Глобально порожденный пучок

[OlgaD]

Здесь для меня сложнее. Но думаю, что это кольцо мероморфных функций, имеющих полюс в точке $x=0$ порядка не выше $n.$ Хотя скорее всего наврала.

[OlgaD]

Здесь для меня сложнее. Но думаю, что это кольцо мероморфных функций, имеющих полюс в точке $x=0$ порядка не выше $n.$ Хотя скорее всего наврала.

[OlgaD]

Здесь для меня сложнее. Но думаю, что это кольцо мероморфных функций, имеющих полюс в точке $x=0$ порядка не выше $n.$ Хотя скорее всего наврала.

[OlgaD]

Здесь для меня сложнее. Но думаю, что это кольцо мероморфных функций, имеющих полюс в точке $x=0$ порядка не выше $n.$ Хотя скорее всего наврала.

[OlgaD]

Здесь для меня сложнее. Но думаю, что это кольцо мероморфных функций, имеющих полюс в точке $x=0$ порядка не выше $n.$ Хотя скорее всего наврала.

[OlgaD]

Здесь для меня сложнее. Но думаю, что это кольцо мероморфных функций, имеющих полюс в точке $x=0$ порядка не выше $n.$ Хотя скорее всего наврала.

[OlgaD]

Здесь для меня сложнее. Но думаю, что это кольцо мероморфных функций, имеющих полюс в точке $x=0$ порядка не выше $n.$ Хотя скорее всего наврала.

[dgwuqtj]

Вы же отличаете мероморфные функции и их ростки? Сами по себе мероморфные функции не образуют кольцо, у них разные области определения. В целом всё так, только при $n < 0$ это уже будут ростки голоморфных функций с нулём порядка $\geq -n$.

[OlgaD]

Да, погорячилась немного.

[dgwuqtj]

Итак, $\mathcal O_x$ — это кольцо ростков голоморфных функций в $x = 0$, $\mathcal O_{D, x}$ — кольцо ростков мероморфных функций в той же точке с ограничением на порядок нуля или полюса. Понятно, что $\mathcal O_{D, x} = x^{-n} \mathcal O_x$ (кстати, это не кольцо, а модуль на $\mathcal O_x$). Ну и смотрите, при каких условиях на мероморфную функцию $f$ выполнено условие $\mathcal O_{D, x} = f \mathcal O_x$, если у $f$ особенности только в виде полюсов.

-- 13.06.2025, 21:30 --

OlgaD в сообщении #1690187 писал(а):

Я немного почитала о кольцах дискретного нормирования. Так что, наверное, можно перейти к их использованию в объяснении.

Вот $\mathcal O_x$ является кольцом дискретного нормирования. Любой ненулевой элемент этого кольца, т.е. росток голоморфной функции, представляется в виде $f(z) = z^n g(z)$, где $g(0) \neq 0$ и $n \in \mathbb N_0$. Это опять при $x = 0$ для удобства.

[OlgaD]

Если я правильно поняла прочитанное о кольцах дискретного нормирования, то в моем случае дискретное нормирование на римановой поверхности $X$ - это сопоставление каждой функции из поля мероморфных функций на $X$ ее порядка в некоторой точке $x.$ Поскольку для голоморфных функций эти порядки неотрицательны, то $\mathcal{O}_x$ действительно является кольцом дискретного нормирования.

Равенство $\mathcal{O}_{D,x}=x^{-n}\mathcal{O}_x$ мне, кажется, тоже интуитивно понятно: если на открытом множестве $U\subset X$ мы имеем $ord_x(f)\geq -D(x)$ для всех $x\in U,$ то это неравенство равносильно неравенству $ord_x(f)+D(x)\geq 0,$ т.е. то, что стоит с левой стороны - "голоморфная" функция на $U.$ Наверное, главное, в чем я плаваю: почему мы пишем, что $\mathcal{O}_{D,x}$ - кольцо (модуль?) ростков мероморфных функций, имеющих в точке $x$ порядок "не выше" $n,$ а в равенстве $\mathcal{O}_{D,x}=x^{-n}\mathcal{O}_x$ берем "ровно" $n?$ Не знаю, как точнее поставить вопрос.

В любом случае из равенства $\mathcal{O}_{D,x}=f\mathcal{O}_x$ получаем равенство $x^{-n}\mathcal{O}_x=f\mathcal{O}_x.$
Не совсем понимаю, как из последнего равенства сделать вывод, что $ord_x(f)=-D(x).$ Если я еще окончательно не запуталась, то $D(x)=n.$

[dgwuqtj]

В кольцо $\mathcal O_x$ входят нулевой росток, ростки с ненулевым значением в $x$, ростки с нулём первого порядка, с нулём второго порядка и т.д. А модуль $\mathcal O_{D, x}$ состоит из нуля, ростков мероморфных функций с нормированием $-D(x)$, ростков с нормированием $1 - D(x)$, и т.д. Они друг другу взаимно однозначно соответствуют при домножении на мероморфный росток нужного нормирования.

[OlgaD]

Если честно, не совсем поняла мысль. Как это отражает равенство $\mathcal{O}_{D,x}=f\mathcal{O}_x?$
Что значит "росток мероморфной функции с нормированием $-D(x)?$"

-- 14.06.2025, 11:57 --

dgwuqtj в сообщении #1690357 писал(а):

Они друг другу взаимно однозначно соответствуют при домножении на мероморфный росток нужного нормирования.

И у меня все еще остается вопрос, как из равенства $\mathcal{O}_{D,x}=f\mathcal{O}_x$ следует равенство $ord_x(f)=-D(X)?$

[dgwuqtj]

OlgaD в сообщении #1690371 писал(а):

И у меня все еще остается вопрос, как из равенства $\mathcal{O}_{D,x}=f\mathcal{O}_x$ следует равенство $ord_x(f)=-D(X)?$

Если $\mathrm{ord}_x(f) < -D(x)$, то в правой части будет сам росток $f$, а в левой части её не будет. Если же $\mathrm{ord}_x(f) > -D(x)$ (включая случай $f = 0$, когда нормирование бесконечно), то в левой части будет росток с нормированием $-D(x)$ (например, $(z - x)^{-D(x)}$, если у нас подмножество $\mathbb C$), а в правой такого не будет.

[OlgaD]

dgwuqtj в сообщении #1690384 писал(а):

OlgaD в сообщении #1690371 писал(а):

И у меня все еще остается вопрос, как из равенства $\mathcal{O}_{D,x}=f\mathcal{O}_x$ следует равенство $ord_x(f)=-D(X)?$

Если $\mathrm{ord}_x(f) < -D(x)$, то в правой части будет сам росток $f$, а в левой части её не будет. Если же $\mathrm{ord}_x(f) > -D(x)$ (включая случай $f = 0$, когда нормирование бесконечно), то в левой части будет росток с нормированием $-D(x)$ (например, $(z - x)^{-D(x)}$, если у нас подмножество $\mathbb C$), а в правой такого не будет.

Извините, перестала понимать Вас совсем. Разве в описании пучка $\mathcal{O}_D$ не рассматриваются мероморфные функции $f$ с $ord_x(d)\geq-D(x)?$ Зачем мы рассматриваем противоположный случай? И что значит "в правой части остается сам росток $f,$ а в правой ее не будет"? Вообще не поняла рассуждения о левой и правой части.