Вопрос о конечной сложности наложения суперпозиций состояний

[OlegML]

warlock66613 в сообщении #1720490 писал(а):

Этот текст верен. Ваш — нет.

Первая часть цитируемого текста из ЛЛ3: "Состояния, в которых энергия имеет определенные значения, называются стационарными состояниями системы." Энергия любого атома, пока он ни с чем не взаимодействует, имеет определенное значение, так как он является замкнутой системой и она сохраняется. Согласно этому утверждению из ЛЛ3 атом находится в состоянии, которое называется стационарным. Вторая часть цитируемого текста из ЛЛ3: "Они описываются волновыми функциями $\Psi_n$, являющимися собственными функциями оператора гамильтона, т.е. удовлетворяющие уравнению $\hat{H} \Psi_n=E_n \Psi_n$". Согласно этому это (стационарное) состояние описывается собственной волновой функцией оператора гамильтона. Таким образом верно сделанное мной утверждение: "Пусть энергия $E$ сохраняется и может принимать 2 значения $E_1$ или $E_2$. Тогда, согласно КМ (ЛЛ3 &10), система может находится в стационарных состояниях $\Psi_1$ или $\Psi_2$".

warlock66613 в сообщении #1720490 писал(а):

Это проекционный постулат квантовой механики.

Да, действительно.

warlock66613 в сообщении #1720490 писал(а):

Средняя энергия каждого атома — это оксюморон. Средняя энергия есть только у ансамбля.

Если у чего-то можно измерить какую-то величину, значит можно определить и среднее значение этой величины, не важно по времени или по ансамблю. При введении базовых понятий КМ рассматривается система, которая находится в некотором состоянии, описываемом волновой функцией. Этой функцией описывается одна система, а не ансамбль систем. Конечно странно говорить о средней энергии атома, так как она сохраняется. Тем не менее как матричный элемент гамильтониана мы получаем именно среднее значение в данном состоянии.

warlock66613 в сообщении #1720490 писал(а):

Эксперименты по взаимодействию с излучением предполагают обычно, что атом находится (в некотором приближении) в стационарном состоянии. Но лишь в некотором приближении, поэтому спектральные линии имеют конечную толщину.

На мой взгляд вряд ли это можно считать приближением. Скорее это неопределенность энергии состояния. Ну а стационарное состояние конечно тоже совсем не вечно.

warlock66613 в сообщении #1720490 писал(а):

Можно говорить о средней энергии состояния, подразумевая ансамбль неявно, но никак не о средней энергии одного атома.

Можно говорить о средней энергии состояния чего? В некотором состоянии находится какая-то система, например атом, молекула или солнечная система.

warlock66613 в сообщении #1720490 писал(а):

А это может быть по-разному. Они могут находиться и в одном квантовом состоянии и в разных, это будут разные ансамбли, но неотличимые при измерении энергии.

Из Вашего ответа не ясно можем ли записать волновую функцию атома, если известны вероятности получения того или иного значения энергии в результате измерения, или нет. Вот у нас есть разреженный атомный газ. Что здесь будет ансамблем? Что такое ансамбли, неотличимые при измерении энергии? В каких состояниях могут находиться атомы в промежутках между столкновениями? Мне кажется, что по Вашему мнению в любых. Так?

realeugene в сообщении #1720507 писал(а):

Вы неправильно пользуетесь терминологией.

Как Вы отличаете смешанное состояние от суперпозиции? Знак минус избыточен потому что коэффициенты произвольны? Что Вы понимаете под чистым состоянием? Это состояние волновая функция которого является собственной для набора коммутирующих операторов? (Определение в Вики как-то слабо согласуется с текстом).

realeugene в сообщении #1720507 писал(а):

Если у вас базис состоит всего из двух базисных состояний (чистых по определению), то их различных суперпозиций всё равно континуум.

realeugene в сообщении #1720507 писал(а):

Состояние суперпозиции - это тоже чистое квантовое состояние.

Я же понимаю так: волновые функции чистых состояний находятся в результате решения задачи на собственные значения. По условию задачи таких состояний два. Поэтому в Вашем тексте противоречие.
Я так и не понял в каком состоянии по Вашему мнению может находится отдельный атом в разреженном атомном газе, если в результате решения стационарного УШ для данного атома получены 2 ВФ для 2х значений энергии.

[realeugene]

OlegML в сообщении #1720572 писал(а):

Как Вы отличаете смешанное состояние от суперпозиции?

Математически это совершенно разные объекты. Состояние суперпозиции - чистое состояние, то есть определённый вектор в гильбертовом пространстве состояний системы. А смешанное состояние - это грубо говоря вероятностное распределение на векторах в этом пространстве состояний.

OlegML в сообщении #1720572 писал(а):

Знак минус избыточен потому что коэффициенты произвольны?

Примерно так. Есть ещё условие нормировки состояний. Плюс изменение глобальной фазы не изменяет состояние. В результате произвольно только отношение коэффициентов.

OlegML в сообщении #1720572 писал(а):

Я же понимаю так: волновые функции чистых состояний находятся в результате решения задачи на собственные значения.

Нет, это не так. Собственные состояния любой наблюдаемой образуют только базис в векторном пространстве чистых состояний.

-- 18.03.2026, 19:09 --

OlegML в сообщении #1720572 писал(а):

Энергия любого атома, пока он ни с чем не взаимодействует, имеет определенное значение, так как он является замкнутой системой и она сохраняется.

Энергия не обязана иметь определённое значение.

[warlock66613]

OlegML в сообщении #1720572 писал(а):

Энергия любого атома, пока он ни с чем не взаимодействует, имеет определенное значение, так как он является замкнутой системой и она сохраняется.

Это неверно.

OlegML в сообщении #1720572 писал(а):

Этой функцией описывается одна система, а не ансамбль систем.

И одна, и ансамбль систем, находящихся в этом состоянии.

OlegML в сообщении #1720572 писал(а):

Можно говорить о средней энергии состояния чего?

Ансамбля. Причём чем ансамбль больше, тем больший смысл это имеет. В предельном случае одной системы смысл говорить о среднем значении исчезает совершенно.

OlegML в сообщении #1720572 писал(а):

можем ли записать волновую функцию атома, если известны вероятности получения того или иного значения энергии в результате измерения, или нет

Нет, не можем, так как 1) нет гарантии, что все атомы, которые мы измеряли, находились в одном и том же состоянии, 2) вероятности дают только абсолютные значения амплитуд, а фазы остаётся неизвестными.

OlegML в сообщении #1720572 писал(а):

Что здесь будет ансамблем?

Ансамблем будет то, что мы рассматриваем как ансамбль.

OlegML в сообщении #1720572 писал(а):

Что такое ансамбли, неотличимые при измерении энергии?

Например, 1) ансамбль состоящий из 50% атомов в состоянии с энергией $E_1$ и 50% атомов в состоянии с энергией $E_2$, 2) ансамбль, где все атомы в состоянии $\frac 1 {\sqrt 2} (\Psi_{E_1} + \Psi_{E_2})$, 3) ансамбль, где все атомы в состоянии $\frac 1 {\sqrt 2} (\Psi_{E_1} - \Psi_{E_2})$ — все они дадут одинаковые результаты при измерении энергии и все они разные.

OlegML в сообщении #1720572 писал(а):

В каких состояниях могут находиться атомы в промежутках между столкновениями? Мне кажется, что по Вашему мнению в любых. Так?

Так, только это не мнение. Я вообще люблю своё мнение высказывать и обсуждать, но в этом разговоре мне пока не приходилось этого делать совершенно.

Про отличие суперпозиции от смешанного состояния пока промолчу, пусть realeugene отдувается, раз уж он решил в это ввзязаться.

[realeugene]

Добавлю, что нагляднее рассматривать не возбуждённые состояния атома, а направление спина например электронов. Пусть есть вертикально направленное магнитное поле. Тогда состояния направления спина вверх и вниз будут иметь разную энергию. Возможны также произвольные состояния суперпозиции этих двух состояний спина, которые не будут иметь определённую энергию и не будут стационарными: будет наблюдаться ларморовская прецессия таких состояний спина.

[pppppppo_98]

OlegML в сообщении #1720572 писал(а):

При введении базовых понятий КМ рассматривается система, которая находится в некотором состоянии, описываемом волновой функцией. Этой функцией описывается одна система, а не ансамбль систем.

сколько же... можно одно и тоже...Физика это наука о повторяемых явлениях...ТО есть то что можно померять, и и методами мат статистики сократить ошибки измерения... То есть пробных систем, над которым проводят эксперимент всегда куча Мало того вы и аппаратом квантовой механики не вполне 0 - кроме чистых состояний есть еще формализм матрицы плотности.
Если вам и то не по нраву. Берете 100500 пробных систем все а приготавливаете в одном состоянии $|i\rangle$. Пусть мы так подготовили установку, что соседние эксперименты друг на друга не влияют. Пусть гамильтониан единичной пробной системы $\hat{H}$, и ему соответствует оператор эволюции $\hat{U}=e^{\frac{i}{\hbar}\hat{H}}$. И пусть в результате эволюции у нас конечное состояние
$|f\rangle=\sum_{i=0}^N\alpha_i |s_i\rangle ; \sum_{i=0}^N|\alpha_i|^2 =1 $; $s_i$- некоторый приборный базис в гильбертовом пространстве $\mathcal{H}$. Тогда для всей комбинированной системы 100500 пробных подсистем гильбертово пространство $\mathcal{H}_c=\prod_{a=1}^{100500} \mathcal{H}$, начальное состояние $|i\rangle_c=\prod_{a=1}^{100500}| i_a\rangle$, гамильтониан $\hat{H}_c=\sum_{a=1}^{100500}\hat{H}_a$, оператор эволюции $\hat{U}_c=e^{\frac{i}{\hbar}\hat{H_с}}=e^{\frac{i}{\hbar}\sum_{a=1}^{100500}\hat{H}_a}=\prod_{a=1}^{100500}\hat{U}_a$, конечное состояние $|f\rangle_c=\sum_{{i_1=1}\dots{i_{100500}=1}}^{N\dots N}\prod_{a=1}^{100500}\alpha_{i_a}|s_{i_a}\rangle$... измерьте состояние 100500 тестовых подсистем... у вас появится как-ое то состояние $\prod_{a=1}^{100500}|s_{i_a}\rangle$, где каждое $i$ ,будет иметь вероятностью $p_i\approx|\alpha_i|^2$ при типичном результате измерения... Почему так читайте теорему Шеннона о типичном множестве... Вот вам и ансамбль

-- Чт мар 19, 2026 00:25:09 --

OlegML в сообщении #1720479 писал(а):

Пусть мы решили измерить положение пролетающего атома. Его функция является собственной для оператора импульса, но не для оператора координаты.

чудесато... до измерения эта была собственная функция импульса (буде такое приготовили), а после измерения собственная функция оператора координат, и если проведете повторное иди 100500 измерения координат, то таким же и останется, а если проведете повторное измерение в импульсном базисе, то будет произвольный импульс

[OlegML]

realeugene в сообщении #1720577 писал(а):

Энергия не обязана иметь определённое значение.

Текст из первого абзаца &10 ЛЛ3: "...у систем, не находящихся в переменном внешнем поле, функция Гамильтона сохраняется. Как известно, сохраняющаяся функция Гамильтона называется энергией. Смысл закона сохранения энергии в КМ состоит в том, что если в данном состоянии энергия имеет определенное значение, то это значение остается постоянным во времени."
Если верить этому тексту, то обязана.

realeugene в сообщении #1720577 писал(а):

Состояние суперпозиции - чистое состояние, то есть определённый вектор в гильбертовом пространстве состояний системы.

Любое состояние это вектор в пространстве состояний. По каким признакам оно является чистым? Определение чистого состояния в Вики: "Чистое состояние — это полностью указанное квантовое состояние. Если данный квантовый объект (например, какая-то элементарная частица)находится в чистом состоянии, это означает, что у нас есть вся информация о ней." Насколько я понимаю это определение, чистым является состояние, в котором как минимум какие-то величины имеют определенное значение. Если какая-то величина имеет определенное значение в чистом состоянии, то волновая функция состояния является собственной для оператора этой величины. В отсутствие вырождения любая комбинация собственных функций не будет собственной для оператора этой величины, т.е. не может являться функцией чистого состояния.

realeugene в сообщении #1720577 писал(а):

А смешанное состояние - это грубо говоря вероятностное распределение на векторах в этом пространстве состояний.

Было бы не плохо если бы Вы привели пример, поясняющий обсуждаемое различие.

realeugene в сообщении #1720577 писал(а):

Собственные состояния любой наблюдаемой образуют только базис в векторном пространстве чистых состояний.

Похоже, что Вы рассматриваете состояния, которые могут быть полностью определены разными наборами квантовых чисел, и все они являются чистыми. Переход от состояний, описываемых одним набором, к состояниям другого типа является поворотом базиса. Верна ли моя догадка?

warlock66613 в сообщении #1720581 писал(а):

И одна, и ансамбль систем, находящихся в этом состоянии.

Ансамбль систем описывается своей функцией, которая может быть взята в виде произведения одиночных. Координат у ансамбля на много больше чем у одной системы.

warlock66613 в сообщении #1720581 писал(а):

ансамбль, где все атомы в состоянии $\frac 1 {\sqrt 2} (\Psi_{E_1} + \Psi_{E_2})$

Состояния ансамбля и состояния его составляющих различаются. Состояния составляющих исследуются без привлечения понятия ансамбля. Энергии уровней атома водорода найдены чисто математически базируясь на классическом представлении о взаимодействии двух частиц. Аналогично и с другими элементарными объектами, хотя там пользуются приближенными методами.
Резюмируя обсуждение можно утверждать, что если энергия отдельного атома сохраняется, то его состояние описывается собственной функцией гамильтониана и не может описываться смешанной функцией, например $\frac 1 {\sqrt 2} (\Psi_{E_1} + \Psi_{E_2})$. Такое заключение я сделал из того, что с остальным цитированным из ЛЛ3 текстом никто не спорил.
В большинстве, если не во всех, книгах по КМ утверждается и доказывается, что энергия замкнутой системы сохраняется вследствие однородности времени. Если это не верно, то хотелось бы подробностей.

[warlock66613]

OlegML в сообщении #1720663 писал(а):

Если верить этому тексту, то обязана.

Не обязана.

OlegML в сообщении #1720663 писал(а):

Ансамбль систем описывается своей функцией, которая может быть взята в виде произведения одиночных.

Ансамбль систем — это совсем не то же самое, что составная система из множества частиц/частей. Вы говорите о последнем.

[realeugene]

OlegML в сообщении #1720663 писал(а):

Если верить этому тексту, то обязана.

Не обязана. Разберите мой пример с ларморовской прецессией спина в магнитном поле.

OlegML в сообщении #1720663 писал(а):

Любое состояние это вектор в пространстве состояний.

Смешанные состояния - нет. Изучите в конце концов уже терминологию.

OlegML в сообщении #1720663 писал(а):

Было бы не плохо если бы Вы привели пример, поясняющий обсуждаемое различие.

Спин с вероятностью $1/2$ направлен вверх и с вероятностью $1/2$ вниз - это смешанное состояние спина.

OlegML в сообщении #1720663 писал(а):

Определение чистого состояния в Вики

Прочтите лучше например Дирака. Или Фейнмана. Или ЛЛ3.

OlegML в сообщении #1720663 писал(а):

любая комбинация собственных функций не будет собственной для оператора этой величины,

Любая ненулевая суперпозиция любых чистых состояний обязательно будет собственным состоянием для некоторой другой наблюдаемой и чистым состоянием. А вероятностная смесь - нет.

OlegML в сообщении #1720663 писал(а):

Верна ли моя догадка?

Возможно.