2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Канонические формы уравнений n-й степени
Сообщение31.08.2025, 01:19 
Аватара пользователя
Пока тема не рухнула в Бездну проективных прямых и прочей алгебраической геометрии, призову, пожалуй, Тени Предков.

Начнём с кубики. Сдвигом и растяжением приведём уравнение к следующей форме:
$$\boxed{z^3=2+3pz, \quad p\ne 0} \eqno (z^3, 1)$$
Как завещали Сципион дель Ферро и Тарталья, сделаем подстановку
$$\boxed{z=a+b} \eqno (z^3,2)$$
Тогда $z^3=a^3+b^3+3abz$ и мы запросто удовлетворим $(z^3, 1)$ внаглую потребовав
$$\left\{ {\begin{array}{l}
a^3+b^3=2 \\
ab=p \\
\end{array} }   \right. \eqno (z^3,3)$$
Поскольку соотношения пахнут Вьетом, составим комбинацию
$(w-a^3)(w-b^3)=w^2-2w+p^3=(w-1)^2+p^3-1$
Приравнивая это нулю и решая квадратное уравнение, находим
$$\left\{ {\begin{array}{l}
a= \root 3 \of {1+\sqrt{1-p^3}}\\
b= \root 3 \of {1-\sqrt{1-p^3}}\\
ab=p \\
\end{array} }   \right. \eqno (z^3,4)$$Собственно, ради такой красоты и подбирались коэффициенты в $(z^3, 1)$.

Искомые корни суть $z_1=a+b, \quad z_2=\varepsilon a+\varepsilon^2 b, \quad z_3=\varepsilon^2 a+\varepsilon b$, где $\varepsilon \equiv \exp (2\pi i /3)$. Или, в явном виде
$$a+b, \quad - \frac {a+b}{2} \pm i \frac {a-b}{2} \sqrt 3 \eqno (z^3,5)$$

Возьмём теперь квартику и сдвигом и растяжением приведём к виду:
$$\boxed{z^4=3+4pz+6qz^2, \quad |p|+|q|\ne 0} \eqno (z^4, 1)$$
По наущению Феррари попытаемся добиться следующего
$$\boxed{(z^2+w-q)^2=(\text{нечто})^2} \eqno (z^4,2)$$
Раскроем слева
$(z^2+w-q)^2=2\left(\sqrt{w+2q}\;z+\dfrac{p}{\sqrt{w+2q}}\right)^2+3+(w-q)^2-\dfrac{2p^2}{w+2q}$
и отбросим хвост справа, что даст следующее уравнение:
$$w^3=2(p^2-3q-q^3)+3(q^2-1)w \eqno (z^4,3)$$Ради этой двойки с тройкой и подбирались коэффициенты в $(z^4, 1)$. Простым растяжением эта форма (когда это необходимо) сводится к $(z^3, 1)$ с параметром
$$\tilde p=\dfrac {q^2-1}{(p^2-3q-q^3)^{2/3}}$$
Найдя любое его решение, для отыскания корней $(z^4, 1)$ получим два квадратных уравнения.
$$z^2+w-q \pm \sqrt{2} \left(\sqrt{w+2q}\;z+\dfrac{p}{\sqrt{w+2q}}\right)=0 \eqno (z^4,4)$$

Это простейший, по моему разумению, способ быстро восстановить в памяти обе рассмотренные методики. Правда для этого всё-таки придётся заучить взятые в рамку формулы. Ну или тягать $4$ и $27$ в знаменателях всю дорогу.

 
 
 
 Re: Канонические формы уравнений n-й степени
Сообщение31.08.2025, 05:10 
Утундрий в сообщении #1700258 писал(а):
Возьмём теперь квадрику
Квартику, квадрика это 2-я степень.

Примеров не хватает. Решите по этой методике уравнение $x^4-4x-6=0$.

 
 
 
 Re: Канонические формы уравнений n-й степени
Сообщение31.08.2025, 07:12 
Аватара пользователя
nnosipov в сообщении #1700263 писал(а):
Квартику
Поправил.

nnosipov в сообщении #1700263 писал(а):
Решите по этой методике уравнение $x^4-4x-6=0$.
Мат-пакетами я отнюдь не пренебрегаю. И вид корней предложенного уравнения не внушает большого желания находить их вручную.

 
 
 
 Re: Канонические формы уравнений n-й степени
Сообщение31.08.2025, 10:38 
Утундрий в сообщении #1700265 писал(а):
И вид корней предложенного уравнения не внушает большого желания находить их вручную.
Так здесь корни как раз выглядят не самым забористым образом (но, правда, и не самым простым), и Maple выдает их в более-менее разумном виде, близком к каноническому. Вот и интересно, в каком виде эти корни получатся по Вашей методике.

Кстати, а Вы хоть одно уравнение 4-й степени голыми руками решили?

 
 
 
 Re: Канонические формы уравнений n-й степени
Сообщение31.08.2025, 11:08 
Аватара пользователя
nnosipov в сообщении #1700280 писал(а):
по Вашей методике.
Я, вроде бы сослался на авторов :mrgreen:

 
 
 
 Re: Канонические формы уравнений n-й степени
Сообщение31.08.2025, 11:45 
Утундрий в сообщении #1700286 писал(а):
Я, вроде бы сослался на авторов :mrgreen:
А у Вас только дизайн что ли? Напоминает классику https://yandex.ru/video/preview/16671910442816545741 :mrgreen:

 
 
 
 Re: Канонические формы уравнений n-й степени
Сообщение01.09.2025, 03:41 
Аватара пользователя
У меня это не открывается. Так что, если там был не слишком шахтёрский и более-менее уместный юмор, то перескажите своими словами, пожалуйста.

Кстати, к вопросу о кратных корнях. Достаточно очевидно как получить соотношение на параметры, указу́ющие на оные. (Это я так неуклюже пытаюсь привлечь заинтересованную мо́лодеж к обсуждению).

 
 
 
 Re: Канонические формы уравнений n-й степени
Сообщение01.09.2025, 03:51 
Утундрий в сообщении #1700355 писал(а):
У меня это не открывается.
https://www.youtube.com/watch?v=hj-eq6WYThE

 
 
 
 Re: Канонические формы уравнений n-й степени
Сообщение01.09.2025, 04:12 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

Я ничего не понял, но мне всё стало ясно (с)

 
 
 
 Re: Канонические формы уравнений n-й степени
Сообщение01.09.2025, 17:32 
Аватара пользователя
Кстати, о мат-пакетах. Вот, например, даже урезанный онлайн-вольфрам и то лихо выдаёт нечто эдакое:


У вас нет доступа для просмотра вложений в этом сообщении.

 
 
 
 Re: Канонические формы уравнений n-й степени
Сообщение01.09.2025, 22:50 
Аватара пользователя
Дальше я планирую продвигаться посредством преобразования Чирнгауза. Если кто имел с ним дело на практике, прошу высказаться. Или вдруг есть альтернативные идеи? (Заброс dgwuqtj относительно преобразований Мёбиуса я повертел и пришёл к выводу, что как-то оно неоправданно громоздко получается).

 
 
 
 Re: Канонические формы уравнений n-й степени
Сообщение19.09.2025, 10:36 
Аватара пользователя
Касательно кратных корней. Совсем уж элементарный способ (составить уравнение с кратными корнями и посмотреть на его каноническую форму) предполагает достаточно нудный перебор вариантов. Поэтому скрепя сердце не буду делать вид, будто не умею составлять матрицу Сильвестра. Видимо механически более простого способа отыскать дискриминант не существует. К тому же детерминанты получаются весьма разреженными и легко вычисляются. Результат для кубики и квартики следующий:
$$p^3-1, \qquad (p^2-3 q-q^3)^2+(1-q^2)^3$$Любопытно, что в последнее выражение "простым способом" входят в точности коэффициенты кубической резольвенты.

 
 
 
 Re: Канонические формы уравнений n-й степени
Сообщение19.09.2025, 11:37 
Утундрий в сообщении #1702322 писал(а):
Видимо механически более простого способа отыскать дискриминант не существует.
Дискриминант можно вычислить прямо по определению --- как квадрат произведения всех попарных разностей корней (выражаем этот симметрический многочлен через элементарные симметрические многочлены от корней и затем применяем формулы Виета).

 
 
 
 Re: Канонические формы уравнений n-й степени
Сообщение19.09.2025, 12:48 
Аватара пользователя
А это технически проще?

P. S. Если немного забежать в конец, то из тех же соображений нормальную форму Бринга-Жерара для уравнения пятой степени выгодно приводить к виду $$z^5=5 p z+4$$ тогда дискриминант будет равен просто $p^5-1$.

 
 
 
 Re: Канонические формы уравнений n-й степени
Сообщение19.09.2025, 14:18 
Утундрий в сообщении #1702341 писал(а):
А это технически проще?
Не знаю. Для многочленов небольшой степени это неважно, можно как угодно вычислять. Но если степень приличная (несколько десятков) и еще сами коэффициенты зависят от параметра, то это, скорее всего, будет проблемой при любом подходе.

 
 
 [ Сообщений: 49 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group