Глобально порожденный пучок

[dgwuqtj]

Давайте начнём с того, что вы напишете определение слоя $\mathcal O_x$.

[OlgaD]

Спасибо, что Вы еще здесь! Формально слой $\mathcal{O}_x$ представляет собой факторизацию несвязного объединения групп сечений $\mathcal{O}(U)$ с $x\in U$ по отношению эквивалентности на сечениях: $f\in\mathcal{O}(U)$ и $g\in\mathcal{O}(V)$ эквивалентны, если существует окрестность $W$ точки $x,$ что $W\subset U\cap V$ и $f|_W=g|W.$ Каждый класс эквивалентности - росток.

[dgwuqtj]

Ага. А вы понимаете, почему в случае $x = 0 \in \mathbb C$ слой изоморфен кольцу степенных рядов с положительным радиусом сходимости? Потому что через такое абстрактное определение работать неудобно.

[OlgaD]

Хорошо. Две голоморфные функции задают один и тот же росток в точке $z=0,$ если они имеют в окрестности этой точки одинаковое разложение в степенной ряд (с положительным радиусом сходимости). Таким образом, каждому ростку из $\mathcal{O}_0$ однозначно сопоставляется некоторый степенной ряд с комплексными коэффициентами. Отсюда мы имеем изоморфизм слоя и кольца степенных рядов.

[dgwuqtj]

Да. И что получится, если все такие ряды умножить на мероморфный росток $f$, т.е. на некий ряд Лорана? То есть что такое $\{f g \mid g \in \mathcal O_x\}$.

[OlgaD]

Думаю, множество ростков мероморфных функций

[dgwuqtj]

Но не всё. Вопрос попроще: что такое $a \cdot [0, 1] = \{a b \mid 0 \leq b \leq 1\}$, где $a > 0$?

[OlgaD]

$[0,a]?$

[dgwuqtj]

Да. А в случае слоя какое в точности множество рядов получится?

[OlgaD]

множество рядов с полюсами не ниже того, на который умножаем

[dgwuqtj]

Вот. И остаётся проверить, когда такое множество равно $\mathcal O_{D, x}$.

[OlgaD]

Черт, меня все равно клинит. В описании пучка $\mathcal{O}_D$ стоит неравенство, а нужно доказать равенство

[dgwuqtj]

OlgaD в сообщении #1690418 писал(а):

множество рядов с полюсами не ниже того, на который умножаем

Так и тут неравенство!

[OlgaD]

Тогда я совсем в тупике, так как мне надо доказать равенство $ord_x(f)=-D(x).$ У меня такое чувство, что я хожу по кругу перед равенством 2+2=4

Кстати, почему мы умножаем на росток, если $f\in H^0(X,\mathcal{O}_D)?$

[dgwuqtj]

Это вопрос в духе "верно ли, что из $a \cdot [0, 1] = [0, 5]$ следует $a = 5$".