Математическая статистика (вопрос об определении)

[Hazlarorn]

Товарищи добрый вечер. Возник вопрос по поводу определения при изучении курса (рисунок будет ниже).



Вопрос состоит в том какова область определения оценок в последовательности оценок (извиняюсь за тафтологию)?. И как я понимаю соответсвующая вероятностная мера (в определении) будет определена на сигма алгебре пространства всех возможных последовательностей вещественных чисел (R_infinity). Просто для понимания происходящего в нескольких источниках определение оценки толкуют по разному с одной стороны она своей областью определения имеет соответсвующее пространство элементарных исходов (например где определена выборка конечная), а с другой стороны своей областью определения она имеет множество значений выборки (соответсвующего случайного вектора множество значений). Хотелось бы этот момент как то разъяснить также. Возможно конечно я просто сильно заморачиваюсь по поводу определния.

Возможно для лучшего понимая вопроса я изложу свою версию понимания (возможно она не совсем корректна). Если мы примем первое определение статистики (когда область определения является множеством элементарных исходов где определена исходная выборка) то мне кажется выше данное определение (на скрине не имеет смысла), ибо распределение (от элемента выборки) определена вообще на другом множестве (борелевской сигма алгебре вещественное прямой). Если мы примем второе определение (когда область определения это множество значений[или скорей всего все возможные последовательности вещественных чисел] ,и продолжим вероятностную меру на R_infinity) то тут у меня возникает вопрос практического вычисления таких оценок ибо есть следующий ниже пример для состоятельной оценки.

И да в этом примере тупо применяется ЗБЧ НО вероятностная мера будет на пространстве случайных событий которой соответсвует пространство элементарных исходов где определена вся ВЫБОРКА данная следовательно тут будет применимо первое определение статистики. Возможно конечно что используя определение распределения случайной величины можно показать что это действительно так и есть (т.е. расписать по определению) но мне кажется это слишком сложным для одного определения.




Заранее спасибо

[Ende]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: вопрос покрывается учебным курсом математической статистики.

[mihaild]

Последовательность оценок определена на последовательностях вещественных чисел. Если я Вам принесу последовательность значений: $X_1 = 3$, $X_2 = 7$, $X_3 = -5$ и т.д., то Вы сможете посчитать каждую из оценок.
Композиция каждой конкретной оценки с соответствующим вектором - это уже случайная величина, определенная на каком-то вероятностном пространстве. На каком - неважно, достаточно, чтобы на нем можно было задать $n$ независимых величин с нужным распределением.
Но да, оценкой часто называют и функцию от значений случайных величин, и композицию (которая сама случайная величина).

Тут нужно заметить, что в определении состоятельности у вас вообще не требуется никакое вероятностное пространство, поддерживающее одновременно все случайные величины. Достаточно для каждого $n$ брать свое пространство, поддерживающее только $n$ величин. Мы сначала для каждого $n$ считаем вероятность, получаем число, а уже потом берем предел по $n$.

[Hazlarorn]

Т.е. на $R_\infty$ (множество всех последовательностей вещественных чисел) для каждого n является областью определения оценки (в последовательности оценок). Правильно ли я понимаю? И еще если так то почему об этом нигде подробно не написано (в различных источниках по крайней мере я про информацию такую не смог найти)

[Ende]

Hazlarorn
Для оформления формул в $\TeX$ ставьте слева и справа от формулы знак доллара. Знак бесконечности кодируется оператором \infty

$R_\infty$

Результат: $R_\infty$

[mihaild]

Hazlarorn в сообщении #1715398 писал(а):

Т.е. на $R_\infty$ (множество всех последовательностей вещественных чисел) для каждого n является областью определения оценки (в последовательности оценок).

Что "является областью определения оценки"?
$n$-я оценка $\hat \theta_n$ в последовательности определена на $\mathbb R^n$. Всю последовательность $\hat \theta$, соответственно, можно определить на $\mathbb R_\infty$ по правилу $\hat\theta(x_1, x_2, \ldots) = (\hat\theta_1(x_1), \hat\theta_2(x_1, x_2), \ldots)$.

[Hazlarorn]

Спасибо. А насчет примера ниже?