Доказать несчётность отрезка теоремой Бэра

[cxzbsdhwert]

warlock66613 в сообщении #1713428 писал(а):

cxzbsdhwert в сообщении #1713426 писал(а):

я предъявляю множество в качестве отрезка - $\{\{4,3,2,1\},\{8,7,6,5\},...\}$

Ваше множество не годится в качестве отрезка, поскольку отрезок -- это множество точек, а ваше множество множеством точек не является.

Где Вы были 25 сообщений назад...

Правда, я только сейчас понял, что одноточечное н.б.ч.с. множество ведь Теореме Бэра удовлетворяет будучи замкнутым. Ну об теорема-то и собственно.
А значит, рассматривая от обратного, никакого противоречия с Теоремой Бэра не возникает. То есть мы тут спорили достаточно ли того что одноточечный случай приводит к противоречию с Теоремой Бэра или нет, а он вообще ни к какому противоречию с этой теоремой не приводит.

Разве не так?

[warlock66613]

cxzbsdhwert в сообщении #1713429 писал(а):

одноточечное н.б.ч.с. множество

ЧТо такое "одноточечное н.б.ч.с. множество"? Одноточечное множество -- это множество из одной точки. Оно заведомо не более чем счётное, зачем это уточнение?

[cxzbsdhwert]

warlock66613 в сообщении #1713430 писал(а):

cxzbsdhwert в сообщении #1713429 писал(а):

одноточечное н.б.ч.с. множество

ЧТо такое "одноточечное н.б.ч.с. множество"? Одноточечное множество -- это множество из одной точки. Оно заведомо не более чем счётное, зачем это уточнение?

Извините, тут уже по сто раз полные формулировки употреблялись, поэтому сокращаю.
Имелось в виду то не пустое не более чем счётное множество, которое является объединением н.б.ч.с. набора одноэлементных множеств, элементы которых принадлежат $\mathbb R$ И отрезку, который в виде такого множества, рассматривая от противного, представляется.

[warlock66613]

cxzbsdhwert в сообщении #1713439 писал(а):

мелось в виду то не пустое не более чем счётное множество, которое является объединением н.б.ч.с. набора одноэлементных множеств

Любое не более чем счётное множество является объединением н.б.ч.с. набора одноэлементных множеств.

[cxzbsdhwert]

warlock66613 в сообщении #1713440 писал(а):

cxzbsdhwert в сообщении #1713439 писал(а):

мелось в виду то не пустое не более чем счётное множество, которое является объединением н.б.ч.с. набора одноэлементных множеств

Любое не более чем счётное множество является объединением н.б.ч.с. набора одноэлементных множеств.

Уже разобрался в чём дело.
В формулировке Теоремы написано: "если $F=\bigcup\limits_{n}F_n$, где $F_n$ отнюдь не должны принадлежать $F$.

Но тут ранее начали рассматривать $M=\bigcup\limits_{x\in M}\{x\}$ как будто-то это то же самое.

Рассмотрю доказательство от обратного, то есть что отрезок счётен, по новой.
Вы не могли бы пояснить? :
1. Мы рассматриваем в качестве отрезка всегда одно и тоже множество чисел, а не множеств, но представляя его объединением н.б.ч.с. набора разных множеств — только одноточечных и не только одноточечных.
2. Мы уже поняли, что представление в виде объединения одноточечных не приводит к противоречию с Теоремой Бэра, как и представление в виде объединения неодноточечных (в обоих видах случаев найдётся интервал, пересечение которого лежит в одном из множеств объединения).
3. Можно же предъявить такие представления чтобы нашёлся интервал с пересечением из более одной точки, которое будет принадлежать некоторому $F_n$. Верно? $F_n$ тогда будут не одноточечными конечно, но Теорема Бэра этого и не запрещает.
4. Достаточно ли тогда было Лектором рассмотреть только представление одноточечного объединения и заключить что тогда невозможно пересечение из более двух точек, принадлежащее одному $F_n$?

[skobar]

cxzbsdhwert
Ваши беды от того, что вы не понимаете технику доказательства "от противного". Если вы сделаете умственное усилие и воспримите следующий текст, то все ваши (бессмысленные) вопросы отпадут сами собой. Все, что вам надо для того, чтобы разобраться с материалом уже написано, остается это прочитать и понять. Написано специально под вас, сообразно тому, что у вас в голове:

skobar в сообщении #1713383 писал(а):

когда вы что-то доказываете от противного, то вы начинаете с того, что формулируете отрицание к доказываемому утверждению (предполагаете противное). Не "обратное" утверждение, как вы пишите, а отрицание. Обратное утверждение - это из другой оперы. Затем из отрицания вы начинаете выводить цепочку следствий. И если в конце этой цепочки вы придете к ложному утверждению, то это и есть "противоречие". Если вам удалось построить цепочку следствий ведущую к противоречию, то доказательство от противного удалось. Если такую цепочку построить не получилось, то это не значит ничего - вы не можете отсюда сделать вывод об истинности или ложности исходного утверждения.
Как это выглядит в случае наших баранов:

1. Доказываемое утверждение: Отрезок не является н.б.ч. счетным множеством
2. Формулируем отрицание к нему (предполагаем "противное") : Отрезок является н.б.ч.с. множеством
По определению это в точности значит, что все числа из отрезка можно перенумеровать, т.е. отрезок можно записать в виде

$$\begin{equation}[a,b]=\{x_1, x_2, x_3, \dots\}\end{equation}$$

3. В качестве следствия из $(1)$ имеем следующее разбиение

$$[a,b]=\bigcup_n \ \{x_n\} $$

Я подчеркиваю, что это разбиение - это следствие отрицания. Из отрицания доказываемого утверждения можно вывести много следствий (множество различных разбиений), но мы выбираем именно такое. Мы не можем выбирать отрицание к доказываемому утверждению, потому что оно одно, но мы можем выбрать любое следствие из отрицания.
Далее уже известной цепочкой мы приходим к тому, что одноточечное множество содержит в качестве подмножества множество с более чем одной точкой, что является противоречием, которое завершает доказательство от противного.

С точки зрения логики доказательство безупречно.

[warlock66613]

cxzbsdhwert в сообщении #1713442 писал(а):

и заключить что тогда невозможно
пересечение из более двух точек, принадлежащее одному $F_n$?

Такого заключения не делается и оно нам не нужно.

[cxzbsdhwert]

warlock66613 в сообщении #1713446 писал(а):

cxzbsdhwert в сообщении #1713442 писал(а):

и заключить что тогда невозможно
пересечение из более двух точек, принадлежащее одному $F_n$?

Такого заключения не делается и оно нам не нужно.

Такое заключение сделано Лектором, в рамках доказательства через Теорему Бэра, того что отрезок несчетен.
Вот я и создал тему чтобы понять верно ли такое заключение, и если не верно, то как вообще Теорема Бэра доказывает что отрезок несчетен.

-- 28.12.2025, 11:38 --

skobar в сообщении #1713444 писал(а):

cxzbsdhwert
Ваши беды от того, что вы не понимаете технику доказательства "от противного". Если вы сделаете умственное усилие и воспримите следующий текст, то все ваши (бессмысленные) вопросы отпадут сами собой. Все, что вам надо для того, чтобы разобраться с материалом уже написано, остается это прочитать и понять. Написано специально под вас, сообразно тому, что у вас в голове:

Вы написали: "отрицание одно, мы его не выбираем" отрицание это "существует счётный отрезок" (хотя вообще всё же "всякий отрезок как вид счётен", ну ладно).
Вы также написали, что следствия выбираем.

Следствие тут это: "если существует счётный отрезок, то он удовлетворяет Теореме Бэра".

И другое следствие "если существует счётный отрезок $F$ и он удовлетворяет Теореме Бэра, то существует его представление в виде объединения н.б.ч.с. (замкнутых) множеств $F_n$ и существует интервал, пересечение которого со всем $F$ принадлежит одному из $F_n$ и состоит из более двух точек"

Ложным отрицание будет только если невозможно предъявить ни одного множества, удовлетворяющего всем перечисленным следствиям — то есть если такого множества не существует.
Я Вам предъявил конкретный пример такого множества. Оно существует. Предположение от обратного истинно (если ограничиться только теми следствиями о которых мы спорим второй)

[warlock66613]

cxzbsdhwert в сообщении #1713447 писал(а):

Такое заключение сделано Лектором, в рамках доказательства через Теорему Бэра, того что отрезок несчетен.

Нет. Вот обсуждаемое доказательство:

skobar в сообщении #1713372 писал(а):

1.Пусть отрезок $[a,b], a<b$ счётен, тогда $[a,b]=\cup_{n} \{x_n\}$, то есть отрезок представлен в виде объединения счетного числа одноточечных множеств. Напомним, что всякое одноточечное множество на вещественной прямой замкнуто.
2. По следствию из теоремы Бэра найдется интервал, пересекающийся с нашим отрезком $[a,b]$ такой, что его пересечение с отрезком целиком лежит в каком-то одноточечном множестве $\{x_n\}$
3. Но, как правильно говорит лектор, "пересечение интервала с отрезком состоит уж по крайней мере из двух точек" (если оно непусто, а оно непусто)
4. Получили, что какое-то одноточечное множество $\{x_n\}$ содержит в качестве подмножества множество, в котором по крайне мере две точки (на самом деле, конечно, бесконечно много точек). Противоречие.

Где здесь написано "невозможно пересечение из более двух точек, принадлежащее одному $F_n$"?

[cxzbsdhwert]

warlock66613 в сообщении #1713451 писал(а):

Нет. Вот обсуждаемое доказательство:

А Вы не полностью процитировали @skobar — данный участник дискуссии приведённый Вами текст написал считая, что я не правильно воспроизвёл доказательство с лекции. И дальше приводит, по его мнению правильно воспроизводящее доказательство.

То есть мы в любом случае обсуждаем доказательство, которое изложил Лектор в видео, которое я указал в первом сообщении.
И раз мы обсуждаем доказательство Лектора (ну я ради этого и создал тему), то мы обсуждаем доказательство в котором делается заключение о невозможности такого неодноточечного пересечения.

"А значит такое не возможно" — ссылка на видео лекции, начинающееся с момента где Лектор эту фразу произносит (хотя я её уже приводил)

Ну и @skobar на которого Вы сослались вообще-то с Лектором согласен.

А считает что это не возможно @skobar ну и видимо Лектор, потому что можно привести представление отрезка как н.б.ч.с. у которого пересечение принадлежащее $F_n$ не будет состоять из более одной точки. А я пишу что можно же и предъявить когда будет, а значит такое представление возможно. А @skobar считает что для того чтобы утверждать что невозможно достаточно предъявить пример пересечения не состоящий из более чем одной точки, даже если есть примеры состоящие из более одной точки.

[warlock66613]

cxzbsdhwert в сообщении #1713452 писал(а):

данный участник дискуссии приведённый Вами текст написал считая, что я не правильно воспроизвёл доказательство с лекции

Так вы неправильно воспроизвели. А skobar правильно.

cxzbsdhwert в сообщении #1713452 писал(а):

делается заключение о невозможности такого неодноточечного пересечения

Нет, не делается.

cxzbsdhwert в сообщении #1713452 писал(а):

А значит такое не возможно

"Такое" -- что отрезок не более чем счётен. Мы начинаем с предположения, что отрезок не более чем счётен, затем получаем два противоречащих следствия и делаем вывод, что предположение невозможно.

[skobar]

cxzbsdhwert в сообщении #1713447 писал(а):

Следствие тут это: "если существует счётный отрезок, то он удовлетворяет Теореме Бэра".

Ну давайте читать вместе с пальчиком:

skobar в сообщении #1713383 писал(а):

3. В качестве следствия из $(1)$ имеем следующее разбиение

$$[a,b]=\bigcup_n \ \{x_n\} $$

Скажите, здесь говорится "если существует счётный отрезок, то он удовлетворяет Теореме Бэра"? Очевидно нет. Читайте то, что написано, а не подменяйте написанное своими фантазиями.

Ещё раз, попробуйте прочитать и осмыслить текст без добавления своих фантазий. Если осмыслите, то и фантазии исчезнут.

cxzbsdhwert в сообщении #1713447 писал(а):

Вы написали: "отрицание одно, мы его не выбираем" отрицание это "существует счётный отрезок" (хотя вообще всё же "всякий отрезок как вид счётен", ну ладно)

Если в формулировке теоремы сказать "любой отрезок несчетен", то тогда, конечно, при построении отрицания квантор "для любого" заменяется на квантор "существует". Но если в формулировке теоремы сказать, что отрезок нам уже дан и зафиксирован, но никаких кванторов нет и, соответсвенно, их подмена не возникает.

[cxzbsdhwert]

warlock66613 в сообщении #1713453 писал(а):

Мы начинаем с предположения, что отрезок не более чем счётен, затем получаем два противоречащих следствия и делаем вывод, что предположение невозможно.

Вы не могли бы сформулировать в чём противоречия возникает?

[warlock66613]

cxzbsdhwert в сообщении #1713455 писал(а):

Вы не могли бы сформулировать в чём противоречия возникает?

Один и тот же интервал в пересечении с одним и тем же отрезком имеет ровно одну точку пересечения и в то же время не меньше двух точек пересечения. Это противоречие.

[skobar]

cxzbsdhwert в сообщении #1713452 писал(а):

То есть мы в любом случае обсуждаем доказательство, которое изложил Лектор в видео, которое я указал в первом сообщении.

Неправильно. Вы действительно неправильно воспроизвели доказательство лектора, так что вы предлагаете обсуждать не "доказательство лектора", а свою неправильную интерпретацию доказательства лектора. В этом смысла нет, полезным будет только если вы поймете, что на самом деле говорил лектор.

-- 28.12.2025, 14:21 --

cxzbsdhwert в сообщении #1713455 писал(а):

Вы не могли бы сформулировать в чём противоречия возникает?

Опять же, читайте текст:

skobar в сообщении #1713383 писал(а):

Далее уже известной цепочкой мы приходим к тому, что одноточечное множество содержит в качестве подмножества множество с более чем одной точкой, что является противоречием

warlock66613 вам сказал то же самое, только другими словами:

warlock66613 в сообщении #1713456 писал(а):

Один и тот же интервал в пересечении с одним и тем же отрезком имеет ровно одну точку пересечения и в то же время не меньше двух точек пересечения. Это противоречие.