Квантовая физика атома водорода без интерпретаций

[Cos(x-pi/2)]

Что-то мне вообще стала непонятной идея об усреднённом времени жизни разных нестабильных систем. Вот, допустим, мы в момент времени $t=0$ взяли $N_0$ частиц с временем жизни $\tau_1$ и $N_0$ частиц с временем жизни $\tau_2.$ Тогда суммарное число $N(t)$ (без учёта флуктуаций) нераспавшихся частиц к моменту времени $t>0$ будет

$$N(t)=N_0\,e^{-t/\tau_1}+N_0\,e^{-t/\tau_2}$$

С течением времени то слагаемое, у которого время жизни меньше, станет экспоненциально малым по сравнению с другим слагаемым и им можно будет пренебречь. Т.е. на больших временах число $N(t)$ приблизительно равно единственному слагаемому, самому долгоживущему.

Производная в начальный момент времени есть

$$\left(\frac{dN}{dt}\right )_{t=0} =-\left (\frac{1}{\tau_1}+\frac{1}{\tau_2}\right )N_0$$

Выражение, которое справа в скобках, обозначу как $1/\tau.$ Если попытаться ввести в рассмотрение некое якобы "эффективное число нераспавшихся частиц" уравнением

$$\frac{dN}{dt}=-\frac{1}{\tau}\,N$$

(с начальным значением $N(0)=N_0),$ то получим для него ответ $N_0\, e^{-t/\tau},$ вовсе не характеризующий правильные значения и поведение $N(t).$ Так что, насчёт якобы среднего времени жизни $\tau=\frac{\tau_1\tau_2}{\tau_1+\tau_2}$ я был неправ.

Вот и задумался теперь, а известен ли вообще какой-то физически осмысленный способ определить "среднее время жизни" частицы в смеси нестабильных частиц, различающихся временем жизни? (Гуглежом подходящего ответа не нашёл; может быть, плохо искал... или какой-то заскок у меня (увы, такое бывает)).

[lel0lel]

(Оффтоп)

Не получается пробиться на форум, по полчаса приходится обновлять страницу, чтобы ответить.

Cos(x-pi/2)
Спасибо, что указали на то, что я в сообщении про смешанное состояние не вполне ясно объяснил, что там находится. Добраться до той страницы мне не удаётся, поэтому расскажу без цитирования того сообщения. Хотелось понять какое время релаксации смешанного состояния (а не смеси частиц) к основному состоянию. В том сообщение я не совсем верно говорил про время жизни. Можно представить такой эксперимент: выбираем случайную частицу из смеси (смесь свежая, если нужно, то готовим её заново) и следим за её излучением, если слишком долго не излучает (больше ожидаемых времён релаксации на порядок), можно попробовать слабым полем вызвать излучение (чтобы убедиться, если излучения не будет, что она в основном), либо просто пишем, что время релаксации этой частицы ноль. Набрав статистику, усредняем. В некотором смысле, получим среднее время релаксации смешанного к основному, или, с натяжкой, время жизни смешанного (не самой смеси). Не уверен, что это очень осмысленно. Формул не пишу, сейчас тяжело.

[Cos(x-pi/2)]

lel0lel в сообщении #1702213 писал(а):

если слишком долго не излучает (больше ожидаемых времён релаксации на порядок), можно попробовать слабым полем вызвать излучение (чтобы убедиться, что она в основном), либо просто записываем, что время релаксации этой частицы ноль.

Так ведь наверное тогда не ноль, а "бесконечность", раз она не релаксирует в течение времени, большего ожидаемых больших времён релаксации; тогда и среднее наверное будет "бесконечность".

А... дошло. Наверное Вы считаете, что частица мгновенно срелаксировала, раз потом она уже не релаксирует. Хм... но тогда вряд ли можно полагать, что она "слишком долго не излучает"; излучила же. Ладно, интуитивно немного понятно, хотя чёткого смысла такого среднего времени релаксации я пока не уловил (типа, в какую формулу его потом подставлять, какие величины по нему оценивать).

[lel0lel]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1702214 писал(а):

Так ведь наверное тогда не ноль а "бесконечность", раз она не релаксирует в течение времени, большего ожидаемых больших времён релаксации

Или релаксация уже была пока частицу несли из коробки к спектрометру, то есть, мгновенно. К тому же, знаем матрицу плотности, и в ней "замешано" основное состояние, с нулевым временем релаксации.

Cos(x-pi/2) в сообщении #1702214 писал(а):

Наверное Вы считаете, что частица мгновенно срелаксировала, раз потом она уже не релаксирует. Хм... но тогда вряд ли можно полагать, что она "слишком долго не излучает".

Да, всё так. "Слишком долго не излучает"-- это на случай, если попалась живучая частица в возбуждённом. Хотя, там убывающая экспонента в вероятности оставаться в возбуждённом состоянии -- проверять не обязательно. Достаточно подождать.
Фактически, находим средневзвешенное время релаксации всех входящих чистых состояний на которых замешано смешанное. Причём основному состоянию приписываем нулевое время релаксации. Какого-то серьезного смысла пожалуй нет. Только хотелось показать, что и смешанное, и чистое будут "релаксировать" со сравнимыми скоростями, особых различий нет. Кроме того, смешанное можно построить задав вероятности входящих в него чистых компонент (и создать такую смесь), а сами эти компоненты не обязательно делать стационарными состояниями, можно брать комбинации. Тогда отличий от обсуждаемого состояния в виде суперпозиции вообще почти не остаётся.

[realeugene]

lel0lel в сообщении #1702213 писал(а):

Хотелось понять какое время релаксации смешанного состояния (а не смеси частиц)

А в чём вообще разница? В полностью смешанном состоянии по определению нет никакого взаимодействия между базисными состояниями: внедиагональные члены нулевые. Всё равно, что бросили монетку и выбрали частицу в одном из состояний, которую и наблюдаем дальше.

Вы точно пишете про смешанное состояние, а не про суперпозицию?

-- 18.09.2025, 09:53 --

Cos(x-pi/2) в сообщении #1702211 писал(а):

Вот и задумался теперь, а известен ли вообще какой-то физически осмысленный способ определить "среднее время жизни" частицы в смеси нестабильных частиц,

Нет конечно: сумма экспонент не есть экспонента.

Осреднить, конечно, можно всё, что угодно, только в результате это не будет параметром экспоненциального распределения.

-- 18.09.2025, 10:00 --

lel0lel в сообщении #1702209 писал(а):

Предположим, что мы приготовили $|\Phi(0)\rangle=\left(c_1\cdot|\psi_1\rangle + c_2\cdot|\psi_2\rangle \right)\otimes |0\rangle$. Предположим, что можно медленно включить взаимодействие с полем. Нам нужно включать такое взаимодействие, чтобы новый полный гамильтониан имел непрерывный спектр (иначе, как и прежде, эволюция сведётся к осцилляциям), и чтобы для исходно приготовленного состояния новое среднее значение и дисперсия энергии не очень сильно отличались от прежних значений. Но как только это делаем, старые стационарные состояния больше не являются таковыми для нового гамильтониана.

Разве основное состояние атома водорода не остаётся тем же самым и в КЭД? Кулоновское электрическое поле уже учтено в уравнении Шрёдингера. Распад нестабильных состояний - да, требует каких-то поправок в гамильтониан.

[amon]

realeugene в сообщении #1702385 писал(а):

А полностью стационарных не нижних по энергии состояний возможно вообще нигде нет.

Тогда и нас всех тоже нет. Попытка повернуть тему от философии к физике. К черту водород, с ним сложно. Пусть двухуровневая система находится в классическом электромагнитном поле и может излучать фотон в единственную моду идеального резонатора бесконечной добротности. Гамильтониан в приближении Джейнса-Каммингса:

$$H=\varepsilon C^+ C+\omega a^+ a+g\left(a^+ C+ C^+ a\right) + \alpha\left(E\left(t\right)C^+ + E^*(t)C\right).$$

Все энергии и частоты отсчитываются от энергии основного состояния. $C$ - фермионный оператор уничтожения состояния в двухуровневой системе, $a$ - аналогичный бозонный оператор для фотона.
Волновая функция

$$\Psi=c_1(t)|0,0\rangle+c_\theta(t)|1,0\rangle + c_z(t)|0,1\rangle.$$

$|0,0\rangle$ - основное состояние; $|1,0\rangle$ - возбужденное состояние атома, фотонов нет; $|0,1\rangle$ - один фотон, атом в основном состоянии. $E\left(t\right)$ - внешнее классическое возбуждающее поле. Все решается точно. Пусть система в начальный момент сидит в основном состоянии, классическое поле действует короткое время (начиная с $t=2$ внешнего поля нет) и выключается. Возможный ответ:

Вложение:

e1.png

После выключения поля получается то самое смешанное состояние основного и возбужденного состояния атома и фотона (на графике $c_0$ вероятность (квадрат модуля $c_1(t)$) найти систему в основном состоянии, и далее - аналогично. Получается то самое смешанное состояние атома + фотон. Если я попытаюсь измерить наличие фотона в резонаторе, то с вероятностью 0.4 я его найду. При этом "атом" окажется в основном состоянии. Если разрешить фотону улетать из резонатора, а "атому" спонтанно излучать, то атом в конце концов окажется в основном состоянии, а фотон улетит далеко-далеко, причем не один. При этом улетает разное "количество" фотонов с разной вероятностью. Вот и вся проблема.

[realeugene]

amon в сообщении #1702400 писал(а):

$C$ - фермионный оператор уничтожения состояния в двухуровневой системе, $a$ - аналогичный бозонный оператор для фотона.

Частота резонатора в точности равна частоте перехода? А операторы рождения/уничтожения фотонов только этой же частоты?

amon в сообщении #1702400 писал(а):

Если я попытаюсь измерить наличие фотона в резонаторе, то с вероятностью 0.4 я его найду.

По графику 0.4 - это же вероятность обнаружить атом в исходном состоянии и без фотона?

amon в сообщении #1702400 писал(а):

Если разрешить фотону улетать из резонатора, а "атому" спонтанно излучать, то атом в конце концов окажется в основном состоянии, а фотон улетит далеко-далеко, причем не один. При этом улетает разное "количество" фотонов с разной вероятностью.

Как быть с сохранением энергии в конкретной реализации случайного процесса?

[amon]

realeugene в сообщении #1702411 писал(а):

Частота резонатора в точности равна частоте перехода? А операторы рождения/уничтожения фотонов только этой же частоты?

Для нарисованной кривой - да.

realeugene в сообщении #1702411 писал(а):

По графику 0.4 - это же вероятность обнаружить атом в исходном состоянии и без фотона?

В основном состоянии что с фотоном, что без.

realeugene в сообщении #1702411 писал(а):

Как быть с сохранением энергии в конкретной реализации случайного процесса?

Если позволить фотону вылетать, то в рамках нерелятивистского приближения нормально считается только мнимая часть энергии возбужденного состояния "атома" (его время жизни). Для остального нужна релятивистская КЭД с перенормировкой ультрафиолетовых расходимостей и прочими прелестями. Там все должно сохраняться, но считать лень - все равно ни кто не прочитает такую портянку.

[realeugene]

amon в сообщении #1702415 писал(а):

В основном состоянии что с фотоном, что без.

Разве основное состояние с фотоном - это не $c_z(t)$, которая осциллирует от 0 до 0.6?

-- 20.09.2025, 01:19 --

amon в сообщении #1702415 писал(а):

Для нарисованной кривой - да.

А как может быть иначе в резонаторе с бесконечной добротностью? Фотоны с другими частотами в нём просто не должны существовать. А если частота фотона не будет в точности равна частоте перехода - то нарушается сохранение энергии.

[amon]

realeugene в сообщении #1702417 писал(а):

Разве основное состояние с фотоном - это не $c_z(t)$, которая осциллирует от 0 до 0.6?

Основное состояние всегда общее, когда нет ничего, и только дух Божий носится над водами. $c_z(t)$ это квадрат модуля "волновой функции" фотона - вероятность найти фотон в резонаторе.

realeugene в сообщении #1702417 писал(а):

А если частота фотона не будет в точности равна частоте перехода - то нарушается сохранение энергии.

Если "атом" может бегать (в рассматриваемой модели не может), то возможны переходы с энергиями чуть отличающимися от резонансной. Выбрана ситуация, в которой все хорошо почти без шаманского бубна. (Бубен применен, но это глубоко закопано и сверху не видно).

[realeugene]

amon в сообщении #1702420 писал(а):

Основное состояние всегда общее, когда нет ничего, и только дух Божий носится над водами. $c_z(t)$ это квадрат модуля "волновой функции" фотона - вероятность найти фотон в резонаторе.

Если я правильно понял, сидел себе атом в основном состоянии, его оттуда на 60% выдернули внешним полем, после чего начались кувыркания этих 60%: возбуждённый атом без фотона - атом в основном состоянии с фотоном. Туда-сюда-обратно. А 40% невозбудившегося состояния атома ни с кем кувыркаться не могут и так и продолжают сидеть на нижнем уровне без своего фотончика.

[amon]

Именно так. Это явление имеет имя собственное - осцилляции Раби.

[realeugene]

Спасибо. Осталось посмотреть, как осциллируют компоненты матрицы плотности например фотона при осреднении по неизмеряемым состояниям атома. Или, наоборот, компоненты матрицы плотности атома при осреднении по неизмеряемым состояниям фотона.

[Cos(x-pi/2)]

amon в сообщении #1702400 писал(а):

Гамильтониан в приближении Джейнса-Каммингса:

$$H=\varepsilon C^+ C+\omega a^+ a+g\left(a^+ C+ C^+ a\right) + \alpha\left(E\left(t\right)C^+ + E^*(t)C\right).$$

amon в сообщении #1702400 писал(а):

Волновая функция

$$\Psi=c_1(t)|0,0\rangle+c_\theta(t)|1,0\rangle + c_z(t)|0,1\rangle.$$

$|0,0\rangle$ - основное состояние; $|1,0\rangle$ - возбужденное состояние атома, фотонов нет; $|0,1\rangle$ - один фотон, атом в основном состоянии. $E\left(t\right)$ - внешнее классическое возбуждающее поле. Все решается точно.

amon

Без "портянки", хотя бы кратенькой, всё-таки непонятно, как эта волновая функция оказалась точным решением уравнения Шрёдингера $i\dot{\Psi}=H\Psi.$

Ведь в левой стороне уравнения будут производные по времени только указанных трёх членов волновой функции, а в правой стороне оператор $\alpha\,E(t)\,C^+$ подействует на $c_z(t)|0,1\rangle$ и даст $\alpha\,E(t)\,c_z(t)\,|1,1\rangle.$ Но в левой стороне нет состояния $|1,1\rangle.$

С квантовой оптикой я толком не знаком, и пока предполагаю только, что написанная Вами волновая функция $\Psi$ относится к тому времени $t,$ когда возбуждающее поле $E(t)$ уже выключили, притом само это поле было так хитро выбрано, что к моменту его выключения амплитуда состояния $|1,1\rangle$ обратилась в ноль. (И амплитуды других состояний, кроме тех трёх написанных, с большим единицы числом фотонов, если такие рождаются из-за появления члена с $|1,1\rangle,$ чтобы они тоже обратились в ноль; или они малы, и ими пренебрегли.)

(Днём на свежую голову поразмышляю ещё, если обстоятельства позволят, как интегрируется уравнение Шрёдингера в этой задаче. Видно, что это интересное упражнение; но, может быть, и не справлюсь без пояснений. Если можно, поясните, пожалуйста, ход расчёта; или, может быть, ссылки есть.)

[epros]

realeugene в сообщении #1702385 писал(а):

А при унитарной эволюции ничего не теряется и не появляется.

А при усреднении по неизвестным нам состояниям улетевшего в бесконечность фотона?

Насколько я понимаю, примерно такая же ситуация с классическим осциллирующим диполем (тем, который из заряженных шариков, соединённых пружинкой): После того, как осилляции прекратились, информация о начальном состоянии оказалась потеряна. Но если покопаться, то она обнаружится в ушедшей на бесконечность электромагнитной волне.

realeugene в сообщении #1702385 писал(а):

Почему природа?

Потому что Вы сказали, что мы будем измерять "потом". Я так понял - после декогеренции. А это значит, что декогеренция произошла без нашего участия, сама по себе.

realeugene в сообщении #1702385 писал(а):

Мы знаем, что измеряем, и описываем конкретной матрицей плотности соответствующую систему.

Нет, мы описываем не просто конкретной матрицей плотности, а матрицей плотности, записанной в конкретном базисе. И только в этом базисе у неё обнуляются недиагональные компоненты. А если записать эту же самую матрицу плотности в другом базисе, то обнаружится, что недиагональные компоненты не обнуляются. Так что это за базис был такой специфический? Ответ: это базис из собственных функций той самой измеряемой величины.

realeugene в сообщении #1702385 писал(а):

Не совсем так. Измерительный прибор сконструирован специально таким образом, чтобы спутать различным образом различные базисные состояния наблюдаемой с макроскопическим количеством различных внутренних состояний.

Разумеется состояние измеряемого объекта спутано с состоянием прибора. Но суть не в этом, а в том, что измерительный прибор сконструирован специально таким образом, чтобы собственные функции гамильтониана всей этой системы совпадали с собственными функциями оператора измеряемой величины. Поэтому и декогеренция наблюдается не абы в каком базисе, а именно в базисе собственных функций оператора измеряемой величины.

realeugene в сообщении #1702385 писал(а):

Но это, действительно, может быть другой базис, не тот, в котором информация ушла в окружение. И тогда появится ещё один уровень случайности.

Вообще не понял о чём Вы сейчас говорите. Какой ещё другой базис? Мы что, одновременно ещё что-то пытаемся измерить?

realeugene в сообщении #1702385 писал(а):

Ну нулевое стационарное состояние вакуума - это квантовые флуктуации. А полностью стационарных не нижних по энергии состояний возможно вообще нигде нет.

Речь не о состояниях вакуума, а о состояниях всей системы, включая атом водорода.