой задачей не выдает.

Полгода назад ChatGPT в своей продвинутой версии тоже врал на этой задаче, но четыре честных решения находил.

-- добавлено через 3 минуты --

Вообще, было бы забавно, если бы кто-нибудь из местных математиков (из тех, конечно, кто не знает решения этой задачи) аккуратно решил эту задачу с помощью LLM.

[Sender]

nnosipov в сообщении #1724528 писал(а):

У меня deepseek V4 не решает даже пункт (a). Это даже странно, поскольку предыдущая версия V3 пункт (a) осиливала, если правильно помню.

Бесплатный DeepSeek V4 заметно упал в качестве ответов, как я полагаю, после периода начального тестирования.

[nnosipov]

О, как! Неожиданно.

[wrest]

Sender в сообщении #1724534 писал(а):

Бесплатный DeepSeek V4 заметно упал в качестве ответов,

Да, я тоже заметил. Оно стало отвечать быстро но плохо. Галлюцинации и просто неверные рассуждения/ответы. DeepSeek совсем глупый стал.

[nnosipov]

wrest в сообщении #1724536 писал(а):

DeepSeek совсем глупый стал.

Не, ну совсем глупый это вряд ли. Обычные-то задачи (типа учебных) он решает корректно.

[mihaild]

Gemini на слишком длинных размышлениях перестает отвечать, но выдает 4 решения и какое-то доказательство бесконечности количества решений, если попросить по отдельности. Проверять рассуждения внимательно не очень хочется - у меня не хватает интуиции о происходящем в расширениях $\mathbb Q$.

(4 решения)

The first four solutions in positive integers $(x,y,z)$, sorted by $z$, are:

1. $(41, 40, 1)$
2. $(449, 20, 3)$
3. $(383, 4, 13)$
4. $(50189, 40, 34)$

Proof of Exhaustiveness
To rigorously prove these are the first four solutions and no others exist for $z \le 34$, we analyze the equation in the ring of integers of the imaginary quadratic field $K = \mathbb{Q}(\sqrt{-163})$. The discriminant is $-163$, so $\mathcal{O}_K = \mathbb{Z}[\alpha]$ where $\alpha = \frac{1+\sqrt{-163}}{2}$, satisfying $\alpha^2 - \alpha + 41 = 0$. The left-hand side of the equation is the algebraic norm $N_{K/\mathbb{Q}}(x + y\alpha) = (x+y\alpha)(x+y\bar{\alpha}) = x^2 + xy + 41y^2$. Thus, the equation becomes:

$$N_{K/\mathbb{Q}}(x+y\alpha) = (yz+1)^3$$

Step 1: Coprimality of $x$ and $y$
Let $d = \gcd(x, y)$. If $d > 1$, then $d^2 \mid (yz+1)^3$. For any prime $p \mid d$, $p^2 \mid (yz+1)^3 \implies p \mid (yz+1)$. Since $p \mid y$, it must be that $p \mid 1$, which is impossible. Thus, $\gcd(x, y) = 1$.

Step 2: $(x+y\alpha)$ is a perfect cube
Since $\gcd(x, y) = 1$, any common prime ideal factor of $(x+y\alpha)$ and its conjugate $(x+y\bar{\alpha})$ must divide their difference $(x+y\alpha) - (x+y\bar{\alpha}) = y\sqrt{-163}$. Because $y$ cannot share factors with $(x+y\alpha)$ without violating $\gcd(x,y)=1$, the only possible common prime ideal is the ramified prime $\mathfrak{p} = (\sqrt{-163})$.

If $\mathfrak{p} \mid (x+y\alpha)$, then $163 \mid (yz+1)$. Let $\mathfrak{p}^k \parallel (x+y\alpha)$. Since $\mathfrak{p} = \bar{\mathfrak{p}}$, we also have $\mathfrak{p}^k \parallel (x+y\bar{\alpha})$. The total power of $\mathfrak{p}$ dividing $(yz+1)^3$ is $2k$. This implies $2k \equiv 0 \pmod 3$, so $k$ is a multiple of 3.

Any other prime ideal dividing $(x+y\alpha)$ does not divide $(x+y\bar{\alpha})$, so its valuation must independently be a multiple of 3. Therefore, the principal ideal $(x+y\alpha)$ is the cube of some ideal $\mathfrak{a}$. By the Stark-Heegner theorem, the class number of $K$ is $h(-163) = 1$, making $\mathcal{O}_K$ a Principal Ideal Domain. Hence, $\mathfrak{a}$ is principal, say $\mathfrak{a} = (a+b\alpha)$. Since the only units in $\mathcal{O}_K$ are $\pm 1$ (both of which are perfect cubes), we can absorb the unit to get the strict equality:

$$x+y\alpha = (a+b\alpha)^3 \quad \text{or} \quad x+y\bar{\alpha} = (a+b\alpha)^3$$

Step 3: Parametrization
Using $\alpha^2 = \alpha - 41$ and $\alpha^3 = -40\alpha - 41$, we expand $(a+b\alpha)^3$:

$$(a+b\alpha)^3 = (a^3 - 123ab^2 - 41b^3) + b(3a^2 + 3ab - 40b^2)\alpha$$

Taking the imaginary part, we obtain $y = \pm b(3a^2 + 3ab - 40b^2)$.
By taking the norm, we require:

$$a^2 + ab + 41b^2 = yz + 1$$

Multiplying this equation by 3 and substituting $3a^2 + 3ab = \pm \frac{y}{b} + 40b^2$, we obtain:

$$3yz + 3 = 3(a^2 + ab + 41b^2) = \pm \frac{y}{b} + 40b^2 + 123b^2 = \pm \frac{y}{b} + 163b^2$$

Multiplying by $b$ yields $\pm y = 163b^3 - 3yzb - 3b$, or $y(3zb \pm 1) = 163b^3 - 3b$.
Since $y$ is an integer, this enforces the exact divisibility condition:

$$(3zb \pm 1) \mid (163b^3 - 3b)$$

Multiplying the numerator by $27z^3$ gives $163(3zb)^3 - 27z^2(3zb)$. Applying the modulo arithmetic $3zb \equiv \mp 1 \pmod{3zb \pm 1}$ transforms the numerator to $163(\mp 1)^3 - 27z^2(\mp 1) = \mp(163 - 27z^2)$. Since $\gcd(3zb\pm 1, 27z^3) = 1$, we strictly require:

$$(3zb \pm 1) \mid (163 - 27z^2)$$

Step 4: Evaluation over $z$
This divisibility provides a rigorous bound for $b$, as $163 - 27z^2$ has finitely many integer divisors for a fixed $z$. Evaluating $1 \le z \le 34$:

• $z = 1$: $163 - 27(1)^2 = 136$. Checking its divisors for $3b \pm 1$ yields $b=1 \implies y=40$. Substituting into the norm equation yields $a=-1 \implies x=41$.
• $z = 3$: $163 - 27(9) = -80$. Checking its divisors yields $b=1 \implies y=20$. Solving yields $a=-5 \implies x=449$.
• $z = 13$: $163 - 27(169) = -4400$. Checking its divisors yields $b=1 \implies y=4$. Solving yields $a=-4 \implies x=383$.
• $z = 34$: $163 - 27(1156) = -31049$. Checking its divisors yields $b=5 \implies y=40$. Solving yields $a=-21 \implies x=50189$.

Iterating through all possible factors of $163 - 27z^2$ confirms there are identically zero other integer pairs $(a, b)$ satisfying the parametrization constraints up through $z = 34$.

(доказательство бесконечности)

Yes.

Consider the ring of integers $\mathbb{Z}[\alpha]$ of the imaginary quadratic field $\mathbb{Q}(\sqrt{-163})$, where $\alpha = \frac{1+\sqrt{-163}}{2}$. The minimal polynomial of $\alpha$ is $\alpha^2 - \alpha + 41 = 0$. The norm of an element $x + y\alpha$ is $N(x+y\alpha) = x^2 + xy + 41y^2$. The given equation can therefore be written as:

$$N(x+y\alpha) = (yz+1)^3$$

We construct a family of solutions by enforcing $x + y\alpha = (u + v\alpha)^3$ for some integers $u, v$. Expanding the cube using $\alpha^2 = \alpha - 41$ and $\alpha^3 = -40\alpha - 41$:

$$(u+v\alpha)^3 = u^3 + 3u^2v\alpha + 3uv^2(\alpha-41) + v^3(-40\alpha-41) = (u^3 - 123uv^2 - 41v^3) + (3u^2v + 3uv^2 - 40v^3)\alpha$$

This yields the parameterization:

$$x = u^3 - 123uv^2 - 41v^3$$

$$y = 3u^2v + 3uv^2 - 40v^3 = v(3u^2 + 3uv - 40v^2)$$

The multiplicativity of the norm implies $N((u+v\alpha)^3) = N(u+v\alpha)^3 = (u^2 + uv + 41v^2)^3$. Equating this to the target norm $(yz+1)^3$ yields:

$$u^2 + uv + 41v^2 = yz + 1 \implies yz = u^2 + uv + 41v^2 - 1$$

To ensure $z$ is an integer, we impose the condition $3u^2 + 3uv - 40v^2 = 3$. Under this constraint, $y = 3v$, and the condition can be rewritten by completing the square:

$$12u^2 + 12uv - 160v^2 = 12 \implies 3(2u+v)^2 - 163v^2 = 12$$

Setting $v = 3k$ and $w = 2u+v$, we obtain:

$$3w^2 - 163(9k^2) = 12 \implies w^2 - 489k^2 = 4$$

By Lagrange's theorem on Pell's equations, since 489 is not a perfect square, the equation $A^2 - 489B^2 = 1$ has infinitely many positive integer solutions $(A_m, B_m)$ generated by $A_m + B_m\sqrt{489} = (A_1 + B_1\sqrt{489})^m$, where $(A_1, B_1)$ is the fundamental positive solution. We choose $w = 2A_m$ and $k = 2B_m$, which satisfies $w^2 - 489k^2 = 4(A_m^2 - 489B_m^2) = 4$.

Reversing the substitutions yields $u, v, y, z$ in terms of $A_m$ and $B_m$:

$$v = 3k = 6B_m$$

$$u = \frac{w-v}{2} = A_m - 3B_m$$

$$y = 3v = 18B_m$$

$$z = \frac{u^2 + uv + 41v^2 - 1}{y} = \frac{(A_m-3B_m)^2 + 6B_m(A_m-3B_m) + 41(36B_m^2) - 1}{18B_m} = \frac{A_m^2 + 1467B_m^2 - 1}{18B_m}$$

Substituting $A_m^2 - 1 = 489B_m^2$ into the expression for $z$:

$$z = \frac{489B_m^2 + 1467B_m^2}{18B_m} = \frac{1956B_m^2}{18B_m} = \frac{326B_m}{3}$$

To ensure $z$ is an integer, we require $B_m \equiv 0 \pmod 3$. By the binomial expansion:

$$B_m = \sum_{j=0}^{\lfloor \frac{m-1}{2} \rfloor} \binom{m}{2j+1} A_1^{m-1-2j} B_1^{2j+1} 489^j$$

Modulo 3, $489 \equiv 0$, so all terms with $j \ge 1$ vanish. Thus, $B_m \equiv m A_1^{m-1} B_1 \pmod 3$. Since $A_1^2 - 489B_1^2 = 1 \implies A_1^2 \equiv 1 \pmod 3$, $A_1$ is not divisible by 3. By selecting $m$ to be any positive multiple of 3, we force $B_m \equiv 0 \pmod 3$. This guarantees $z$ is a positive integer for infinitely many indices $m$.

Now we determine the sign of $x$:

$$x = u^3 - 123uv^2 - 41v^3 = (A_m-3B_m)^3 - 123(A_m-3B_m)(36B_m^2) - 41(216B_m^3)$$

$$x = A_m^3 - 9A_m^2B_m - 4401A_mB_m^2 + 4401B_m^3$$

Substitute $A_m^2 = 489B_m^2 + 1$:

$$x = A_m(489B_m^2 + 1) - 9B_m(489B_m^2 + 1) - 4401A_mB_m^2 + 4401B_m^3$$

$$x = A_m(1 - 3912B_m^2) - 9B_m$$

Since $A_m, B_m \ge 1$, $x < 0$. To obtain a positive integer solution, we utilize the symmetry of the quadratic form $Q(x,y) = x^2+xy+41y^2$. Let $X = -x-y$. Substitution yields:

$$Q(X,y) = (-x-y)^2 + (-x-y)y + 41y^2 = x^2 + 2xy + y^2 - xy - y^2 + 41y^2 = x^2 + xy + 41y^2 = Q(x,y)$$

Thus, $X^2 + Xy + 41y^2 = (yz+1)^3$ natively holds. Evaluating $X$:

$$X = -[A_m(1 - 3912B_m^2) - 9B_m] - 18B_m = A_m(3912B_m^2 - 1) - 9B_m$$

For any valid positive solution, $B_m \ge 1$ and $A_m \ge A_1 \ge \sqrt{490} > 22$. Hence:

$$X \ge 22(3912B_m^2 - 1) - 9B_m \ge 22(3911) - 9 > 0$$

Therefore, $(X, y, z)$ constitutes a valid family of strictly positive integer solutions. As $B_m \to \infty$ for multiples $m$ of 3, this mapping yields infinitely many positive integer solutions.

[Ende]

Выделена тема«ИИ и перспективы математики и математического образования». Там можно вести общие рассуждения о том, куда все идет и чем закончится. А эту тему давайте оставим для тестирования конкретных LLM на конкретных задачах.

[mathpath]

Я вчера попросил бесплатный дипсик написать генератор уравнения в целых числах на расте:

a + x³ + y³ + z³ = b·x·y·z 
a, b ∈ [1..10] | x, y, z ∈ ℤ, |x|,|y|,|z| ≥ 2, знаки смешанные

Т.е. в уравнении 3 переменных, и нужно подобрать коэффициенты a, b так, чтобы переменные x,y,z были максимальными по модулю.
Это известное диофантово уравнение, которое мы долго обсуждали в разделе олимпиады - там квадраты, а у меня кубы.
Дипсик долго генерил довольно простой код с тройным вложенным циклом, потом избавился от одного и добавил параметризацию.
Такое ощущение, что он не учится на собственных ошибках - он продолжает много ошибаться чисто синтаксически, а по идее должен же по прошествию нескольких месяцев натаскивания хоть чему-то научиться - но нет.
Через час он дополз вот до такого решения:

★ НОВЫЙ РЕКОРД! Максимальная переменная = 1179
  a = 2, b = 2
  x = -721, y = -610, z = 1179
  Проверка: 2 + -374805361 + -226981000 + 1638858339 = 1037071980 = 1037071980

Т.е. если ты пытаешься решать какую-то сложную вычислительную задачу, он будет делать ровно то, о чем ты его просишь, т.е. сам он не придумывает ничего.

[rightways]

Здравствуйте! Вот так ответил Gemini 3.1 pro думающий

\textbf{Решение диофантова уравнения $x^2 + xy + 41y^2 = (yz + 1)^3$}

Заметим, что левая часть уравнения представляет собой норму элемента в кольце целых чисел мнимого квадратичного поля $K = \mathbb{Q}(\sqrt{-163})$. Известно, что кольцо целых $\mathcal{O}_K$ является кольцом главных идеалов (число классов равно $1$).

Перепишем уравнение через норму $N(x + y\omega)$, где $\omega = \frac{1 + \sqrt{-163}}{2}$:

$$N(x + y\omega) = (yz + 1)^3$$

Поскольку $x$ и $y$ взаимно просты, элемент $x + y\omega$ должен являться точным кубом в $\mathcal{O}_K$:

$$x + y\omega = (u + v\omega)^3$$

где $u, v \in \mathbb{Z}$.

Раскрывая куб с учетом того, что $\omega^2 = \omega - 41$ и $\omega^3 = -40\omega - 41$, приравниваем коэффициенты и получаем жесткую систему:

$$y = v(3u^2 + 3uv - 40v^2)$$

$$x = u^3 - 123uv^2 - 41v^3$$

Так как норма куба равна кубу нормы, имеем $N(u+v\omega) = yz + 1$, откуда:

$$yz + 1 = u^2 + uv + 41v^2$$

Подставляя выражение для $y$, получаем условие для $z$:

$$z = \frac{u^2 + uv + 41v^2 - 1}{y} = \frac{u^2 + uv + 41v^2 - 1}{v(3u^2 + 3uv - 40v^2)}$$

Из этого следует, что знаменатель $y$ должен нацело делить числитель. Обозначим квадратичную форму $Q = 3u^2 + 3uv - 40v^2$. Условия делимости показывают, что $v \mid (Q - 3)$ и $Q \mid (163v^2 - 3)$. Это кардинально сужает область поиска и доказывает конечность множества решений.

Перебор допустимых значений $v$, удовлетворяющих условиям делимости ($v \in \{-1, 1, 5\}$), дает исчерпывающий список решений.

\vspace{1.5em}
\textbf{Ответы на пункты задачи:}

\vspace{0.5em}
\textbf{(a) Первые четыре решения в натуральных числах, отсортированные по $z$:}

1. При $v = -1, u = 0$:

$$x = 41, \quad y = 40, \quad z = 1$$

2. При $v = 1, u = 4$:

$$x = 449, \quad y = 20, \quad z = 3$$

3. При $v = -1, u = 4$:

$$x = 383, \quad y = 4, \quad z = 13$$

4. При $v = 5, u = 16$ (используем сопряженное $x' = -x-y$ для получения $x>0$):

$$x = 50189, \quad y = 40, \quad z = 34$$

\vspace{0.5em}
\textbf{(b) Найти другое решение:}

Такого решения не существует. Условия делимости $v \mid (Q - 3)$ и $Q \mid (163v^2 - 3)$ допускают только конечный набор параметров $u$ и $v$, порождающих исключительно четыре найденные пары.

\vspace{0.5em}
\textbf{(c) Верно ли, что уравнение имеет бесконечно много решений?}

Нет (False). Для любого фиксированного $z$ уравнение задает эллиптическую кривую, которая по теореме Зигеля содержит лишь конечное число целых точек. Параметрический анализ через $\mathcal{O}_K$ строго доказывает, что глобально существует ровно четыре решения в натуральных числах.

\vspace{0.5em}
\textbf{(d) Найти пятое решение:}

Пятого решения в натуральных числах не существует (строго доказано в пунктах выше).

\end{document}