Вопрос по общей теории относительности

[chislo_avogadro]

Mikhail_K в сообщении #1629391 писал(а):

с помощью модифицированной теории всемирного тяготения Ньютона

Mikhail_K в сообщении #1629391 писал(а):

в) для каждой звезды, если она находится на расстоянии $r$ от интересующей точки, смотрю её местоположение и её скорость

Mikhail_K в сообщении #1629459 писал(а):

формула (28.3). По сути, она утверждает, что для электромагнитного поля справедлив вариант в).

Но в этой формуле ведь есть вторая производная по времени, так что непонятно, почему она сопоставляется варианту в).

Если считать, что "модифицированная теория всемирного тяготения Ньютона" это закон обратных квадратов плюс СТО плюс световая скорость распространения взаимодействия, то обязана быть полная (почти) аналогия с электромагнетизмом. Об этом, к примеру, у Бескина (вводные лекции по гравитации).

Формулу для напряжённости поля в ином, чем (28.3) виде, можно найти у Гинзбурга в статье о равномерно ускоренном заряде на УФН - там явно присутствует $\mathbf {\dot v$}.

[Mikhail_K]

Нашёл такой текст на данную тему, с дальнейшими ссылками: https://arxiv.org/pdf/gr-qc/9909087
Сейчас разбираюсь в нём.
Как я понимаю, говорится в нём ровно то, что я предположил в своём заглавном посте (с учётом сказанного ниже про расстояние $r$).

chislo_avogadro в сообщении #1700197 писал(а):

Но в этой формуле ведь есть вторая производная по времени, так что непонятно, почему она сопоставляется варианту в).

Там рядом с этой формулой есть соответствующее обсуждение. В некотором приближении, электрическая сила направлена на положение заряда, рассчитанное по его прошлому положению (с учётом запаздывания) в предположении, что он двигался равномерно. Понятно, что это только приближение, а не точная картина. Как сказано в статье из архива, с гравитацией что-то похожее, во всяком случае в ряде простейших примеров, но расчёт производится в предположении равноускоренного движения тела. Понятное дело, всё это за пределами ньютоновского приближения к ОТО - в нём гравитация распространяется мгновенно.

chislo_avogadro в сообщении #1700197 писал(а):

Если считать, что "модифицированная теория всемирного тяготения Ньютона" это закон обратных квадратов плюс СТО плюс световая скорость распространения взаимодействия, то обязана быть полная (почти) аналогия с электромагнетизмом. Об этом, к примеру, у Бескина (вводные лекции по гравитации).

Про написанную у Бескина аналогию между уравнениями Эйнштейна и Максвелла (которая там у него, как я понял, подробно не выводится) я писал вот здесь: topic154075.html Как можно видеть из обсуждения, что-то в этой аналогии не очень гладко, и даже сомнительно, хотя про неё есть ряд научных статей.

[chislo_avogadro]

Mikhail_K в сообщении #1701047 писал(а):

Там рядом с этой формулой есть соответствующее обсуждение. В некотором приближении, электрическая сила направлена на положение заряда, рассчитанное по его прошлому положению (с учётом запаздывания) в предположении, что он двигался равномерно.

Вот я лично не вижу в этом обсуждении, чтобы сила была направлена на заряд (на его запаздывающее положение). Заряд рассматривается в положении в момент времени $t' = t -R/c$, но направление напряжённости определяется не только вектором $\mathbf e_{r'}$, но и его производными. Хотя поправки, видимо, малы.

Mikhail_K в сообщении #1701047 писал(а):

Про написанную у Бескина аналогию между уравнениями Эйнштейна и Максвелла (которая там у него, как я понял, подробно не выводится)

Бескин не даёт вывода, лишь ссылается на приближение слабых гравитационных полей. Правда, без ссылок на литературу.

Mikhail_K в сообщении #1701047 писал(а):

я писал вот здесь: topic154075.html Как можно видеть из обсуждения, что-то в этой аналогии не очень гладко, и даже сомнительно,

Как я понял, здесь существует как бы два направления - линеаризация ОТО и, с другой стороны, попытки обойтись вообще без ОТО, основываясь лишь на специальной относительности. В этой работе есть сравнение обоих подходов (подчёркнуто мной, перевод машинный) -

Цитата:

Из вышесказанного следует, что наш подход существенно отличается от подхода, полученного в рамках приближений слабого поля общей теории относительности. Гравитационное магнитное поле, полученное здесь, обусловлено только движением материи (без ограничения скоростью гравитационного источника), в то время как в рамках общей теории относительности оно обусловлено главным образом малыми возмущениями метрики. Следовательно, концепции, используемые в обоих подходах, существенно различаются по своей природе, и мы не можем ожидать полного соответствия результатов обеих теорий. Фактически, результаты, которые будут обсуждаться в настоящей работе, следует рассматривать как первое приближение к теории гравитомагнитных явлений, справедливое с хорошей точностью на больших расстояниях от гравитационных источников, так что гравитационное взаимодействие можно описать эффективным силовым полем; гравитомагнитные эффекты, предсказываемые линеаризованной теорией общей теории относительности, следует рассматривать как следующее более точное приближение, а именно такое, в котором пространство-время предполагается лишь слегка искривлённым.

Там, в главе 7, дан простой вывод максвеллоподобных уравнений исходя из СТО. Резюме этой главы -

Цитата:

Такой подход показывает нам, что уравнения Максвелла не имеют никакого отношения к природе электромагнитных полей − напротив, мы показали, что они являются лишь следствием ковариантности полей относительно преобразований Лоренца. Следовательно, любое другое ковариантное поле (например, электромагнитное или любое другое) должно удовлетворять аналогичному набору уравнений.

Но да, как-то вся эта картина лишена совершенства - силы Лоренца, полученные на основе этих подходов, отличаются на фактор 4.

Цитата:

Таким образом, мы видим, что линеаризованная общая теория относительности предсказывает результаты, отличающиеся от нашей теории. Это, конечно, ожидаемо, поскольку в нашем подходе мы не учитывали влияние кривизны пространства-времени. Фактически, появление этого множителя 4 в магнитной силе, представленной выше, по-видимому, имеет ту же природу, что и множитель 2, полученный Эйнштейном при расчёте гравитационного искривления света после того, как он учел кривизну пространства-времени

[epros]

Mikhail_K, кажется, я понял, что Вы хотите. В электродинамике есть потенциалы Льенара-Вихерта, в которых используется будущее местоположение заряда-источника через время $\frac{1}{c}|\mathbf{r} - \mathbf{r}_s|$, если бы он двигался прямолинейно и равномерно. Очевидно, Вы хотите что-то подобное для гравитации?

Вспомним, как выводятся потенциалы Льенара-Вихерта. Берём из электростатики поле неподвижного заряда, применяем к нему глобальное преобразование Лоренца и все дела.

Попробуем то же для ОТО. Получится "чуть" сложнее. В качестве "статического точечного источника" наиболее общего вида возьмём метрику Керра. Только для начала запишем её в пространственных координатах не $r, \theta, \varphi$, а $x, y, z$. Это чтобы на бесконечности были классические координаты ИСО. Затем тупо применяем к этой метрике формулу перехода из глобальных координат ИСО в координаты Риндлера. Особенность координат Риндлера в том, что они статические, т.е. метрика не зависит от времени, и пространственное трёхмерие там евклидово (причём координаты в нём - декартовы). Это значит, что в данной метрике вдалеке от достаточно малой чёрной дыры в нулевом приближении тоже будет так. Оставшаяся малая поправка к метрике - это и будет искомый запаздывающий потенциал, причём рассчитанный по варианту (г) - равноускоренное движение источника.