Своеобразная система уравнений - есть ли решение ?

[pan555]

Есть следующая система уравнений :
$$ x_1=x*(z_1-p)/u+y;$$ $$y_1=z*(z_1-p)/u+t;$$ $$x_2=x*(z_2-p)/u+y;$$ $$y_2=z*(z_2-p)/u+t;$$ $$x_3=x*(z_3-p)/u+y;$$ $$y_3=z*(z_3-p)/u+t;$$ $
Здесь 9 известных и 6 неизвестных :

$$ x;y;z;t;p;u $$

- их надо найти.
Имеет ли такая система уравнений решение ?

[B@R5uk]

Это не просто система, это система с параметрами. От них будет много зависеть. Если домножить всё на u, то получится система алгебраических уравнений, решение которой я обсуждаю в соседней теме. Если вы решаете над полем комплексных чисел, то САУ с 6 уравнениями и с 6-ю неизвестными почти всегда будут иметь решение (кроме случая, когда параметры подобраны так, что система несовместная, можно ли это сделать в вашей системе — надо думать).

[dgwuqtj]

Если все параметры равны $0$, кроме $x_1 = 1$, то решений нет. А зачем вам $u$ и $p$? Их можно убрать заменами.

[pan555]

B@R5uk в сообщении #1716695 писал(а):

Это не просто система, это система с параметрами. От них будет много зависеть. Если домножить всё на u, то получится система алгебраических уравнений, решение которой я обсуждаю в соседней теме. Если вы решаете над полем комплексных чисел, то САУ с 6 уравнениями и с 6-ю неизвестными почти всегда будут иметь решение (кроме случая, когда параметры подобраны так, что система несовместная, можно ли это сделать в вашей системе — надо думать).

Да, ищется решение над полем комп.чисел.
Но решение не нашел:(((
И что за соседняя тема ?
-- 30.01.2026, 16:21 --

dgwuqtj в сообщении #1716697 писал(а):

Если все параметры равны $0$, кроме $x_1 = 1$, то решений нет. А зачем вам $u$ и $p$? Их можно убрать заменами.

Параметры не равны нулю.

И какие же тут возможны замены ?!

[dgwuqtj]

$x / u = x'$, $z / u = z'$, $y - x p / u = y'$, $t - z p / u = t'$

[pan555]

dgwuqtj в сообщении #1716705 писал(а):

$x / u = x'$, $z / u = z'$, $y - x p / u = y'$, $t - z p / u = t'$

С этими подстановками эту систему не решить - я пробовал...

[B@R5uk]

pan555, распишите, что у вас получается. Тут подсказывают, но за вас не решают.

pan555 в сообщении #1716700 писал(а):

И что за соседняя тема ?

Вот эта со второй половины.

[pan555]

B@R5uk в сообщении #1716721 писал(а):

pan555, распишите, что у вас получается. Тут подсказывают, но за вас не решают.

Вот подстановки :
$x / u = x'$, $z / u = z'$, $y - x p / u = y'$, $t - z p / u = t'$
С первыми двумя подстановками понятно, а остальные даже не знаю,как применить.
У меня получилось следующее :
$$x_1=x'*(z_1-p)+y;$$ $$y_1=z'*(z_1-p)+t;$$ $$x_2=x'*(z_2-p)+y;$$ $$y_2=z'*(z_2-p)+t;$$ $$x_3=x'*(z_3-p)+y;$$ $$y_3=z'*(z_3-p)+t;$$ $ $

В результате получил :
$$ x'= (x_1-x_2)/(z_1-z_2);$$ $$z'= (y_1-y_2)/(z_1-z_2); $
И дальше не знаю,как быть...

---
Нужно понять,возможно ли решать такие уравнения?
И ,если можно,то как ?

[dgwuqtj]

pan555 в сообщении #1716812 писал(а):

остальные даже не знаю,как применить

Вот так: $y = y' + p x'$, $t = t' + p z'$. Уравнения ещё сильнее упростятся.

pan555 в сообщении #1716812 писал(а):

И дальше не знаю,как быть...

Подставить в уравнения и посмотреть, будет ли это всегда решением, или вылезут соотношения на параметры.

[pan555]

dgwuqtj в сообщении #1716814 писал(а):

pan555 в сообщении #1716812 писал(а):

остальные даже не знаю,как применить

Вот так: $y = y' + p x'$, $t = t' + p z'$. Уравнения ещё сильнее упростятся.

pan555 в сообщении #1716812 писал(а):

И дальше не знаю,как быть...

Подставить в уравнения и посмотреть, будет ли это всегда решением, или вылезут соотношения на параметры.

При данных подстановках можно найти значения x',y',z'.t'
, но вот дальше искомые величины x,y,z, t,p,u - найти не могу.
Т.е. уравнения :
$$ x/u=x'; z/u=z'; y= y' +px': t = t'+pz'; $ $
у меня не решаются.
Может, это я такой тупой и тут есть люди умнее ?

[dgwuqtj]

У меня решаются.

pan555 в сообщении #1716945 писал(а):

При данных подстановках можно найти значения x',y',z'.t'

Вот не всегда, а только при дополнительных соотношениях между параметрами.

pan555 в сообщении #1716945 писал(а):

уравнения :
$$
x/u=x'; z/u=z'; y= y' +px': t = t'+pz'; $
$
у меня не решаются.

У меня решаются: $u \neq 0$ и $p$ произвольные, остальные переменные находятся однозначно. Что вы вообще называете решением системы уравнений?

[pan555]

У меня получается,что решением поставленной задачи являются не конкретные значения искомых величин
$x,z,y,t,p,u$,a некоторая функциональная зависимость между ними :

$$x=(x_1-x_2)/(z_1-z_2)*u $$ $$z=(y_1-y_2)/(z_1-z_2)*u $$ $$y=(x_1- (x_1-x_2)/(z_1-z_2)*z_1) +p*(x_1-x_2)/(z_1-z_2) ;$$ $$t=(y_1- (y_1-y_2)/(z_1-z_2)*z_1) +p*(y_1-y_2)/(z_1-z_2) ;$$ $$

Причём на параметры возлагается следующее требование :

$$(x_1-x_2)/(z_1-z_2)=(x_2-x_3)/(z_2-z_3);$$ $$(y_1-y_2)/(z_1-z_2)=(y_2-y_3)/(z_2-z_3);$$ $$

Это надо обдумать.Ибо я ожидал,что получим конкретные значения искомых величин,а не вот такое...
И возможно ли получить что -то большее?
Не знаю...

[B@R5uk]

Ну, нормально, чо. У вас есть главные переменные, а есть свободные, через которые главные выражаются. Так же есть условие совместности системы, при выполнение которого решение существует.

Вон, возьмите хотя бы СЛАУ из линейной алгебры:

$$Ax=b$$

Чтобы решение системы существовало ранг матрицы A (не обязательно квадратной) должен совпадать с рангом расширенной (требование на "параметры" задачи):

$$\operatorname{rk}(A)=\operatorname{rk}(A,\;b)$$

Если это выполняется, то решение существует и выражается как

$$x=A^+b+Cy$$

где плюсик в степени A означает псевдообращение Мура-Пенроуза, а столбцы матрицы C являются базисом подпространства ядра матрицы A. Столбец y — произвольный.

В случае нелинейных систем, всё то же самое, только больше и сложнее. Ну, в вашем случае всё разрешилось.

[pan555]

B@R5uk в сообщении #1717046 писал(а):

Ну, нормально, чо. У вас есть главные переменные, а есть свободные, через которые главные выражаются. Так же есть условие совместности системы, при выполнение которого решение существует.

Вон, возьмите хотя бы СЛАУ из линейной алгебры:

$$Ax=b$$

Чтобы решение системы существовало ранг матрицы A (не обязательно квадратной) должен совпадать с рангом расширенной (требование на "параметры" задачи):

$$\operatorname{rk}(A)=\operatorname{rk}(A,\;b)$$

Если это выполняется, то решение существует и выражается как

$$x=A^+b+Cy$$

где плюсик в степени A означает псевдообращение Мура-Пенроуза, а столбцы матрицы C являются базисом подпространства ядра матрицы A. Столбец y — произвольный.

В случае нелинейных систем, всё то же самое, только больше и сложнее. Ну, в вашем случае всё разрешилось.

А где про подобное можно прочитать ?
Никогда не сталкивался с псевдообращением Мура-Пенроуза,например.
.И мне казалось,что у меня линейный случай - это так ?
А где тогда про нелинейный случай прочитать ?
Ибо предьявленная тут задача - в моих исследованиях - только простейший вариант..
Предстоит ещё более сложная задача...
Нужна информация..

[B@R5uk]

pan555 в сообщении #1717047 писал(а):

...у меня линейный случай - это так ?

У вас же неизвестная u в уравнениях в знаменателе. Какой же это линейный случай?