Глобально порожденный пучок

[OlgaD]

Не могу понять описание глобально порожденного пучка у Форстера Римановы поверхности (англ.).

Кратко его обозначения и основные понятия:

1. Дивизор на римановой поверхности $X$ определяется как функция $D:X\to\mathbb{Z}.$
2. Некоторому дивизору $D\in X$ сопоставляется пучок $\mathcal{O}_D$ мероморфных функций ($U$ открыто в $X$)

$\mathcal{O}_D(U):=\{f\in\mathcal{M}(U):ord_x(f)\geq-D(x)\;\mbox{для всех}\;x\in U\}.$

3. Далее он дает определение: пучок $\mathcal{O}_D$ называется глобально порожденным, если для каждого $x\in X$ существует $f\in H^0(X,\mathcal{O}_D),$ такая, что $\mathcal{O}_{D,x}=\mathcal{O}_xf,$ т.е. каждый росток $\varphi\in\mathcal{O}_{D,x}$ может быть записан как $\varphi=\psi f$ с $\psi\in\mathcal{O}_x.$

Мне непонятна его следующая мысль: Он пишет, что условие $\mathcal{O}_{D,x}=\mathcal{O}_xf$ эквивалентно равенству $ord_x(f)=-D(x).$ Почему? Как эту эквивалентность проверить?

[dgwuqtj]

Дивизор должен быть нулевым всюду, кроме дискретного подмножества. Посмотрим на ситуацию локально, т.е. пусть $U$ — это маленькая окрестность $0 \in \mathbb C$, $D(z) = 0$ в этой окрестности кроме самой точки $z = 0$. Тогда $\mathcal O_0$ — это кольцо формальных степенных рядов Тейлора с положительным радиусом сходимости, а $\mathcal O_{D, 0}$ — кольцо формальных рядов Лорана с положительным радиусом сходимости, у которых показатели при $z$ не меньше $-D(0)$. Условие $\mathcal O_{D, 0} = \mathcal O_0 f$ как раз и означает, что ряд Лорана мероморфной функции $f$ в нуле имеет порядок ровно $-D(0)$.

Это всё работает именно потому что комплексное многообразие одномерно, его локальные кольца — это кольца дискретного нормирования.

[OlgaD]

Не могли вы Вы пояснить, почему мы говорим о точке $0\in\mathbb{C}?$ Если я правильно понимаю, имеется в виду координатная окрестность $(U,z)$ точки $x\in X$ с $z(x)=0?$ Что такое показатели при $z$ в ряде Лорана? Как это все связано с равенством $ord_x(f)=-D(x)?$

К сожалению, с понятием колец дискретного нормирования я практически не знакома, поэтому здесь пока тупик.

[dgwuqtj]

Локально все римановы поверхности изоморфны, так почему бы не взять конкретную $U = \{z \in \mathbb C \mid |z| < \varepsilon\}$ с точкой $0$? Можно брать любую другую точку в $\mathbb C$ и рассматривать сдвинутый ряд Лорана, конечно.

OlgaD в сообщении #1689851 писал(а):

Если я правильно понимаю, имеется в виду координатная окрестность $(U,z)$ точки $x \in X$ с $z(x)=0?$

Именно так. Можно вообще забыть про исходную поверхность и смотреть на $z$ как на переменную.

Вообще давайте для начала рассмотрим случай открытого подмножества $X \subseteq \mathbb C$. Тогда дивизор — это функция, которая почти везде нулевая, кроме дискретного подмножества. Кольцо $\mathcal O_{X, x}$ — это кольцо степенных рядов вида $\sum_{k = 0}^\infty a_k (z - x)^k$ с положительным радиусом сходимости, $\mathcal O_{D, x}$ — это кольцо рядов Лорана вида $\sum_{k = -D(x)}^\infty a_k (z - x)^k$ опять же с положительным радиусом сходимости.

Про кольца дискретного нормирования не думайте, это было на случай, если вы что-то про это слышали.

[OlgaD]

Я немного запуталась в обозначениях. $\mathcal{O}_{X,x}$ - это что? Что за глобальное сечение $f\in H^0(X,\mathcal{O}_D)$ выбирается?

[dgwuqtj]

А, это у вас обозначалось через $\mathcal O_x$. То есть локальное кольцо точки $x$ пучка голоморфных функций. Глобальное сечение — это некая мероморфная функция, определённая всюду, голоморфная почти всюду и с ограничениями на порядки нулей и полюсов.

Например, структурный пучок $\mathcal O_X$ (т.е. при $D = 0$) сферы Римана не глобально порождён: все голоморфные функции без особенности на бесконечности являются константами. А вот при $D = [\infty] + [0]$ (т.е. в бесконечности и в нуле разрешаются полюса первого порядка) пучок уже глобально порождён, $\mathcal O_x$ порождён функцией $z - x$ для конечных $x$, $\mathcal O_\infty$ порождён функцией $\frac 1 z$.

[OlgaD]

Спасибо. Что такое глобальное сечение, я знаю. Однако с понятиями локального и структурного пучков пока не знакома. Поэтому я понимаю Вас не совсем.

[dgwuqtj]

В книжке же где-то должны определяться $\mathcal O_x$ и $\mathcal O_{D, x}$.

[OlgaD]

$\mathcal{O}_x$ --- слой пучка голоморфных функций в точке $x,$ соответственно $\mathcal{O}_{D,x}$ --- это слой пучка $\mathcal{O}_D$ в точке $x.$ Как определяется пучок $\mathcal{O}_D$ у Форстера, я описала в самом начале.

Я немного почитала о кольцах дискретного нормирования. Так что, наверное, можно перейти к их использованию в объяснении.

[dgwuqtj]

А вы можете как-то конкретно описать слой пучка голоморфных функций на $\mathbb C$ в точке $0$?

[OlgaD]

Кажется, он изоморфен кольцу всех сходящихся степенных рядов от $z$ с комплексными коэффициентами. Но это есть и у Форстера, правда, для общего слоя $\mathcal{O}_a$ в точке $a.$

[dgwuqtj]

Ну да, сходящихся в какой-то малой окрестности точки (у каждого ряда свой радиус сходимости). А что тогда такое $\mathcal O_{D, x}$ в случае $D = n [0]$ и $x = 0$?

[OlgaD]

Здесь для меня сложнее. Но думаю, что это кольцо мероморфных функций, имеющих полюс в точке $x=0$ порядка не выше $n.$ Хотя скорее всего наврала.

[OlgaD]

Здесь для меня сложнее. Но думаю, что это кольцо мероморфных функций, имеющих полюс в точке $x=0$ порядка не выше $n.$ Хотя скорее всего наврала.

[OlgaD]

Здесь для меня сложнее. Но думаю, что это кольцо мероморфных функций, имеющих полюс в точке $x=0$ порядка не выше $n.$ Хотя скорее всего наврала.