Симметричные кортежи из последовательных простых чисел

[Yadryara]

Благодарю. Ну вот теоретический кэф расширения $15-228-2 \to 17-240-1$ равен примерно $119$, а на практике получилось $\frac{1147}{11}\approx104$.

впс нашёл 264 15-ки, Демис втрое больше — 883. Но с 17-ками мне как не везло, так и остался я почти что на бобах: 10:1 в пользу Демиса

Все 9 ранее найденных 15-к были найдены повторно, ошибок не выявлено. Так что рискну заявить что эта База полная. Скажите, могу я заглавную букву использовать? Всё-таки она не только полная, но и не самая маленькая — больше тысячи кортежей.

Вот ещё такой прогноз был. Я тогда не предполагал, что будет рост соотношений к центру:

Группа      G19  G20   G21   G22   G23    G24    G25    G26   G27  G28  G29  G30    Всего
Прогноз шт    0    3    29   112   228    288    251    149    57   14    2    0     1133
Факт    шт    0    3    27   108   219    281    272    160    59   16    2    0     1147

Занятно: два равенства, 4 недобора подряд, 4 перебора подряд, снова два равенства.

Насчёт равенств скорее случайность, а вот недоборы и переборы...

[DemISdx]

Yadryara в сообщении #1699501 писал(а):

Шляпу-то мне уже нельзя кушать.

Честно говоря, шляпу жевать, теперь не Ваша очередь...
Главное не поперхнуться.

Yadryara в сообщении #1699606 писал(а):

Наш счёт в интервале $0-61\#$ закончен. Благодарю Дмитрия и Демиса.

Всегда пожалуйста.

Это Вам не "безумие запускать" на два года для двухсот с лишним компов,
чтобы найти только одну тридцать вторую от того,
что было найдено нами за месяц...

Не сложно прикинуть, что 32 * 2 = 64 года.

Dmitriy40 в сообщении #1699622 писал(а):

выкладываю во вложенном файле полный список

Спасибо!

[Yadryara]

Yadryara в сообщении #1699606 писал(а):

В дальнейшем покажу просто отношение между соседними группами, чтобы 24-я не выглядела белой вороной.

Вот показываю прям расчёт:

Группа   Цепочек      Найдено                        Соотношение между
         на юнит      цепочек                       соседними группами
G19         2242        98627 / 44     /   2645036 * 1306   =   1.1068
G20         2025      2645036 / 1306   /  23366118 * 12872  =   1.1157
G21         1815     23366118 / 12872  /  91643257 * 56494  =   1.1190
G22         1622     91643257 / 56494  / 185295254 * 128274 =   1.1230
G23         1445    185295254 / 128274 / 233760118 * 182012 =   1.1247
G24         1284    233760118 / 182012 / 203659802 * 178350 =   1.1247
G25         1142    203659802 / 178350 / 120916185 * 118944 =   1.1233
G26         1017    120916185 / 118944 /  46375523 * 51108  =   1.1203
G27          907     46375523 / 51108  /  11231890 * 13812  =   1.1158
G28          813     11231890 / 13812  /   1566933 * 2144   =   1.1127
G29          731      1566933 / 2144   /     73458 * 112    =   1.1143
G30          656        73458
                    _________
                    920632201

Да, центр выглядит по-прежнему красиво, края подпорчены, потому что нет прежнего сглаживания. При желании тоже можно увидеть кастрюлю как в этой теме. В ней и будет новая порция статистики.

[vicvolf]

C(H) для паттерна [0, 6, 24, 36, 66, 84, 90, 114, 120, 126, 150, 156, 174, 204, 216, 234, 240]
равна приблизительно: 204541014.88
или в экспоненциальной записи: 2.0454e+08

C(H) для паттерна [0, 24, 36, 66, 84, 90, 114, 120, 126, 150, 156, 174, 204, 216, 240]
равна приблизительно: 15280150.27
или в экспоненциальной записи: 1.5280e+07

C(H) для паттерна [0, 36, 66, 84, 90, 114, 120, 126, 150, 156, 174, 204, 240]
равна приблизительно: 1690544.06
или в экспоненциальной записи: 1.6905e+06

C(H) для паттерна [0, 66, 84, 90, 114, 120, 126, 150, 156, 174, 240]
равна приблизительно: 116713.66
или в экспоненциальной записи: 1.1671e+05

C(H) для паттерна [0, 84, 90, 114, 120, 126, 150, 156, 240]
равна приблизительно: 9681.21
или в экспоненциальной записи: 9.6812e+03

C(H) для паттерна [0, 90, 114, 120, 126, 150, 240]
равна приблизительно: 503.84
или в экспоненциальной записи: 5.0384e+02

C(H) для паттерна [0, 114, 120, 126, 240]
равна приблизительно: 92.64
или в экспоненциальной записи: 9.2643e+01

C(H) для паттерна [0, 120, 240]
равна приблизительно: 11.43
или в экспоненциальной записи: 1.1433e+01

C(H) для паттерна [0, 240]
равна приблизительно: 3.52
или в экспоненциальной записи: 3.5209e+00

Отсюда видно, что по мене уменьшения плотности простого паттерна коэффициент в гипотезе Харди-Литтлвуда уменьшается, т.е. зависимость простых в кортеже также уменьшается.

[Yadryara]

vicvolf в сообщении #1700254 писал(а):

C(H) для паттерна [0, 6, 24, 36, 66, 84, 90, 114, 120, 126, 150, 156, 174, 204, 216, 234, 240]
равна приблизительно: 204541014.88

Не-а. Константа С0 для паттерна 17-240-1 $\approx 204267977.27$

vicvolf в сообщении #1700254 писал(а):

или в экспоненциальной записи: 2.0454e+08

2.0427e8

Подозреваю, что и константы для других паттернов у Вас неточны.

А для этого паттерна мне известны ещё 13 констант С1 — С13. Покажу 12 значащих цифр:

28369943870.6 e10
188288365558  e12
795031059634  e13
239882750299  e15
550749651235  e16
100041654094  e18
147588965456  e21
180135207705  e22
184350852211  e23
159767354525  e24
118110008829  e25
748718657628  e25
408453810441  e26

Для интересующих интервалов всего 31 ненулевая константа для этого паттерна.

vicvolf в сообщении #1700254 писал(а):

Отсюда видно, что по мене уменьшения плотности простого паттерна коэффициент в гипотезе Харди-Литтлвуда уменьшается, т.е. зависимость простых в кортеже также уменьшается.

Я об этом уже говорил. Хотя судить по одной константе вряд ли стоит.

[Yadryara]

Yadryara в сообщении #1700259 писал(а):

Подозреваю, что и константы для других паттернов у Вас неточны.

Да, у Вас систематическая ошибка. Я Вам уже давал ссылку на ресурс, где можно сверить некоторые константы С0.

vicvolf в сообщении #1700254 писал(а):

C(H) для паттерна [0, 24, 36, 66, 84, 90, 114, 120, 126, 150, 156, 174, 204, 216, 240]
равна приблизительно: 15280150.27
или в экспоненциальной записи: 1.5280e+07

15264401.16 или 1.5264e7

-- 31.08.2025, 05:12 --

Yadryara в сообщении #1700259 писал(а):

А для этого паттерна мне известны ещё 13 констант С1 — С13. Покажу 12 значащих цифр:

Поставил точку куда надо:

2.83699438706 e10
1.88288365558 e12
7.95031059634 e13
2.39882750299 e15
5.50749651235 e16
1.00041654094 e18
1.47588965456 e21
1.80135207705 e22
1.84350852211 e23
1.59767354525 e24
1.18110008829 e25
7.48718657628 e25
4.08453810441 e26

[vicvolf]

Yadryara в сообщении #1700259 писал(а):

vicvolf в сообщении #1700254 писал(а):

C(H) для паттерна [0, 6, 24, 36, 66, 84, 90, 114, 120, 126, 150, 156, 174, 204, 216, 234, 240] равна приблизительно: 204541014.88

Не-а. Константа С0 для паттерна 17-240-1 $\approx 204267977.27$

vicvolf в сообщении #1700254 писал(а):

или в экспоненциальной записи: 2.0454e+08

2.0427e8Подозреваю, что и константы для других паттернов у Вас неточны.

Я же пишу приблизительно. Для моих заключений точности достаточно.

Yadryara в сообщении #1700259 писал(а):

А для этого паттерна мне известны ещё 13 констант С1 — С13.

Для одного паттерна может быть только одна постоянная $C(H)$.

Yadryara в сообщении #1700262 писал(а):

2.83699438706 e10
1.88288365558 e12
7.95031059634 e13
2.39882750299 e15
5.50749651235 e16
1.00041654094 e18
1.47588965456 e21
1.80135207705 e22
1.84350852211 e23
1.59767354525 e24
1.18110008829 e25
7.48718657628 e25
4.08453810441 e26

А что это такое? Если постоянные, то для каких паттернов? Надо все таки давать пояснения.

Цитата:

vicvolf в сообщении #1700254 писал(а):

Отсюда видно, что по мене уменьшения плотности простого паттерна коэффициент в гипотезе Харди-Литтлвуда уменьшается, т.е. зависимость простых в кортеже также уменьшается.

Я об этом уже говорил.

Это я говорил, а Вы только соглашались.

[Yadryara]

vicvolf в сообщении #1700297 писал(а):

Я же пишу приблизительно.

Вы пишете много ошибочных цифр. Я их поправил.

vicvolf в сообщении #1700297 писал(а):

Для одного паттерна может быть только одна постоянная $C(H)$.

Но для прогнозирования количества чистых кортежей нужно гораздо больше констант. Вот 14-ти штук вполне хватает.

vicvolf в сообщении #1700297 писал(а):

А что это такое? Если постоянные, то для каких паттернов? Надо все таки давать пояснения.

Конечно надо. И я их дал. Это те самые константы, для того самого паттерна 17-240-1, то бишь [0, 6, 24, 36, 66, 84, 90, 114, 120, 126, 150, 156, 174, 204, 216, 234, 240]

vicvolf в сообщении #1700297 писал(а):

Это я говорил, а Вы только соглашались.

Ну что будем спорить кто первым сказал тривиальную вещь?

[vicvolf]

Yadryara в сообщении #1700307 писал(а):

vicvolf в сообщении #1700297 писал(а):

А что это такое? Если постоянные, то для каких паттернов? Надо все таки давать пояснения.

Конечно надо. И я их дал. Это те самые константы, для того самого паттерна 17-240-1, то бишь [0, 6, 24, 36, 66, 84, 90, 114, 120, 126, 150, 156, 174, 204, 216, 234, 240]

Для данного паттерна порядок C(H) равен $e^8$, а у Вас там порядки значительно больше. Объясните толком, либо не пишите.

Цитата:

Ну что будем спорить кто первым сказал тривиальную вещь?

Ну если тривиальная, то докажите. Иначе это голословно.

[Yadryara]

vicvolf в сообщении #1700324 писал(а):

Объясните толком, либо не пишите.

Откуда ж я знал что Вы уже забыли. Скажу ещё раз, мне не очень трудно.

vicvolf в сообщении #1648745 писал(а):

Когда определяете количество "чистых" простых кортежей, то используете формулу включений, исключений

И вот совсем недавно я ещё раз записал применение этой формулы:

Yadryara в сообщении #1696662 писал(а):

$$\approx \int\limits_{2}^{x}\frac{dt}{\ln^2t}\left(C_0 - \frac{C_1}{\ln t} + \frac{C_2}{\ln^2t} - \frac{C_3}{\ln^3t}\right)$$

И Вы тогда не спрашивали, что это за $C_i$ такие. А сейчас вдруг спрашиваете. Либо забыли ещё раньше, и уже тогда Вам непонятно было.

vicvolf в сообщении #1700324 писал(а):

Для данного паттерна порядок C(H) равен $e^8$, а у Вас там порядки значительно больше.

Конечно гораздо больше, я же об этом уже говорил.

Yadryara в сообщении #1648885 писал(а):

И также очевидно, что прогноз vicvolf-а в 1е36 и для 21-324 завышен.

Вот Ваше объяснение этого прогноза по кортежу 19-252:

vicvolf в сообщении #1632363 писал(а):

Есть первая гипотеза Харди-Литтлвуда о количестве k-кортежей на интервале $x$: $\pi(x,k) \sim \frac{Cx}{\ln^k(x)}$, где постоянная $C$ зависит от структуры кортежа. В данном случае я хотел просто грубо оценить порядок величины $x$ до первого кортежа, поэтому предположил значение $\pi(x,k)=1$, а значение $C$ вообще не учитывал. Наверно так делать нельзя, так как значение $C$ при большом значение $k$ велико

Конечно велико. Здесь $C$ это С0 или, если угодно $C_0$. И вот это "вообще не учитывал" численно означает что приравняли её к 1-це, а остальные константы $C_1,C_2, ..., C_{30}$, многие из которых огромные, приравняли к нулю.

Теперь вспоминаете?

vicvolf в сообщении #1700324 писал(а):

Ну если тривиальная, то докажите.

Как-то мне Ваш тон не очень нравится. Но если вдруг мы тут что-то нетривиальное обсуждаем, это было бы здорово. Глядишь и другие математики подтянутся.

[Yadryara]

vicvolf, ну так что объяснил толком или всё ещё нет?

Давайте ещё раз, ближе к паттерну 17-240-1.

vicvolf в сообщении #1700324 писал(а):

Для данного паттерна порядок C(H) равен $e^8$, а у Вас там порядки значительно больше.

То что Вы называете C(H), я называю $C_0$ и считаю что это более информативно, потому что явно указывается, что загрязнение нулевое, то есть отсутствует. Для кристаллов (сверхплотных паттернов), таких как например близнецы, только одной этой константы достаточно для прогнозирования количества кортежей.

А для более рыхлых кортежей нужны дополнительные константы. И паттерн 17-240-1 будь здоров какой рыхлый — количество простых чисел, которыми его можно загрязнить, доходит до 30-ти.

Вот формула для него:

$$\approx \int\limits_{2}^{x}\frac{dt}{\ln^{17}t}\left(C_0 - \frac{C_1}{\ln t} + \frac{C_2}{\ln^2t} - \frac{C_3}{\ln^3t} + ... + \frac{C_{30}}{\ln^{30}t}\right)$$

Да, константы растут, но знаменатели в интересующих диапазонах растут быстрее и мы получаем сходимость.

Вот пример:

Dmitriy40 в сообщении #1647494 писал(а):

А эти считались с учётом C,C1,C2,C3,C4,C5,C6: "Оценка до шестикратного загрязнения".

Здесь Дмитрий написал C, а не С0, но мы друг друга понимали. И вот этих 6 дополнительных констант было явно мало: прогнозное количество кортежей не успевало сойтись.

Dmitriy40 в сообщении #1647366 писал(а):

Оценка до шестикратного загрязнения:

v=[0, 6, 24, 36, 66, 84, 90, 114, 120, 126, 150, 156, 174, 204, 216, 234, 240]
C =204267977.27052456200777283266142295380
C1=28369943870.637190788534643770043972079
C2=1882883655575.2751806520561345784915500
C3=79503105963393.861809247903002671637974
C4=2398827502988278.8370655540475223328881
C5=55074965123455739.447710661923258904122
C6=1000416540944375388.0187642856124195935
[1, 104, 2952, 41852, 379420, 2471696, 12318076]
[..]
10^23: 17.921522

Тогда мы больше смотрели на степени десятки и меньше на праймориалы. Но по счастью $61\#$ близок к $10^{23}$ и пересчитать тот прогноз нетрудно:

$17.92 \cdot 1.17 \approx 21$

При более аккуратном подсчёте получается не 21, а меньше 20-ти штук. Вот здесь я посчитал сходимость вплоть до константы C13:

Паттерн 17-240-1                                                            Интервал 0 - 61#
     C4         C5        C6       C7        C8       C9      C10      C11      C12      C13
100.772    -24.662    19.813    6.984    10.052    9.435    9.540    9.525    9.527    9.527

Как видим, шести дополнительных констант явно мало, хорошая сходимость имеет место при 13-ти.

То есть прогноз для этого интервала был: 9.527 кортежей 17-240-1 (центральных 17-к), а вовсе не 21 и не 20. Мы с Демисом недавно закончили проверку этого интервала и нашли в нём 11 центральных 17-к.

[Dmitriy40]

Мне показалось vicvolf хотел свернуть все константы до одной ($C_0$, только при $1/\ln^{17}()$). Но это можно сделать лишь для конкретного диапазона, ведь тогда она получается зависимой от него. И смысл в ней пропадает, ведь проще сразу посчитать весь интеграл, чем оставлять $\approx C(x)\int\limits_2^x dt/\ln^{17} t$.

[Yadryara]

Dmitriy40 в сообщении #1700371 писал(а):

Мне показалось vicvolf хотел свернуть все константы до одной ($C_0$, только при $1/\ln^{17}()$).

Я вообще теперь не знаю, помнил ли vicvolf про то, что и другие константы для паттернов существуют и важны.

Но вот здесь vicvolf использовал обозначение $C_k$ уже для других констант. Лучше было обозначить их $C0_k$ во избежание путаницы, потому что обозначение $C_k$ уже активно использовалось нами.

Dmitriy40 в сообщении #1700371 писал(а):

Но это можно сделать лишь для конкретного диапазона, ведь тогда она получается зависимой от него.

Конечно.

Но у меня другое ощущение. Вы помните что мы разговаривали-разговаривали и вдруг выяснилось, что vicvolf не понимает, что такое грязный кортеж.

Может и сейчас vicvolf забыл что симметричные кортежи как правило, сильно рыхлые и нельзя обойтись одной константой, а обычно нужно считать добрый десяток.

Dmitriy40 в сообщении #1700371 писал(а):

ведь проще сразу посчитать весь интеграл,

И я как раз привёл численный пример посчитанного интеграла.

[vicvolf]

Yadryara
Спасибо за подробный ответ. $H$ - обычно обозначают вид шаблона (паттерна), т.е. мест где в кортеже стоят простые числа. Это не значит, что в других местах они не стоят, но в этих точно. Поэтому, в Ваших терминах "загрязнение" у него не нулевое.

Я подсчитал более точно, коэффициент $C(H)$ для паттерна по формуле Харди-Литтлвуда (через один интеграл) и у меня получилось почти полное совпадение с вашим $C_0$ (без загрязнений):
$C(H)$ для паттерна $[0, 6, 24, 36, 66, 84, 90, 114, 120, 126, 150, 156, 174, 204, 216, 234, 240]$ равна приблизительно: $204269860.1297135353$ или в экспоненциальной записи: $2.0427e+08$.
Таким образом, 4 знака после запятой совпадают.

Я пересчитал $C(H)$ и для других паттернов по мере уменьшения плотности (я указываю все паттерны):

C(H) для паттерна [0, 24, 36, 66, 84, 90, 114, 120, 126, 150, 156, 174, 204, 216, 240]
равна приблизительно: 15264509.7868258692
или в экспоненциальной записи: 1.5265e+07

C(H) для паттерна [0, 36, 66, 84, 90, 114, 120, 126, 150, 156, 174, 204, 240]
равна приблизительно: 1689258.5368241046
или в экспоненциальной записи: 1.6893e+06

C(H) для паттерна [0, 66, 84, 90, 114, 120, 126, 150, 156, 174, 240]
равна приблизительно: 116651.0758412015
или в экспоненциальной записи: 1.1665e+05

C(H) для паттерна [0, 84, 90, 114, 120, 126, 150, 156, 240]
равна приблизительно: 9677.8122235649
или в экспоненциальной записи: 9.6778e+03

C(H) для паттерна [0, 90, 114, 120, 126, 150, 240]
равна приблизительно: 503.7389011023
или в экспоненциальной записи: 5.0374e+02

C(H) для паттерна [0, 114, 120, 126, 240]
равна приблизительно: 92.6336166117
или в экспоненциальной записи: 9.2634e+01

C(H) для паттерна [0, 120, 240]
равна приблизительно: 11.4329967075
или в экспоненциальной записи: 1.1433e+01

C(H) для паттерна [0, 240]
равна приблизительно: 3.5208632565
или в экспоненциальной записи: 3.5209e+00

Наверно, при больших диапазонах, типа $10^{23}$, этой точности недостаточно и накапливается ошибка при подсчете количества таких кортежей.

[Yadryara]

vicvolf в сообщении #1700432 писал(а):

Это не значит, что в других местах они не стоят, но в этих точно. Поэтому, в Ваших терминах "загрязнение" у него не нулевое.

Да, согласен, проявил невнимательность. Вот здесь я точнее сказал:

Yadryara в сообщении #1662632 писал(а):

vicvolf в сообщении #1646626 писал(а):

Конечно, она подходит для всех. Формула считает количество кортежей, где на расстоянии 6 стоят простые числа. Ей неважно, какие там "загрязнения".

Не согласен с такой формулировкой. Для найденных формул для гипотезы HL1 как раз очень важно, какие есть загрязнения. Настолько важно, что HL1 учитывает их все до единого.

То есть это обобщающая константа, но менять обозначение мне всё-таки очень не хочется. И $C_0$ это всё равно ровно то же самое что C(H) у Вас.

$0$ всё равно полезен тем, что показывает позицию этой константы в формуле и степень логарифма. Так что удобно и привычно этот ноль сохранить. И прогноз по количеству чистых кортежей, как раз и получается если учесть все ненулевые константы. 31 такая константа для 17-240-1. Но на практике все учитывать необязательно, 13-14 штук вполне хватает.

Я пока не проверял Ваши новые константы, но допустим они совпадут по 4-м первым значащим цифрам с тем, что посчитаю я. И что? Всё равно же нужно считать и другие константы. Для каждого паттерна.