Квантовая физика атома водорода без интерпретаций

[pppppppo_98]

amon в сообщении #1703516 писал(а):

Это явление имеет имя собственное - осцилляции Раби.

хороший и вполне практичный пример осциляций Раби - однокубитовый гейт в модели с кубитах на суперпроводниках (гейт реализует комбанация скрещенных постоянного и вращающегося магнитных полей взаимодействующих со спиновым кубитом)... Кому интересны подробности - тут (глава 9, 10) https://libgen.vg/edition.php?id=151280767

[realeugene]

amon в сообщении #1703916 писал(а):

Будет время - попробую написать.

Было бы очень любопытно увидеть, как именно там появляется экспоненциальное распределение вероятности времени жизни возбуждённого состояния атома? Аддитивность вероятности должна означать, что квантовые переходы в различные моменты времени не когерентны.

[Alex-Yu]

realeugene в сообщении #1704532 писал(а):

Было бы очень любопытно увидеть, как именно там появляется экспоненциальное распределение вероятности времени жизни возбуждённого состояния атома? Аддитивность вероятности должна означать, что квантовые переходы в различные моменты времени не когерентны.

А они не в разные моменты времени. Они в разные фотонные моды.

А вообще книга Скалли и Зубайри "Квантовая оптика", глава 6,8,9. Да и 5 тоже. И вообще книжка отличная.

[realeugene]

А каким будет закон распада, если распадается возбуждённый атом не в одну моду резонатора, а в две вырожденные? И в пределе в $N$ вырожденных? Наверное можно обойтись и без внешнего накачивающего поля, начав с просто возбуждённого состояния атома в пустом резонаторе?

[amon]

Пост не о чем. Длинные малочитабельные посты пишут обычно (не всегда!) всякие фрики, клоны и прочие не вполне адекватные личности. Вот я и подумал, а чем я хуже? Вот часто пишут: "атом излучил фотон и перешел из возбужденного состояния в основное". Что излучил, как перешел, почему так поступил -- загадка. Вот об этом и решил написать, благо эта тема часто всплывает, да и обещал это когда-то уважаемому Cos(x-pi/2), а для него можно и посоревноваться с ним в длине текста (в ясности изложения соревноваться не берусь). Понимаю, что те, кто эту простыню могут дочитать и так это знают, а те кто не знают -- вряд ли дочитают.

Возьмем самую простую модель, и попробуем получить в ней спонтанное излучение атома. Атомом будет двухуровневая система: основное состояние с энергией $0,$ возбужденное с энергией $\varepsilon$ и все. Гамильтониан нашего атома можно записать как

$$H_{at}=\varepsilon c^+c.$$

$c$ и $c^+$ здесь фермионные операторы обладающие свойством антикоммутации, означающим, что $cc=c^+c^+=0$ в операторном смысле, и $cc^+ + c^+c=I$ -- единичный оператор. У такого гамильтониана всего два собственных состояния

$$|0\rangle\;\text{такое, что}\; c|0\rangle=0\;\text{и}\; c^+ |0\rangle=|1\rangle.$$

Кроме того, у нас есть фотоны -- состояния бесконечного набора осцилляторов, нумеруемых, вообще говоря, непрерывным индексом $k$ с гамильтонианом

$$H_{ph}=\sum_k \omega_k a_k^+ a_k$$

$\sum_k$ означает интегрирование по импульсам, суммирование по поляризациям и т.п. Таких "фотонов" с разными $k$ бесконечно много. $\frac{1}{2}$ из осцилляторного гамильтониана выкинута, чтобы фотоны и электроны имели общее основное состояние с нулевой энергией.


Теперь надо ввести взаимодействие атома с электромагнитным полем

$$ H_{int}=\sum_k\,(g_kca_k^++g_k^*a_kc^+).$$

Смысл этого простой -- атом может излучить фотон, перейдя из возбужденного состояния в основное, или поглотить, перейдя из основного (вакуумного) в возбужденное.

Пусть теперь наш атом находится в возбужденном состоянии $|1,0\rangle,$ никакого внешнего поля исходно нет, и нас интересует его дальнейшая судьба.
Гамильтониан этого безобразия будет

$$ H=H_{at}+H_{ph}+H_{int}=\varepsilon c^+c+\sum_k \omega_k a_k^+ a_k- \sum_k\,(g_kca_k^++g_k^*a_kc^+). $$

Переходим в представление взаимодействия, считая $H_0=H_{at}+H_{ph},$ записываем вектор состояния ("волновую функцию") в виде

$$|\Psi\rangle=C_{0}(t)|1,0\rangle+\sum_k C_k(t)|0,1_k\rangle,\,|1,0\rangle=c^+|0,0\rangle,\,|0,1_k\rangle=a_k^+|0,0\rangle $$

Уравнение Шредингера в представлении взаимодействия

$$i\frac{\partial |\Psi\rangle }{\partial t}=H_{int} |\Psi\rangle$$

имеет вид

$$\begin{align} \dot C_0(t) &= -i\sum_k g_k C_k(t) e^{i(\varepsilon-\omega_k)t}\label{1} \\ \dot C_k(t) &=-i g_k^* C_0(t) e^{-i(\varepsilon-\omega_k)t}\label{2}\\ C_0(0)&=1,\,C_k(0)=0. \end{align}$$

(Как это получается)

Представление взаимодействия означает, что надо переписать волновые функции и операторы:

$$\begin{align} \Psi&=e^{iH_0 t}\Psi^\text{Шредингера}\\ H_I&=e^{iH_0 t} H_I^\text{Шредингера}e^{-iH_0 t} содержимое... \end{align}$$

Если $\Psi$ разложить по собственным функциям оператора $H_0$:

$$\begin{align} \Psi&=\sum C(t)|\psi_k\rangle\\ H_0 |\psi_k\rangle&=E_k |\psi_k\rangle, \end{align}$$

подставить это все в уравнение Шредингера в представлении взаимодействия и домножить слева на $\langle\psi|$, то получится написанная система уравнений. Действительно, интересующие нас состояния системы это атом возбужден, фотонов нет: $|1,0\rangle$ и есть фотоны, атом в основном состоянии: $|0,k\rangle$(состояние с одним возбужденным фотоном с энергией $\omega_k$).

$$\begin{align} \langle 1,0|e^{iH_0 t} H_I^\text{Шредингера}e^{-iH_0 t} |0,k\rangle&=e^{i(\varepsilon-\omega_k)t}\langle 1,0|H_I|0,k\rangle\\ \langle 0,k|e^{iH_0 t} H_I^\text{Шредингера}e^{-iH_0 t} |1,0\rangle&=e^{-i(\varepsilon-\omega_k)t}(\langle 1,0|H_I|0,k\rangle)^*\\ g_k&=\langle 1,0|H_I|0,k\rangle \end{align}$$

Для других состояний матричный элемент гамильтониана взаимодействия равен нулю.

Решение в этом представлении отличается от решения в представлении Шредингера отсутствием множителя $e^{-i\varepsilon t}$ для $C_0$. То, что получится -- поправки к $\varepsilon$.
Теперь это все надо как-то решить. Сначала приведу некоторые наводящие соображения (не строгие, как и все остальное). Для этого произведем преобразование Фурье этой системы. Получим что-то вроде

$$C_0(s)\left(s-\sum_k\frac{|g_k|^2}{s-\varepsilon+\omega_k-i0}\right)=0.$$

(Как это получается)

Преобразование Фурье $C(s)=\int e^{-i s t}C(t)dt$, если не думать ни о чем, от нашей системы будет

$$\begin{align} sC_0(s)&=\sum_k g_k C_k(s-(\varepsilon-\omega_k))\\ sC_k(s)&=g_k^*C_0(s+(\varepsilon-\omega_k)) \end{align}$$

Последнее уравнение позволяет выразить $C_k(s-(\varepsilon-\omega_k))$ через $C_0$, и подставив полученное в первое уравнение получим искомое. В этом месте я не обращаю внимание на то, что наша система задана на промежутке $[0,\infty),$ поскольку решать мы это не будем, а придумаем некий анзац, пользуясь полученными из Фурье наводящими соображениями и воспоминаниями о книге Гайтлера "Квантовая теория излучения".

Это уравнение имеет вид $F(s)C_0(s)=0.$ Если $F(s)=0$ имеет только простые (не кратные) корни $s_i$, то простой подстановкой можно проверить, что $C_0(s)=\sum_i A_i\delta(s-s_i)$ ($A_i$ -- константы, которые надо найти из начальных условий и условий нормировки) будет решением такого уравнения. Обратным преобразованием Фурье получим $C_0(s)\sim e^{i s_i t}$. Корни $s_i$, вообще говоря, комплексные $s_i=s'+i s'',$ и если $s''$ положительно, то это означает, что наше $C_0$ убывает и через время порядка $1/s''$ исчезнет совсем и останутся одни фотоны, т.е. произойдет спонтанный распад. Пользуясь этим сакральным знанием, наплюем на Фурье (там Виннер-Хопф нужен) и сразу попробуем найти решение в виде

$$C_0(t)=e^{-\frac{\Gamma t}{2}}$$

Тут нужно сделать такое замечание. Во-первых, ни кто не обещал, что корень исходного интегрального уравнения единственный. То, что мы ищем таким способом -- это асимптотика при больших временах, когда $\varepsilon t\gg 1$. При этом выживет только корень с минимальной мнимой частью, который мы и ищем. Во-вторых, этот трюк сработает только если $\Gamma\ll \varepsilon$, иначе мы перестроим уровни, и надо все решать честно. Малость $\Gamma$ можно обеспечить малостью $g_k,$ что имеет место в настоящей электродинамике. Так что в дальнейшем считаем вышеприведенные неравенства выполненными.

Подставляя наш анзац получим

$$\begin{align} -C_k&=g_k^*\frac{e^{i(\omega_k-\varepsilon)t-\frac{\Gamma t}{2}}-1}{\omega_k-\varepsilon+\frac{i\Gamma}{2}}\\ -\frac{i\Gamma}{2}&=\sum_k |g_k|^2\frac{1-e^{i(\varepsilon-\omega_k)t+\frac{\Gamma t}{2}}}{\varepsilon-\omega_k-\frac{i\Gamma}{2}} \end{align}$$

Теперь надо взять в руки шаманский бубен и переходить от суммы к интегралу.
$\sum_k\to \int d\Omega \rho(k)dk,$ где $\Omega$ -- телесный угол, а $\rho(k)$ - плотность состояний фотонов. В моих единицах $\omega_k=k.$ В этом месте я, ударив в бубен, выкину из-под интеграла гамму, считая ее малой. Останется

$$\int_{0}^{\infty}dk\frac{1-e^{i(\varepsilon-k)t}}{\varepsilon-k}\int d\Omega \rho(k)|g_k|^2$$

Теперь воспользуемся большим $t$

$$\frac{1-e^{i(\varepsilon-k)t}}{\varepsilon-k}=\frac{1-\cos(\varepsilon-k)t}{\varepsilon-k}-i\frac{\sin(\varepsilon-k)t}{\varepsilon-k}.$$

При $t \to\infty$ второй член переходит в $\delta(\varepsilon-k)$. Про первый можно сообразить, что косинус можно выкинуть везде, кроме точки, где $\varepsilon-k=0,$ где он обеспечивает равенство нулю всего первого члена. Поэтому результат шаманства можно записать как

$$-\frac{i\Gamma}{2}=\mathsf{VP}\int \frac{|g_k|^2\rho(k)}{\varepsilon-k}\,dk\,d\Omega-\left. i\int |g_k|^2\rho(k)d\Omega\right\rvert_{k=\varepsilon}$$

Вероятность найти фотон с энергией $\omega_k$ при больших временах (она же -- форма линии излучения) дает знаменитый лоренцевский контур.

$$|C_k(\infty)|^2=\frac{|g_k|^2}{(\varepsilon-\omega_k)^2+\frac{\Gamma^2}{4}}$$

Мнимая часть $\Gamma$ должна давать столь же знаменитый лембовский сдвиг линии, но попытка сосчитать его в рамках того, что я тут несу, приводит к расходящемуся интегралу, одолеть который удается только включив настоящую КТП с перенормировками (в дипольном приближении $|g_k|^2\rho(k)\sim k^3$).

Мораль. Атом излучает потому, что в гамильтониан входит не только взаимодействие электрона с ядром, но и взаимодействие с электромагнитным полем вообще. Даже когда поля нет, член взаимодействия приводит к изменению собственных значений гамильтониана. Следует ли называть это "взаимодействием с вакуумными колебаниями", как это часто делается, дело вкуса. На мой взгляд это только напускает мистический флер, ничего не добавляя к пониманию.

Атом излучает не "одиночный фотон с частотой, соответствующей энергии перехода", а локализованный во времени пакет, который можно представить как сумму (суперпозицию) фотонов с разными частотами. Сохранение энергии в среднем не нарушается, но зарегистрировать можно фотон с любой энергией достаточно близкой к энергии перехода, если постараться.

Еще хочу обратить внимание на то, что если в сумме по фотонам оставить конечное число мод, то вместо спонтанного излучения мы получим некие осцилляции. Фокус тут в том, что задача близка к задаче о возбужденном осцилляторе, связанном с большим количеством невозбужденных. Если осцилляторов конечное число, то исходный осциллятор будет сначала затухать, а потом опять раскачиваться. Для бесконечного числа осцилляторов "время возврата" становится бесконечным. То есть, атом излучает потому, что в гамильтониане есть член взаимодействия с бесконечным числом мод электромагнитного поля.

Задачу о спонтанном излучении атома официально впервые решили Вайскопф с Вигнером в 1930 году, но ходит легенда, частично подтвержденная свидетелями, что до них это сделал Блохинцев, но его статью не приняли, сославшись на то, что в ней была использована сомнительная математика. С этой точки зрения интересно посмотреть как эта задача решена у Скалли-Зубайри (книга неплохая, но в отдельных местах авторы проявляют исключительное гусарство).

[Cos(x-pi/2)]

amon

Спасибо Вам большое за такую интересную лекцию и комментарии к ней! Всегда очень интересно читать Ваши сообщения и пояснения.

Если можно, задам вопросы (если это у меня глупости, то извините, пожалуйста). Получившийся "результат шаманства" для $(-i\Gamma/2)$ имеет "пертурбативный" вид: это вклады 2-й степени по величинам $g_k,$ которые считаются достаточно малыми. Поэтому хочется спросить: поскольку вывод начинался с точных уравнений, то в каком месте вывода пропали вклады высших степеней? И приемлем ли будет вывод такого же результата для гаммы явно по теории возмущений?

(моя "попытка самостоятельного ответа")

Предполагаю, неявный переход к теории возмущений случился, когда с ударом в бубен была "выкинута из под интеграла гамма". Про такое выкидывание и в книге Гайтлера написано. Но я это место плохо понимаю. Рассуждаю вот как:

Если интересоваться большими временами $t$, такими, что уже должно быть видно экспоненциальное убывание амплитуды возбуждённого состояния атома $C_0(t)=e^{-\Gamma t/2}$ и она становится малой, то под интегралом имеем большую, растущую со временем экспоненту $e^{Re\Gamma t/2}\gg 1.$ И тогда у меня рука не поднимается её выкидывать. Если же выкидываем её потому, что эта экспонента мало отличается от единицы, то, значит, $Re\Gamma t \ll 1,$ а тогда применимо приближение из теории возмущений. Вот как его себе представляю:

Из системы уравнений для амплитуд и начальных условий к ним видно, что если их решать по теории возмущений, то $C_0(t)$ содержит вклады (малые поправки) только чётных порядков малости, а $C_k(t)$ только нечётные:

$$C_0=1+C_0^{(2)}+C_0^{(4)}+...\,;\quad C_k=C_k^{(1)}+C_k^{(3)}+...\,. $$

Мнимую и действительную части гаммы можно обозначить согласно "наводящим соображениям", вот так:

$$\frac{\Gamma}{2}\,=\,i\,\Delta\varepsilon\,+\,\frac{1}{2\tau}$$

Если предполагать, что $C_0(t)=e^{-\Gamma t/2},$ то с точностью до 2-го порядка должно быть

$$C_0 \,\approx\, 1-i\Delta \varepsilon^{(2)}t-\frac{t}{2\tau^{(2)}} \,=\, 1+C_0^{(2)}$$

Условие нормировки $|C_0(t)|^2+\sum_k|C_k(t)|^2=1$ при этом даёт:

$$-2\,Re\,C_0^{(2)}=\sum_k|C_k^{(1)}|^2$$

то есть:

$$\frac{1}{\tau^{(2)}}=\frac{1}{t}\sum_k|C_k^{(1)}|^2$$

Если $t$ достаточно велико, чтобы выполнялось равенство

$$\frac{\sin^2[(\omega_k-\varepsilon)t/2]}{\pi(\omega_k-\varepsilon)^2t/2}\approx\delta(\omega_k-\varepsilon)$$

и при этом вследствие малости $g_k$ всё ёщё $|C_k^{(1)}|\ll 1$ (и поэтому $t/\tau^{(2)}\ll 1),$ то в результате стандартного вычисления поправок $C_k^{(1)$ и $C_0^{(2)$ у меня итог получается такой:

$$\frac{1}{\tau^{(2)}}=2\pi\sum_k |g_k|^2\delta(\omega_k-\varepsilon)$$

$$\Delta\varepsilon^{(2)}=\sum_k\frac{|g_k|^2}{\varepsilon-\omega_k}\,-\,\sum_k\frac{|g_k|^2\sin[(\varepsilon-\omega_k)t]}{t(\varepsilon-\omega_k)^2}$$

Последенее слагаемое в последнем выражении (если я там не ошибся) выглядит плохо. Но, предполагаю, можно считать его равным нулю вследствие нечётности по аргументу $(\varepsilon-\omega_k)$ функции под знаком суммы. Вернее - считать его равным нулю везде, кроме точки $\varepsilon=\omega_k.$ В этой точке оно сокращается с первым слагаемым и тем самым при переходе к интегрированию образуется "главное значение". Тогда, как видим, после перехода от формальных сумм по $k$ к интегрированию по волновым векторам получается такой же результат, как выведенный Вами для $-i\Gamma/2.$


Теперь допустим, отброшена (с обоснованием словами "как в КТП") расходящаяся часть найденной поправки $\Delta\varepsilon^{(2)},$ а конечная часть, если она была отлична от нуля, уже добавлена к $\varepsilon.$ Обновлённая так $\Gamma$ уже не содержит мнимой части, а равна найденной во 2-м порядке положительной величине $1/\tau^{(2)}.$ Анзац $C_0(t)=e^{-\frac{\Gamma t}{2}}$ после подстановки в уравнение для $\dot C_k(t)$ ведёт в итоге к указанной Вами непертурбативной формуле -- содержащей 2-ю степень параметров $g_k$ не только в числителе, но и в знаменателе в выражении для $\Gamma=1/\tau^{(2)}:$

$$|C_k(\infty)|^2=\frac{|g_k|^2}{(\varepsilon-\omega_k)^2+\frac{\Gamma^2}{4}}$$

Примерно такой вывод подразумевается под словами "ударим в бубен"?