Пример арифметического доказательства Великой теоремы Ферма

[slava_asf]

deepseek не выдал ошибку. Ответ deepseek: "В оригинальном доказательстве Великой теоремы Ферма для n=3 (например, у Эйлера) используется более сложный метод бесконечного спуска с рассмотрением свойств чисел вида a + b √(-3) . Однако данное доказательство, хотя и менее строгое, правильно приходит к выводу о невозможности решения в целых числах."

Аналогичный анализ можно провести для любого n.
Подозрительно просто.
Кажется, я что-то недопонимаю.

[mihaild]

slava_asf в сообщении #1696186 писал(а):

Тогда из $(ab - 3^kfc)$ можно выделить не более: $3^k$

Что значит "выделить", и почму это так?

slava_asf в сообщении #1696203 писал(а):

Кажется, я что-то недопонимаю

Например того, что рецензиям LLM верить нельзя.

[slava_asf]

mihaild в сообщении #1696208 писал(а):

Что значит "выделить", и почму это так?

slava_asf в сообщении #1696186 писал(а):

1.1 Тогда из $(ab - 3^kfc)$ можно выделить не более: $3^k$

А менее можно:)
В точку. Спасибо!

-- 03.08.2025, 13:43 --

Если остальные рассуждения верные, можно сделать вывод, что на 3 должно делиться одно из слагаемых $a$ или $b$ уравнения $c^3 = a^3 + b^3$
Или я ошибаюсь?

[slava_asf]

Например, если ab делится на 3, то из уравнения

slava_asf в сообщении #1694379 писал(а):

$d^3 - 3(a + b)d^2 + 3(a + b)^2d - 3ab(a + b) = 0$

получаем, что a или b делится на $3^k$, т.к. d делится на $3^k$.
Получается, за скобки $(ab - 3^kfc)$ можно вынести ровно $3^k$.
Верно ли я рассуждаю?
Тогда случай 1 справедлив.

[slava_asf]

slava_asf в сообщении #1696203 писал(а):

Аналогичный анализ можно провести для любого n.

при n = 5 уравнение (6) можно представить в виде:

6. $d^5 = 5(a + b)^3(ab - cd)-5(a + b)(a^2b^2 - c^2d^2)$

и провести аналогичную проверку делимости на $5^k$ и получить нецелые k.

Ошибку при $n=3$ в доказательстве не нашел. Может кто-нибудь поможет?

[mihaild]

Запишите сначала доказательство у себя на бумажке, проверьте, что там всё, а потом уже выкладывайте, целиком. Собирать его по частям не хочется.
И используйте строгую терминологию. Лучше стандартную, если уж очень нужна нестандартная - надо четко сказать, что она означает. Что за "выделения"?

[slava_asf]

1. Доказательство отсутствия нетривиальных целочисленных решений уравнения: $a^3 + b^3 = c^3$, где $a, b, c \in \mathbb{N}, abc \ne 0$ , $a, b, c$ - взаимно-простые числа.
2. Введем параметр $d$, что: $a + b = c + d$
3. Возводим обе части равенства п.2 в куб: $(a + b)^3 = (c + d)^3$
4. Из п.3 получаем: $a^3 + 3ab (a+b) + b^3 = c^3 + 3cd(c+d) + d^3$
5. Упростим уравнение п.4: $d^3 = 3(a+b)(ab - cd)$
6. Из п.5 следует, что $d$ делится на 3,
7. Пусть $d = 3^k f$, где $f$ не делится на 3.
8. Уравнение п.5 после замены с учетом п.7 примет вид:

$3^{3k} f^3 = 3(a+b)(ab - 3^k fc)$

Рассмотрим 3 возможных случая:

Случай 1. $ab$ делится на 3.
Найдем показатель степени при 3 для $ab$. Для этого:
1.1. Равенство п.2 представим в виде: $c = (a + b) - d$
1.2. Возводим обе части уравнения п.1.1 в куб: $c^3 = ((a + b) - d)^3$
1.3. Раскрываем часть скобок уравнения п.1.2: $c^3 = a^3 + 3ab(a + b) + b^3 - 3(a + b)^2 d + 3(a + b)d^2 - d^3$
1.4. Подставляя исходные выражения и упрощая уравнение п.1.3, получаем: $d^3 - 3(a + b)d^2 + 3(a + b)^2 d - 3ab(a + b) = 0$
1.5. Сохранение условия делимости на 3 в уравнении п.1.4 возможно, если $ab$ делится на $3^k$, т.к. $d$ делится на $3^k$.
1.6. Левая часть уравнения п.8 делится на $3^{3k}$, правая – на $3^{k+1}$.
1.7. Из п.1.6 приравниваем показатели степеней при 3: $3k = k + 1 \Rightarrow k = 0,5$.
Но показатель степени при простом числе должен быть целым неотрицательным числом. Пришли к противоречию.

Случай 2. Ни одно из чисел $a,b,c$ не делится на 3.
2.1. Из уравнения п.8 множитель $(ab - 3^k fc)$ не делится на 3.
2.2. Приравниваем показатели степеней при 3 уравнения п.8: $3k = 1 \Rightarrow k = 1/3$.
Получаем противоречие.

Случай 3. $c$ делится на 3.
3.1. Из уравнения п.8 получим: $(a + b)$ делится на $3^{3k-1}$
Найдем показатель степени при 3 для $c$.
3.2. Исходное уравнение п.1 преобразуем к виду: $c^3 = (a + b)((a + b)^2 - 3ab)$.
3.3. Из уравнения п.3.2 получим: $c$ делится на $3^k$.
3.4. Проверим делимость на 3 левой и правой частей уравнения из п.2: $(a + b)$ делится на $3^{3k-1}$, $(c + d)$ делится на $3^k$.
3.5. Приравнивая показатели степеней при 3 получим: $3k - 1 = k \Rightarrow k = 0,5$.
Пришли к противоречию.

ВЫВОД.
Во всех рассмотренных случаях предположение о существовании нетривиальных целочисленных решений уравнения п.1 приводит к противоречиям в показателе степеней $k$ при простом делителе 3.
Таким образом, уравнение не имеет нетривиальных решений в целых числах.
Ч.Т.Д.

-- 04.08.2025, 06:22 --

P.S. В подтверждение правильности выбранного способа арифметического доказательства выполним следующий анализ:
4.1. Представим уравнение п.1 в следующем виде: $(p^k+x)^3 + (p^k+y)^3 = (p^k+z)^3$, где $p$ - простое число.
4.2. Из уравнения п.4.1 получим: $p^{3k} = 3pz(p+z) - 3pz(p+x) - 3pz(p+y)$.
4.3. Из уравнения п.4.2: $p = 3$. В общем виде ВТФ $p = n$.
Таким образом проверка делимости на $n$, в данном случае $n=3$, является ключом в решению ВТФ.
Аналогичным образом предположение о существовании нетривиальных целочисленных решений уравнений ВТФ при показателе степени $n$ приводит к противоречиям в показателях степеней $k$ при простом делителе $n$, кроме $n = 2$.

Если я допустил критическую ошибку в доказательстве, значит я был неправ.

[dick]

У Вас в "Случай 1", при том что $a$ или $b$ делится на $3^k$, вторая скобка правой части равенства п.8 может делиться на $3^{3k-1}$.
А в целом, если вас действительно интересует ВТФ, стоит почитать материалы форума. Узнаете много полезного.

-- 04.08.2025, 09:18 --

[slava_asf]

dick в сообщении #1696293 писал(а):

вторая скобка правой части равенства п.8 может делиться на $3^{3k-1}$

Опять в ту же точку:) Благодарю!

ps. В п.1.5 эту ошибку не допустили, а в п.3.4, похоже, та же ошибка.

-- 04.08.2025, 11:37 --

dick в сообщении #1696293 писал(а):

если вас действительно интересует ВТФ

В детстве не наигрался:) Но увлекательно!
Поле длинное, игроков много, у каждая своя шайба!
Но, похоже, ворота на длинном поле не ставятся:)

[mihaild]

dick в сообщении #1696293 писал(а):

А в целом, если вас действительно интересует ВТФ, стоит почитать материалы форума

Лучше что-то более разумное. Например Постников, "Великая теорема Ферма".

[slava_asf]

Спасибо за помощь и спасибо за советы!

[Someone]

Книга Постникова выходила дважды, второй раз — в переработанном виде.

М. М. Постников. Теорема Ферма. Введение в теорию алгебраических чисел. "Наука", Москва, 1978.
М. М. Постников. Введение в теорию алгебраических чисел. "Наука", Москва, 1982.

slava_asf в сообщении #1696305 писал(а):

Спасибо за помощь и спасибо за советы!

По поводу ваших рассуждений.
1) Не надо отдельно рассматривать случаи, когда $a$ делится на $3$, $b$ делится на $3$, $c$ делится на $3$. Уравнение $a^3+b^3=c^3$ можно рассматривать не только на множестве натуральных чисел, но и на множестве ненулевых целых чисел (второй случай тривиально сводится к первому переносом членов уравнения из одной части в другую и умножением на $-1$). Поэтому мы заранее можем предположить, что на $3$ делится какой-нибудь определённый член уравнения (всё равно, какой; например, $b$): просто переставляем члены уравнения так, чтобы слева было два члена, справа — один, и на $3$ делился именно тот, который мы захотели.
2) Элементарными средствами можно показать, что, если ни одно из чисел $a$, $b$, $c$ не делится на $3^2$, то решений нет. При этом делимость на $3$ можно доказать, используя алгебраические преобразования, а доказательство делимости на $3^2$ требует новых соотношений.
3) Дальнейшие рассуждения о делимости на более высокие степени числа $3$ ничего не дают. Дело в том, что обсуждаемое уравнение имеет ненулевые решения по модулю $3^k$ для любого натурального $k\geqslant 2$, в котором хотя бы одно из чисел $a$, $b$, $c$ делится на $3$. Например, $8^3+3^3\equiv 17^3\pmod{3^7}$.
Прилагаю файл, в котором всё сказанное в первых двух пунктах разобрано.

Вложение:

Fermat-3---.pdf

[slava_asf]

Спасибо за полезный материал и интересную статью!
Про перенос с заменой знака знаю, просто из-за допущенной ошибки возник 3-ий случай.
Когда в написанном все понимаешь, ошибку свою не замечаешь.
И начинаешь думать, что ошибка кроется в чем-то за пределами своих знаний.

Анализ делителей - интересная тема. Используя примитивный случай, можно представить:
$c^3 = a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 + ab + b^2) = c_1^3 c_2^3$
Так как если с не делится на 3, то $(a + b)$ и $(a^2 + ab + b^2)$ взаимно простые числа.
Значит условие четности в простом случае обеспечивается при $a + b = 8k$
Условие делимости на 3 при $a + b = 27k$ и т.д.
Можно построить что-то вроде решета Эратосфена как минимум для шести параметров.
$c_1^3c_2^3 = a_1^3a_2^3 + 3b_1^3b_2^3$, пусть $b$ делится на 3.
Первая точка совпадения будет $(2\cdot3\cdot5\cdot7)^3 = 9261000$.
Но $(a^2 + ab + b^2)$ содержит делители с низкими степенями, почти простые, по аналогии с abc-гипотезой.
Поэтому невозможно добиться одновременно еще и куба $(a^2 + ab + b^2)$

[vxv]

slava_asf в сообщении #1696296 писал(а):

В детстве не наигрался:) Но увлекательно!
Поле длинное, игроков много, у каждая своя шайба!
Но, похоже, ворота на длинном поле не ставятся:)

Цитата из аннотации.
«… Одна из целей книги – убедить читателя в глубине и сложности проблематики, связанной с теоремой Ферма, и в полной бесперспективности поисков ее элементарного доказательства…».
А это от И.А. Крылова
https://ilibrary.ru/text/2175/p.129/index.html

[slava_asf]

vxv в сообщении #1696343 писал(а):

в полной бесперспективности поисков ее элементарного доказательства

Но все же хотят найти то удивительное доказательство, о чем упоминал Ферма. Получается, Ферма всех обманул!
Но в математику полезно играть! А ВТФ - хорошая математическая головоломка! Выхода нет - ну и ладно:)