Вопрос о конечной сложности наложения суперпозиций состояний

[pppppppo_98]

realeugene в сообщении #1720846 писал(а):

Без единственности ведь? Как выбирать наилучшее окружение?

Да никак, это и не нужно... Это просто дополнительная подсистема (окружение) с которой исходная (лабораторная)система сцеплена,но не взаимодействует - гамильтониан взаимодействия равен 0. Общее состояние чистое в каждый момент времени . Посему конкретная реализация эволюции окружения никак не влияет, на эволюцию лабораторной подсистемы.
-----------
Пусть имеется некоторое гильбертово пространство системы A $\mathcal{H}_A$, и на нем ( $ \bar{\mathcal{H}}_A\times\mathcal{H}_A$) смешанное состояние $\rho_A$ со спектром оператора $\operatorname{Spec} \{\rho_A\}=\{a_0,\dots a_i\}$, тогда по теореме об очищении ей сопоставляется некоторое другое гильбертово пространство комбинированной системы AE $\mathcal{H}_{AE}=\mathcal{H}_A\otimes\mathcal{H}_E; \operatorname{dim}\{\mathcal{H}_A\}\le \operatorname{dim}\{\mathcal{H}_E\}$. Выбираем произвольную ортонормированную систему $|e_i\rangle_{E}; i\in\{1,\dots ,\operatorname{dim}\{\mathcal{H}_A\}\}$. Сопоставляем $\bar{\mathcal{H}}_A\times\mathcal{H}_A\rightarrow\mathcal{H}_{AE}: \rho_A \rightarrow \psi_{AE}=\sum_{i=1}^{\operatorname{dim}\{\mathcal{H}_A\}} \sqrt{a_i}|r_i\rangle_A |e_i\rangle_E$, где $|r\rangle_A$ -собственный ортонормированный вектор, соответствующий значению $a_i$.
Теперь посмотрим эволюцию...Итак нам известен гамильтониан лабораторной системы $\hat{H}_A$, и не известен гамильтониан окружения $\hat{H}_E$, но примем что он в некотором смысле хороший, что бы существовал оператор эволюции $\hat{U}_E(t)=e^{\frac{i}{\hbar}\hat{H}_E t}$. Тогда гамильтониан комбинированной системы $\hat{H}_{AE}= \hat{H}_A + \hat{H}_E$, и оператор эволюции $\hat{U}_{AE}(t)=e^{\frac{i}{\hbar}\hat{H}_{AE} t}=e^{\frac{i}{\hbar}(\hat{H}_A + \hat{H}_E)t}=e^{\frac{i}{\hbar}\hat{H}_A t}e^{\frac{i}{\hbar}\hat{H}_E t}=\hat{U}_A(t)\hat{U}_E(t)$; тогда эволюция состояния комбинированной системы $\psi_{AE}\rightarrow\psi_{AE}(t)=\hat{U}_{AE}(t) \psi_{AE}=\sum_{i=1}^{\operatorname{dim}\{\mathcal{H}_A\}} \sqrt{a_i}\hat{U}_A(t)|r_i\rangle_A\hat{U}_E(t)|e_i\rangle_E$. Теперь перейдем в формализм матрицы плотности для комбинированной системы сопоставив $\psi_{AE}(t)$ матрицу

$$\rho_{AE}(t)=\psi_{AE}^\dagger(t)\psi_{AE}(t)=\sum_{i=1}^{\operatorname{dim}\{\mathcal{H}_A\}} \sum_{j=1}^{\operatorname{dim}\{\mathcal{H}_A\}}\sqrt{a_i a_j} \hat{U}_A(t)|r_i\rangle_A \langle r_j|_A\hat{U}_A^\dagger(t)\,\hat{U}_E(t)|e_i\rangle_E \langle e_j|_E\hat{U}_E^\dagger(t)$$

Ну и возьмем частичный след по окружению

$$\operatorname{Tr_E}\{\rho_{AE}(t)\}=\sum_{i=1}^{\operatorname{dim}\{\mathcal{H}_A\}}a_i\hat{U}_A(t)|r_i\rangle_A \langle r_i|_A\hat{U}_A^\dagger(t)=\hat{U}_A(t)\left(\sum_{i=1}^{\operatorname{dim}\{\mathcal{H}_A\}}a_i|r_i\rangle_A \langle r_i|\right)\hat{U}_A^\dagger(t)=\hat{U}_A(t)\rho_A\hat{U}_A^\dagger(t)$$

Видно что эволюция та же результат не зависит от эволюции окружения - оптимальный выбор произволен

-------------------
Это естественно самый простой выбор эволюции, когда лабораторная стема полностью изолирована от окружения в процессе изучения, но в процессе приготовления системы остались какие-то корреляции с окружением, в результате вместо чистого сочтаяния рассматривается смесь... Сложнее случай когда есть и в процессе изучения она взаимодействует с окружением... Тогда формализм операторов Краусса надо вводить

[OlegML]

Ну хорошо, я разобрался с матрицей плотности, кажется все сложилось. Определение чистого и смешанного состояний относится к подсистеме. Правда из определений получается, что если система находится в состоянии суперпозиции, то она является подсистемой другой системы так как:
1. Если состояния системы определяются величинами с дискретным спектром значений и вырождение отсутствует, то любая функция в виде линейной комбинации чистых функций $\Psi=C_1 \Psi_1 + C_2 \Psi_2$ с обоими ненулевыми коэффициентами не будет собственной для операторов данного набора величин.
2. Имеется бесконечное количество возможных значений коэффициентов, но количество измеряемых величин конечно. Следовательно, имеются такие функции в виде линейной комбинации, в которых никакие величины не имеют определенного значения и, следовательно, эти состояния не являются чистыми. Исключением являются величины с непрерывным спектром собственных значений.
3.Чтобы любая линейная комбинация чистых базисных состояний была чистой необходимо, чтобы система могла быть охарактеризована величинами с непрерывным спектром собственных значений.
Но возможно это проблема определений.
realeugene пишите: "Если у вас есть любое чистое состояние $\left|\Psi\right>$, оно является собственным состоянием проектора $P_\Psi=\left|\Psi\right>\left<\Psi\right|$." Любое состояние является собственным состоянием проектора, даже смешанное. Но проектор никакой наблюдаемой не соответствует. Наблюдаемая должна иметь спектр значений, проектор же только 2 тривиальных.
realeugene пишите: "Состояние так прецессирующего спина - это суперпозиция двух базисных состояний спина, обладающих в магнитном поле разной энергией. У этой суперпозиции просто нет определённой энергии: оно не является собственным состоянием гамильтониана, а равно оператора эволюции спина во времени." А откуда эта информация? Ни в ЛЛ3, ни у Феймана этого нет. Напротив, в ЛЛ3 дается выражение для энергий состояний с противоположным направлением спина. У Фейнмана приводятся диаграммы расщепления для разных случаев. Также приводится эксперимент, в котором с помощью переменного поля соответствующей частоты вынуждаются переходы между состояниями с противоположно направленными спинами.

(Оффтоп)

Извиняюсь, но цитирование нужного текста оказалось недоступно.

[realeugene]

OlegML в сообщении #1720980 писал(а):

Правда из определений получается, что если система находится в состоянии суперпозиции, то она является подсистемой другой системы так как:

Вы чего-то опять не так поняли.

Чистые состояния образуют векторное пространство (над полем комплексных чисел). https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0 ... 0%B2%D0%BE Точка. Ваши фантазии про непрерывные спектры к делу отношения не имеют.

OlegML в сообщении #1720980 писал(а):

2. Имеется бесконечное количество возможных значений коэффициентов, но количество измеряемых величин конечно.

Фантазируете. Любой эрмитов оператор описывает некоторую наблюдаемую.

OlegML в сообщении #1720980 писал(а):

Наблюдаемая должна иметь спектр значений, проектор же только 2 тривиальных.

Фантазируете. У спина $1/2$ тоже только два значения.

Прочтите Дирака. У вас каша в основах.

[pppppppo_98]

realeugene в сообщении #1720988 писал(а):

Прочтите Дирака. У вас каша в основах.

это точно...

[realeugene]

OlegML в сообщении #1720980 писал(а):

Любое состояние является собственным состоянием проектора, даже смешанное.

Пожалуйста, запишите проектор, для которого собственным будет смешанное состояние "спин электрона с вероятностью $1/2$ направлен вверх и с вероятностью $1/2$ вниз".

OlegML в сообщении #1720980 писал(а):

Определение чистого и смешанного состояний относится к подсистеме.

Не только.

[pppppppo_98]

realeugene в сообщении #1720990 писал(а):

Пожалуйста, запишите проектор, для которого собственным будет смешанное состояние "спин электрона с вероятностью $1/2$ направлен вверх и с вероятностью $1/2$ вниз".

запросто $\operatorname{id}_{\mathcal{H}}$... я правда не знаю что такое собственное смешанное состояние оператора... Но этот проектор точно универсальный

[realeugene]

pppppppo_98 в сообщении #1720993 писал(а):

запросто $\operatorname{id}_{\mathcal{H}}$..

А, ну да... И ортогональеый к нему.

pppppppo_98 в сообщении #1720993 писал(а):

я правда не знаю что такое собственное смешанное состояние оператора...

Я тоже это не знаю.

[OlegML]

realeugene в сообщении #1720988 писал(а):

Любой эрмитов оператор описывает некоторую наблюдаемую.

Конечно, но утверждается, что не для любой линейной комбинации имеется наблюдаемая и эрмитов оператор.

realeugene в сообщении #1720988 писал(а):

У спина $1/2$ тоже только два значения.

Ну я имел в виду систему в пространстве большой размерности. Все собственные значения проектора равны 0 или единице. Является ли проектор наблюдаемой? Похоже что Вы правы, может.

realeugene в сообщении #1720990 писал(а):

Пожалуйста, запишите проектор, для которого собственным будет смешанное состояние "спин электрона с вероятностью $1/2$ направлен вверх и с вероятностью $1/2$ вниз".

Ну это очевидно даже из геометрии. В общем случае пусть есть состояние на базисных функциях $\Psi=\sum_i C_i | \Psi_i\rangle$. Построим проектор на плоскость на функциях 1 и 2: $P_{12}=|\Psi_1 \rangle \langle \Psi_1 |+|\Psi_2 \rangle \langle \Psi_2 |$. Любой вектор в этой плоскости переводится проектором в себя.

pppppppo_98 в сообщении #1720993 писал(а):

я правда не знаю что такое собственное смешанное состояние оператора...

Скорее всего никто не знает. Вы придумали противоречивое понятие. Но смешанное состояние может быть собственным для проектора.

realeugene в сообщении #1720988 писал(а):

Чистые состояния образуют векторное пространство (над полем комплексных чисел).

Тогда все состояния являются чистыми (см. ниже).

realeugene в сообщении #1720988 писал(а):

У вас каша в основах.

У Фейнмана хорошо рассказывается про матрицу плотности. В замкнутой системе рассматривается подсистема, зависящая от координат $y$. Остальные координаты $x$. Функция всей системы может быть представлена в виде разложения по ортонормированному базису, взятому в виде прямого произведения базисов подсистемы $|\varphi_i (y) \rangle$ и остальной части $|\theta_i (x) \rangle$: $\Psi=\sum_{ij} C_{ij} | \varphi_i\rangle |\theta_j \rangle$ или так $\Psi=\sum_i (\sum_j C_{ij}|\theta_j \rangle) | \varphi_i\rangle$.
Как видите функция системы не является каким-то особенным состоянием и представляется в виде обычного разложения по базису подсистемы с комплексными коэффициентами, зависящими от координат остальной части. Понятие смешанного состояния появляется когда ищется матричный элемент оператора. Матричный элемент на функциях всей системы оператора $A$, действующего только на координаты подсистемы, можно частично вычислить, взяв интеграл по координатам $x$. Тогда матричный элемент получится в виде: $A_{ki}=\langle \varphi_k |A| \varphi_i \rangle \rho_{ki}$ с матрицей плотности $\rho_{ki}=\sum_j C^*_{kj} C_{ij}$, которая своя для разных состояний системы. Как видно элементы матрицы являются скалярным произведением векторов $C_i$, т.е по сути получаем то же самое как и обычное среднее значение оператора: $\langle \Psi |A|\Psi \rangle =\sum_i A_i C^*_i C_i$. Матрица плотности и базис для оператора $A$ $\varphi_i$ могут быть диагонализованы независимо. В таком базисе матричный элемент запишется так: $A_{ij}=a_i \omega_i \delta_{ij}$, где $a_i$ и $\omega_i$ - собственное значение $A$ и диагональный элемент матрицы плотности, соответственно. Получаем, что в произвольном состоянии подсистемы характеризующая подсистему величина $A$ является линейной комбинацией собственных значений с положительными коэффициентами, дающими вклад различных состояний $\varphi_i$ в состояние системы. Если все коэффициенты кроме одного равны нулю, состояние подсистемы называется чистым. Таким образом функция смешанного состояния раскладывается по базисным с обычными комплексными коэффициентами. Матрица плотности является весовыми коэффициентами при вычислении матричного элемента оператора.

PS. Хотелось бы все же пример замкнутой системы с не сохраняющейся энергией.

[warlock66613]

OlegML в сообщении #1721016 писал(а):

Как видите функция системы не является каким-то особенным состоянием и представляется в виде обычного разложения по базису подсистемы с комплексными коэффициентами, зависящими от координат остальной части.

Это $(\sum_j C_{ij}|\theta_j \rangle)$ у вас комплексные коэффициенты?

[pppppppo_98]

OlegML в сообщении #1721016 писал(а):

Конечно, но утверждается, что не для любой линейной комбинации имеется наблюдаемая и эрмитов оператор.

сначала смеялся теперь плакаю навзрыт... сколько одно и то же нести.... Вам в дцатый все говорят, что алгебра наблюдаемых опиысвается эрмитовыми операторами любыми любыми любымилюбыми. Любой оператор вида $|\psi\rangle\langle\psi |$ - является эрмитовым для любого вектора $\psi$, и потому принадлежит алгебре набюлюдаемых (проверяется непосредственно). Если $|\psi\rangle=|\psi\rangle_1+|\psi\rangle_2$ - то $|\psi\rangle$, то все тоже самое

OlegML в сообщении #1721016 писал(а):

Является ли проектор наблюдаемой?

А как же

OlegML в сообщении #1721016 писал(а):

Вы придумали противоречивое понятие. Но смешанное состояние может быть собственным для проектора.

Нет это вы придумал, а смешанное состояние не может быть собственным для проектор - ибо проектор как и любой оператор действует на вектора, а не на матрицы , коими являются смешанные состояния... ВАм м бы уяснить терминолония для начала бы не мешало...

OlegML в сообщении #1721016 писал(а):

Тогда все состояния являются чистыми (см. ниже).

Вам в какой раз пояснить что свойства состояния могут быть известные только частично... Типичный пример - колебательный спектр молекулы - вам надо теплоемкость посчитать, все что вам известно что типичная молекула находится на каком-то колебательном уровне с вероятностью пропорциональной $e^{-\frac{n \hbar \omega}{T}}$

[Cos(x-pi/2)]

OlegML, исходя из опыта предшествующего общения в теме о спине, предполагаю, что и здесь мои пояснения окажутся бесполезными, но всё-таки попытаюсь подчеркнуть важные моменты (о них Вам уже говорили выше участники обсуждения в этой теме).

OlegML в сообщении #1721016 писал(а):

Хотелось бы все же пример замкнутой системы с не сохраняющейся энергией.

У замкнутой системы энергия всегда сохраняется. Но это не значит, что у замкнутой системы энергия обязательно имеет определённое значение. "Энергия сохраняется" и "энергия имеет определённое значение" — это разные понятия в общем случае. Если Вам интересно, что об этом написано в ЛЛ-3, то вот, ниже привожу цитаты и поясняю их:

Ландау и Лифшиц в томе 3 §8 писал(а):

$$i\hbar\,\frac{\partial \Psi}{\partial t}=\hat{H}\Psi \qquad (8.1)$$

<...> Если вид гамильтониана известен, то уравнение (8.1) определяет волновые функции данной физической системы. Это основное уравнение квантовой механики называется волновым уравнением.

Именно это уравнение в квантовой механике основное.

Далее в §10 речь идёт о замкнутых системах и о системах в постоянном (не переменном) внешнем поле. У любой такой системы гамильтониан $\hat{H}$ не зависит от времени $t.$

В таких случаях, т.е. когда $\hat{H}$ не зависит от времени, можно определить зависящие только от координат функции $\psi_n(q)$ и собственные значения $E_n$ гамильтониана — это решения стационарного уравнения Шредингера $\hat{H}\psi_n(q)=E_n\psi_n(q)$ с граничными условиями. Из этих решений составляются частные решения волнового уравнения (8.1) — стационарные состояния $\Psi_n(q,t),$ они же называются состояниями с определёнными значениями энергии:

Ландау и Лифшиц в томе 3 §10 писал(а):

Состояния, в которых энергия имеет определённые значения, называются стационарными состояниями системы. Они описываются волновыми функциями $\Psi_n,$ являющимися собственными функциями оператора Гамильтона <...>

$$\Psi_n=\exp\left(-\frac{i}{\hbar}E_n\,t\right)\,\psi_n(q) \qquad (10.1)$$

Общее же решение $\Psi$ основного уравнения квантовой механики (8.1) имеет вид суперпозиции состояний (10.1) с коэффициентами $a_n$ (которые, как видно из следующей формулы, определяются разложением произвольно заданой в качестве начального условия функции $\Psi$ при $t=0$ по функциям $\psi_n(q)):$

Ландау и Лифшиц в томе 3 §10 писал(а):

Разложение произвольной волновой функции $\Psi$ по волновым функциям стационарных состояний имеет вид

$$\Psi=\sum_n \,a_n\,\exp\left(-\frac{i}{\hbar}E_n\,t\right)\,\psi_n(q) \qquad (10.3)$$

Квадраты $|a_n|^2$ коэффициентов разложения, как обычно, определяют вероятности различных значений энергии системы.

(10.3) и есть в общем случае волновая функция замкнутой системы (или системы, находящейся в постоянном внешнем поле). Это — общее решение основного уравнения квантовой механики (8.1) с не зависящим от времени гамильтонианом; такое решение (как и должно быть по законам математики для линейных однородных уравнений) имеет вид линейной комбинации (10.3) частных решений (10.1).

В состоянии $\Psi$ вида (10.3) энергия не имеет опредёлённого значения. Эти слова означают, что в актах измерения энергии системы (если уметь измерять энергию) будет обнаруживаться то одно, то другое значение из множества возможных $E_n.$ Другими словами, энергия системы в состоянии (10.3) оказывается величиной случайной — флуктуирующей от одного акта измерения к другому. Распределение вероятности для всех возможных $\Psi_n$ (в заданном состоянии $\Psi$ вида (10.3)), а с ними и для $E_n,$ это $|a_n|^2.$

В конце всего эксперимента с многократными актами измерения флуктуирующей величины можно подсчитать её среднее значение — как среднее арифметическое результатов всех актов измерения. При большом числе актов измерения это среднее значение приближается к теоретически вычисляемому "среднему по статистическому ансамблю", которое в квантовой механике равно матричному элементу гамильтониана по заданному состоянию $\Psi$ (считаем, что функция $\Psi$ нормирована, функции $\Psi_n$ образуют ортонормированный базис для разложения решений $\Psi$ основного уравнения квантовой механики):

$$\langle E \rangle = \langle \Psi|\hat{H}|\Psi\rangle=\sum_n E_n\,|a_n|^2$$

Сохранение энергии замкнутой (или находящейся в постоянном поле) системы при этом проявляется просто в том, что $\langle E \rangle$ не зависит от времени.

В частном случае, когда задано состояние $\Psi,$ у которого один коэффициент $a_n=1,$ а остальные равны нулю, такое состояние является стационарным: $\Psi=\Psi_n.$ Разумеется, энергия в стационарном состоянии $\Psi_n$ имеет определённое (не флуктуирующее) значение $E_n,$ и с ним совпадает среднее значение энергии. Но, подчеркну ещё раз, стационарные состояния — это частные решения. Общее решение $\Psi$ основного уравнения квантовой механики (т.е. нестационарного уравнения Шредингера (8.1)) с не зависящим от времени гамильтонианом имеет вид суперпозиции стационарных состояний с разными энергиями и поэтому не имеет определённой энергии.


Важный, интересный и не очень сложный конкретный пример состояния с неопределённой энергией для системы с не зависящим от времени гамильтонианом приведён в ЛЛ-3 в упражнении 3 к §23 — задача о когерентном состоянии одномерного гармонического осциллятора. Советую разобраться там со всеми формулами (1) - (7) и вывести указанное там равенство:

Ландау и Лифшиц в томе 3 §23 в задаче 3 писал(а):

Функция (3) может быть разложена по волновым функциям стационарных состояний осциллятора

$$\Psi=\sum\limits_{n=0}^\infty a_n\,\Psi_n\,, \quad \text{где}\quad \Psi_n(x,t)=\psi_n(x)\,\exp \left(-i\left(n+\frac{1}{2}\right)\omega t\right)$$

[realeugene]

OlegML в сообщении #1721016 писал(а):

Любой вектор в этой плоскости переводится проектором в себя.

Любой вектор в этой плоскости есть чистое состояние, а не смешанное.

OlegML в сообщении #1721016 писал(а):

Функция всей системы может быть представлена в виде разложения по ортонормированному базису, взятому в виде прямого произведения базисов подсистемы $|\varphi_i (y) \rangle$ и остальной части $|\theta_i (x) \rangle$: $\Psi=\sum_{ij} C_{ij} | \varphi_i\rangle |\theta_j \rangle$ или так $\Psi=\sum_i (\sum_j C_{ij}|\theta_j \rangle) | \varphi_i\rangle$.

Вот только у просто прямого произведения двух множеств нет операций сложения и умножения на комплексное число. Математическая строгость тут важна. Вы незаметно для себя подобными казалось бы мелкими шагами уплываете в ошибочные рассуждения.

-- 26.03.2026, 11:21 --

OlegML в сообщении #1721016 писал(а):

Понятие смешанного состояния появляется когда ищется матричный элемент оператора.

Вы путаете матричные элементы операторов с элементами матрицы плотности. Нет, не появляется.

[OlegML]

warlock66613 в сообщении #1721020 писал(а):

Это $(\sum_j C_{ij}|\theta_j \rangle)$ у вас комплексные коэффициенты?

Да. Они не комплексные? Считаете коэффициенты не могут зависеть от каких-то переменных?

pppppppo_98 в сообщении #1721022 писал(а):

...любыми любыми любыми...

уже понятно, не стоит так кричать.

pppppppo_98 в сообщении #1721022 писал(а):

а не на матрицы , коими являются смешанные состояния...

То есть смешанные состояния являются матрицами. Но они кажется записываются в виде комбинации известных обычных чистых состояний? Условная запись наверное?

pppppppo_98 в сообщении #1721022 писал(а):

Вам в какой раз пояснить что свойства состояния могут быть известные только частично...

Вот это как раз непонятный момент. Состояние может быть неизвестно просто потому что мы его не знаем или потому что рассматриваемая система частью другой системы. Матрица плотности определяется для второго случая. В этом случае стационарные состояния подсистемы перестают быть таковыми.

Cos(x-pi/2) в сообщении #1721023 писал(а):

"Энергия сохраняется" и "энергия имеет определённое значение" — это разные понятия в общем случае.

Это интересное утверждение. Вообще-то если энергия сохраняется, то она сохраняет какое-то значение и оно определенное. И наоборот, если энергия имеет определённое значение, значит она не принимает других значений, т.е. сохраняется.

Cos(x-pi/2) в сообщении #1721023 писал(а):

В таких случаях, т.е. когда $\hat{H}$ не зависит от времени, можно определить зависящие только от координат функции $\psi_n(q)$ и собственные значения $E_n$ гамильтониана — это решения стационарного уравнения Шредингера $\hat{H}\psi_n(q)=E_n\psi_n(q)$

С чего Вы решили, что в только указанном случае можно определить функции и на каком основании временное УШ превратилось в стационарное? Каково происхождение последнего?

Cos(x-pi/2) в сообщении #1721023 писал(а):

10.3) и есть в общем случае волновая функция замкнутой системы (или системы, находящейся в постоянном внешнем поле). Это — общее решение основного уравнения квантовой механики (8.1) с не зависящим от времени гамильтонианом; такое решение (как и должно быть по законам математики для линейных однородных уравнений) имеет вид линейной комбинации (10.3) частных решений (10.1).

В состоянии $\Psi$ вида (10.3) энергия не имеет опредёлённого значения.

Ваше утверждение противоречит следующей цитате, согласно которой энергия имеет определенное значение: Текст из первого абзаца &10 ЛЛ3: "...у систем, не находящихся в переменном внешнем поле, функция Гамильтона сохраняется. Как известно, сохраняющаяся функция Гамильтона называется энергией. Смысл закона сохранения энергии в КМ состоит в том, что если в данном состоянии энергия имеет определенное значение, то это значение остается постоянным во времени."

Cos(x-pi/2) в сообщении #1721023 писал(а):

то — общее решение основного уравнения квантовой механики ... имеет вид линейной комбинации (10.3) частных решений (10.1).

Не тот случай.

realeugene в сообщении #1721033 писал(а):

Вот только у просто прямого произведения двух множеств нет операций сложения и умножения на комплексное число.

Не понимаю что Вы имеете в виду. Это обычная операция. Что здесь не так?

realeugene в сообщении #1721033 писал(а):

Вы путаете матричные элементы операторов с элементами матрицы плотности.

Ну как же? Повторюсь. Оператор $A$ действует на часть системы. Его матричные элементы на функциях всей системы после интегрирования по остальной части находятся с помощью матрицы
плотности: $A_{ki}=\langle \varphi_k |A| \varphi_i \rangle \rho_{ki}$.
Что я путаю?