Еще раз о колмогоровской реформе

Mihr · 18/09/14 5512

мат-ламер в сообщении #1683227 писал(а):

Конкретный пример такого читателя есть. Это лично я.

Неподходящий вариант. Учебник не рассчитан на Вас. Он рассчитан на читателя 12-ти лет. Это очень существенное обстоятельство.

-- 21.04.2025, 13:13 --

мат-ламер в сообщении #1683227 писал(а):

У меня нет в моём поле зрения людей, которые учились по Колмогорову.

Если реально интересно, можно создать опрос. (Не обязательно на этом форуме. На любом.)

пианист · 03/06/08 2434 МО

(Оффтоп)

мат-ламер

Колобки писал(а):

Ни-чего не понимаю!

;)

мат-ламер · 30/01/09 7385

Mihr в сообщении #1683232 писал(а):

Неподходящий вариант. Учебник не рассчитан на Вас. Он рассчитан на читателя 12-ти лет. Это очень существенное обстоятельство.

Вашу мысль категорически не понял. Учебник Погорелова на вас рассчитан? Доказательство равенства неких треугольников вызвало у вас замешательство или нет:

Mihr в сообщении #1683165 писал(а):

Текст, который я обвёл красной рамкой, меня просто убил.
Погорелов. Доказывает. Семиклассникам. Что. Треугольник $CAB$ . Равен. Треугольнику $CBA$ .
Доказывает, ссылаясь на первый признак равенства треугольников. Остановите Землю!

Думаю, что какое-то замешательство всё-таки вызвал. Это нормально. Ровно таким же образом у меня вызвало замешательство и чтение учебника Колмогорова. Это тоже нормально. И в чём тут между нами разница - я не понял.

Однако школьники были не единственными читателями учебника Колмогорова. Я думаю, что лично моё замешательство или чьё-то одобрение в качестве оценки учебника решающего значения не имеют. Возникли объективные трудности по внедрению этих учебников. И я думаю, что если бы их не было, то дела развивались бы по-другому. Учебники бы переработали. Может быть самим авторским коллективом. Может другие авторы взяли бы эти учебники за основу и написали бы свои в том же духе. Но этого не произошло.

Читателей учебников можно разделить на несколько группы. Первая - немногочисленная группа школьников, которая всё же пыталась в учебниках понять нюансы и что из чего следует. Я думаю, что эта группа на дальнейшее течение дел влияние не оказала. Вторая группа - учителя, которые в ВУЗе ничего похожего не проходили и реально пытались понять то, чему они должны быть учить школьников. Они подняли некоторое возмущение. Третья группа - лекторы педвузов, которых обязали провести занятия с учителями, чтобы им что-то объяснить. Можно предположить, что возмущение потихоньку шло вверх и уже вопрос стал рассматриваться на заседании Академии наук СССР. И я думаю, что для того, чтобы решить, куда дальше двигаться в области преподавания геометрии, учебник был прочитан и изучен многими читателями, на которых этот учебник рассчитан не был. Поэтому, когда я употребляю слово "читатель", это не означает, что это школьник. Это может быть учёный, от кого реально зависит политика в образовании.

Mihr · 18/09/14 5512

мат-ламер в сообщении #1683235 писал(а):

Доказательство равенства неких треугольников вызвало у вас замешательство или нет

Да, вызвало. Но не тем, что оно непонятно мне. Мне оно понятно. А тем, что его очень трудно внятно изложить в школе именно так, как написано в учебнике. Мой опыт подсказывает: большинство школьников практически ничего не поймёт.

мат-ламер в сообщении #1683235 писал(а):

И в чём тут между нами разница - я не понял.

В том, что я немало лет проработал со школьниками. А вы, если я правильно себе представляю, не работали с ними вообще.

Возможно, с Вашей точки зрения это неважно. Если так, спорить не стану.

мат-ламер · 30/01/09 7385

мат-ламер в сообщении #1683198 писал(а):

Треугольником, по-видимому, будет называться объект, состоящий из простой замкнутой ломаной (невырожденной), состоящей из трёх отрезков и множества точек, которые лежат внутри этой ломаной.

Тут я сильно затупил. По Колмогорову это всё же объединение множества точек замкнутой ломаной и множества точек внутренности. Поэтому треугольники $ABC$ и $ACB$ - один и тот же объект, поскольку состоят из одних и тех же точек. Поэтому вопрос о конгруэнтности тут отпадает. Интересно, что у Погорелова и Атанасяна всё не так.

-- Пн апр 21, 2025 16:26:25 --

мат-ламер в сообщении #1683198 писал(а):

Далее в пункте II.2.22.2 рассматривается задача построения треугольника по трём сторонам. Построить конечно можно. Только результат этого построения будет неединственный. Далее делается вывод, что все таким образом построенные треугольники будут конгруэнтны :?:

Отсюда уже делается вывод, что треугольники с конгруэнтными сторонами конгруэнтны.

Опять себя чувствую идиотом. Откуда тут следует конгруэнтность :?:

Тем не менее, этот вопрос остаётся. Да, способ построения есть. Да, при всех способах построения получаем треугольники с равными сторонами. Откуда всё же следует, что все полученные треугольники конгруэнтны?

мат-ламер · 30/01/09 7385

Mihr в сообщении #1683237 писал(а):

В том, что я немало лет проработал со школьниками. А вы, если я правильно себе представляю, не работали с ними вообще.

Возможно, с Вашей точки зрения это неважно. Если так, спорить не стану.

Уважаемый Mihr! О важности этого вопроса я не задумывался. Вам виднее. Со школьниками работал. Но не как профессиональный педагог. В нашей конторе есть кружок для школьников. Но занимаемся мы с ними не математикой, а программированием. Школьников сейчас особо математика не интересует. Но программирование у нас часто связано с геометрией. А компьютер, в отличие от школьников, не обманешь. И какая точка треугольника является внутренняя к нему, а какая наружная - ему ещё надо объяснить. И треугольник $ABC$ у него для начала не равен треугольнику $ACB$ . И должен ли он вообще тут быть равным - большой вопрос. Так что к геометрии некоторый интерес у меня есть. Правда, больше к компьютерной, чем к школьной. А к образованию у меня интерес вызван тем, что у школьников, которые к нам ходят, есть трудности, в частности, с геометрией. Более того, как я тут посмотрел кое-какие ролики по Интернету, так оказывается с этим реально есть глобальная проблема. Но об этом позже. Удивлён, что мои посты насчёт конгруэнции треугольников вызвали такой бурный всплеск эмоций.

мат-ламер · 30/01/09 7385

Загадочным выглядит следующий кусок из лекции Тихомирова (ученика Колмогорова). Он сам как-то спросил у Колмогорова, а какой смысл в этой программе по геометрии? Колмогоров ему ответил типа, погоди, ещё не время. Придёт время всё прояснится. Но время так и не пришло. Причём Тихомиров в том числе и геометр. По крайней мере, книгу по геометрии написал.

Встаёт вопрос. То ли Колмогоров был уверен, что у него в курсе всё идеально. Просто его не понимают. То ли Колмогоров уже почувствовал, что в его курсе что-то не так фундаментально. Дело не в некотором количестве дыр, которые можно было залатать. Хотя бы в дополнительных пособиях для учителей. Дело в принципиальном подходе.

Претензии вызвал, например, теоретико-множественный подход. Треугольник у Колмогорова - это множество точек на плоскости (в которое входит и внутренность треугольника). Обычно в книгах треугольник - это совокупность вершин и сторон. Понимание того, что треугольник - это множество точек, с одной стороны упрощает. Не надо доказывать конгруэнтность треугольников $ABC$ и $ACB$ . А с другой стороны возникают непонятки - как доказать конгруэнтность двух треугольников, у которых равны стороны. Может человеку тут всё понятно. А поди-ка ты объясни это дело компьютеру. Ему нужно эту конгруэнцию (отображение) представить в явном виде. Методами аналитической геометрии в координатах я представляю, как это сделать. А как иначе, не знаю.

-- Пн апр 21, 2025 19:07:08 --

Я тут на учебник Базылева для педфаков ссылался. Решил посмотреть, а что же там насчёт треугольников? И не нашёл ничего. Выкрутились.

мат-ламер · 30/01/09 7385

мат-ламер в сообщении #1683243 писал(а):

Тем не менее, этот вопрос остаётся. Да, способ построения есть. Да, при всех способах построения получаем треугольники с равными сторонами. Откуда всё же следует, что все полученные треугольники конгруэнтны?

Немножко продвинулся в понимании этого вопроса. Итак, у нас есть два треугольника $ABC$ и $A'B'C'$ с одинаковыми длинами сторон. Сначала совмещаем точку $A$ и точку $A'$ . Далее вращаем треугольник $A'B'C'$ вокруг точки $A'$ до тех пор, пока не совпадут точки $B$ и $B'$ . Далее, вокруг точки $A$ описываем окружность радиуса $|AC|$ . Далее, вокруг точки $B$ описываем окружность радиуса $|BC|$ . Эти окружности пересекаются в двух точках. (Была теорема без доказательства). Точки $C$ и $C'$ принадлежат этому множеству из двух точек. Тут возможно два варианта. Первый - точки $C$ и $C'$ совпадают. Тогда всё доказано. Вариант второй - точки $C$ и $C'$ не совпадают. Тогда мы меняем ориентацию треугольника $A'B'C'$ - берём его зеркальное отражение относительно прямой, проходящей через отрезок $AB$ . Осталось доказать, что после такой процедуры точки $C$ и $C'$ совпадут (но не может ведь точка $C'$ остаться на месте). Но что-то это сильно длинней, чем у Колмогорова.

Тут ещё используется скрытая лемма - если у треугольниках вершины совпадают, то и совпадают и множества всех остальных точек - точек на сторонах и внутренних точек. Но это как-бы следует из того, что множество точек треугольника есть выпуклая оболочка его вершин. Пишу "как-бы", поскольку эта тема в учебнике не раскрыта.

Ende · 02/02/19 2949

i	Тазик грязного белья отделен и закрыт.

!

Alex Krylov
Хотите говорить о колмогоровской реформе - говорите о реформе. Цитируйте и критикуйте учебники или хоть рецензии на учебники. Приводите сведения об уровне подготовке школьников разных лет. Кадры, конечно, решают все, но копаться в грязном белье давно умерших людей, тем более не проводивших непосредственно эту реформу - некрасиво. Поэтому заканчивайте. Считайте это требованием модератора.

vpb · 18/01/15 3343

Mihr
Как и обещался, пишу доказательство третьего признака.

(Оффтоп)

несколько дней на это времени не хватало. А точнее, увлеченно занимался своей основной работой,
за которую мне деньги платят (или, правильнее сказать, в связи с которой я получаю жалованье). А к концу дня уже так голова опухала, что ни до чего было.

Ну, вспомним классику.
1-й признак равенства треугольников. Если $|AB|=|A'B'|$ и $|AC|=|A'C'|$ , и
$\widehat{BAC}=\widehat{B'A'C'}$ , то треугольники $ABC$ и $A'B'C'$ равны.

Доказательство. Пусть $\pi$ --- та полуплоскость, из двух, на границе которых лежит луч $[AB)$ , которая содержит $C$ ; $\pi'$ --- аналогичная полуплоскость для второго треугольника. Наложим плоскость на себя так, чтобы $\pi'$ наложилось на $\pi$ , и $[A'B')$ на $[AB)$ . Образ точки $A'$ при этом наложении --- точка $A$ , образы точек $B'$ и $C'$ обозначим $B''$ и $C''$ соотвтственно. Треугольники $A'B'C'$ и $AB''C''$ , таким образом, равные.

Точка $B''$ лежит на образе луча $[A'B')$ , т.е. на $[AB)$ , и $|AB''|=|A'B'|=|AB|$ . Значит, $B''=B$ . Образ луча $[A'C')$ --- луч $[AC'')$ . Он лежит в полуплоскости $\pi$ , и составляет с лучом $[AB)=[AB'')$ угол, равный $\widehat{B'A'C'}$ , т.е. $\widehat{BAC}$ . Но таков только луч $[AC)$ , значит $[AC'')=[AC)$ . Наконец, отрезок $[AC'']$ есть образ отрезка $[A'C']$ , значит $|AC''|=|A'C'|=|AC|$ . Но на луче $[AC)$ есть всего она точка на расстоянии $|AC|$ от $A$ , а именно $C$ . Значит, $C''=C$ . Итак, треугольники $AB''C''$ и $ABC$ совпадают. Значит, $A'B'C'$ и $ABC$ равны. $\square$

2-й признак равенства треугольников. Если $|AB|=|A'B'|$ , $\widehat{BAC}=\widehat{B'A'C'}$
и $\widehat{ABC}=\widehat{A'B'C'}$ , то треугольники $ABC$ и $A'B'C'$ равны (т.е. совмещаются наложением).

Доказательство. Пусть $\pi$ --- полуплоскость, на границе которой лежит $AB$ , содержащая точку $C$ ; $\pi'$ --- аналогичная для второго треугольника. Выполним наложение, при котором $\pi'$ переходит в $\pi$ , и $[A'B')$ -- в $[AB)$ . Пусть $B''$ и $C''$ --- образы
$B$ и $C$ при этом наложении. Тогда треугольники $A'B'C'$ и $AB''C''$ равны, и нам, аналогично предыдущему доказательству, достаточно показать, что $B''=B$ и $C''=C$ .

Точка $B''$ лежит на луче $[AB)$ , и $|AB''|=|A'B'|=|AB|$ , значит $B''=B$ . Луч $[AC'')$ --- образ луча $[A'C')$ . Он составляет с $[AB)$ тот же угол, что и $[A'C')$ с $[A'B')$ , т.е. угол $\widehat{B'A'C'}$ , что равно $\widehat{BAC}$ по условию. Кроме того, он лежит
в полуплоскости $\pi$ . Но такой луч ровно один, а именно $[AC)$ . Т.е., образ луча $[A'C')$ есть $[AC)$ . Аналогично, образ луча $[B'C')$ лежит в $\pi$ , и образует с лучом $[BA)$ угол $\widehat{C'B'A'}=\widehat{CBA}$ . Значит, он совпадает с $[BC)$ .

Точка $C'$ есть пересечение лучей $[A'C')$ и $[B'C')$ . Значит, ее образ $C''$ есть пересечение лучей $[AC)$ и $[BC)$ . А это есть $C$ . Значит, $C''=C$ .

(Ну и, конечно, поскольку $A'$ накладывается на $A$ и $C'$ на $C$ , то отрезок $[A'C']$ накладывается на $[AC]$ , и аналогично с оставшейся стороной $[BC]$ ).

Теорема о срединном перпендикуляре. Геометрическое место точек, равноудаленных от $A$ и $B$ , есть срединный перпендикуляр к $[AB]$ .

Доказательство. Допустим, что точка $C$ лежит на срединном перпендикуляре. Пусть $D$ --- середина отрезка $AB$ . Тогда $|AD|=|DB|$ , оба угла $ADC$ и $BDC$ --- прямые, и сторона $CD$ в треугольниках $ADC$ и $BDC$ общая. Значит треугольники $ADC$ и $BDC$ равны по 1-му признаку, откуда $|AC|=|BC|$ .

Докажем обратное: если $C$ равноудалена от $A$ и $B$ , то она лежит на срединном перпендикуляре. Пусть $[CM)$ --- биссектриса угла $ACB$ , и $E=[CM)\cap [AB]$ . Рассмотрим треугольники $AEC$ и $BEC$ . Сторона $[EC]$ в них общая; $\widehat{ACE}=\widehat{BCE}$ , так как
$[CM)$ --- биссектриса угла $ACB$ ; и $|AC|=|BC|$ по предположению. Значит, они равны по 1-му признаку. Отсюда, во-первых, $|AE|=|BE|$ , значит $E$ --- середина отрезка $[AB]$ . Во-вторых, углы $AEC$ и $BEC$ равны. Но в сумме они составляют развернутый угол, значит оба прямые. Значит $CE$ --- срединный перпендикуляр к $AB$ . $\square$

Теперь собственно третий признак.
Теорема. Если $|A'B'|=|AB|$ , $|A'C'|=|AC|$ , $|B'C'|=|BC|$ , то треугольники $ABC$ и $A'B'C'$ равны.

Доказательство. Рассуждая примерно как раньше, можем переместить треугольник
$A'B'C'$ так, чтобы $A'$ и $B'$ совпали с $A$ и $B$ соответственно, и $C'$ оказалась в той же полуплоскости относительно прямой $(AB)$ , что и $C$ . Короче, можно считать, что $A'=A$ , $B'=B$ , и осталось показать, что $C'=C$ .

Допустим противное, что $C'\ne C$ . Поскольку $|AC|=|AC'|$ , то $A$ равноудалена от $C$ и $C'$ . Значит, $A$ лежит на срединном перпендикуляре к $[CC']$ . Аналогично и $B$ лежит на том же перпендикуляре. Значит, этот перпендикуляр проходит через обе точки $A$ и $B$ , поэтому совпадает с прямой $(AB)$ . А значит, $C$ и $C'$ лежат по разные стороны от $(AB)$ . Но по построению они лежат по одну сторону, противоречие.
$\square$

Замечание. Тут можно было и без рассуждений от противного, если поместить $C'$ не в ту же полуплоскость, а в другую. Там чуть более длинное рассуждение, но на самом деле что в лоб, что по лбу.

А впрочем, если у Вас рассуждения от противного вызывают баттхёрт ... Короче, поместим $C'$
в другую полуплоскость. Опять-таки прямая $AB$ является срединным перпендикуляром к $[CC']$ (так же доказывается). Пусть $D=[CC']\cap(AB)$ , т.е. середина $[CC']$ . Тогда $ADC$ и $ADC'$ --- два прямоугольных треугольника, у которых катет $AD$ общий, а катеты $CD$ и $C'D$
равны. Значит они равны. Отсюда равенство углов $\wudehat{CAD}=\widehat{C'AD}$ .
Но $\widehat{CAD}=\widehat{CAB}$ . Значит, углы при вершине $A$ в треугольниках $ABC$ и $ABC'$ равны. Аналогично равны углы и при вершине $B$ . Поэтому $ABC$ и $ABC'$ равны по 2-му признаку.
$\square$

мат-ламер · 30/01/09 7385

Mihr в сообщении #1683232 писал(а):

Учебник не рассчитан на Вас. Он рассчитан на читателя 12-ти лет. Это очень существенное обстоятельство.

Разрешите всё же с вами не согласиться. Учебник Колмогорова не рассчитан на среднестатистического школьника 12-ти лет. Главное при его создании было - написать строгий логический замкнутый курс. Я тут как-то лекцию С.Савельева про образование смотрел. Он утверждает, что нынешние учебники не годятся для обучения. Вернуться надо к старым проверенным учебникам типа Киселёва. При всей логической нестрогости они были расчитаны именно на школьников, начиная от 12 лет.

Alex Krylov в сообщении #1682496 писал(а):

Вобще говоря, есть естественный путь человеческого ума.

Очень правильная мысль. Любой заинтересованный школьник может понять достаточно абстрактное изложение. Только для этого его надо сначала подготовить. Если человек придёт в тренажёрный зал и начнёт поднимать слишком тяжёлую для себя штангу, то он не получит ни пользу, ни удовольствие. Начинать поднимать веса надо постепенно с маленьких весов. И в 12 лет от строгого аксиоматического подхода будет только вред.

Прав или нет С.Савельев, я не знаю. Хочу разобраться. Пока должен признаться, у меня складывается впечатление, что он прав. И средний школьник от учебников Колмогорова, так и от более поздних, получит мало пользы. Эту мысль попробую подтвердить конкретными примерами.

пианист · 03/06/08 2434 МО

Anton_Peplov в сообщении #1681670 писал(а):

Не смог нагуглить, но в каком-то тексте тех времен я читал: мол, в жизнь каждого человека скоро придут ЭВМ, поэтому надо учить детей математической логике и вообще абстрактному мышлению, чтобы они могли эти ЭВМ программировать

Это, наверное, Колмогорова текст же.
Единственный текст Колмогорова с указанием цели реформы, который я смог найти. Кстати, похоже, многочисленных критиков этот вопрос (какую цель преследовал идеолог) вообще не интересовал.

Mihr · 18/09/14 5512

vpb, большое спасибо за столь подробный ответ.

vpb в сообщении #1683442 писал(а):

Наложим плоскость на себя так, чтобы $\pi'$ наложилось на $\pi$ , и $[A'B')$ на $[AB)$ . Образ точки $A'$ при этом наложении --- точка $A$ , образы точек $B'$ и $C'$ обозначим $B''$ и $C''$ соотвтственно. Треугольники $A'B'C'$ и $AB''C''$ , таким образом, равные.

Как я понял, под наложением Вы понимаете то, что Колмогоров называет движением.
Фраза "Треугольники $A'B'C'$ и $AB''C''$ , таким образом, равные" означает, что движение (наложение) сохраняет и углы. И это принимается без доказательства. То есть, Вы используете тот же подход, который принят в учебнике Атанасяна. Ничего не имею против. Всё же у меня нет ощущения, что это чем-то существенно лучше, чем подход Колмогорова. По этому поводу я уже говорил здесь. Повторяться нет смысла.
И я думаю, что вот это справедливо сказано:

Red_Herring в сообщении #1683157 писал(а):

С точки зрения использования школьной геометрии в дальнейших курсах (единственное что важно для подавляющего большинства учащихся) аксиоматика неважна. Поэтому лучше всего взять наиболее очевидную аксиоматику (ту, которая "очевидна") даже если она избыточна.

Сходная точка зрения высказана и в уже упоминавшемся в этой теме учебном пособии: А.В. Никулин, А.Г. Кукуш, Ю.С.Татаренко. Геометрия на плоскости. Минск, 1996. В предисловии (на странице 14) авторы пишут:

Цитата:

При изложении аксиоматики авторы не стремились ограничиться минимальным количеством аксиом. Считаем что при доказательстве теорем школьного курса геометрии нет необходимости концентрировать внимание на аксиомах, так как это приводит к смещению акцентов с развития геометрической интуиции на формальное совершенство приведенных доказательств. Поэтому лишь в самом начале в доказательствах делаются ссылки на соответствующие аксиомы. В дальнейшем широко используются геометрические построения, возможность выполнения которых можно обосновать с помощью приведенных аксиом.

Ещё раз спасибо за Ваш обстоятельный ответ.

Mihr · 18/09/14 5512