Еще раз о колмогоровской реформе

[vpb]

Mihr в сообщении #1683149 писал(а):

Это в принципе возможно?

Разумеется, возможно ! Это и в Киселеве доказывается, и в Атанасяне, и в Погорелове. В одном лишь уникальном, "логически стройном" Колмогорове принимается как постулат. Но, надо сказать, из трех признаков равенства треугольников этот самый сложный. Переписать сюда доказательство из Киселева или Атанасяна для меня никаких проблем, конечно, не составит (за исключением некоторой длины этого процесса).

-- 20.04.2025, 17:48 --

Mihr в сообщении #1683149 писал(а):

На те вопросы я, вроде, ответил. Замечаний от Вас тогда не последовало.

Это потому, что Вы тогда отвечали столь кратко, что у меня создалось впечатление, что Вы сам этот процесс хотите свернуть. И я не стал настаивать, чтоб не создавать излишнего напряжения.

-- 20.04.2025, 17:52 --

Да и переписывать из учебников мне ничего не надо. Могу и из головы сейчас написать, только некоторое время потребуется. Желаете ?

[Mihr]

vpb в сообщении #1683152 писал(а):

Могу и из головы сейчас написать, только некоторое время потребуется. Желаете ?

Спасибо. Как Вам удобнее. Ни на чём не настаиваю.

[Mihr]

vpb в сообщении #1683152 писал(а):

Это и в Киселеве доказывается, и в Атанасяне, и в Погорелове.

Посмотрел, как у Атанасяна. Третий признак равенства треугольников выводится с использованием свойства равнобедренного треугольника (углы при основании равны), а это свойство, в свою очередь, - из первого признака равенства треугольников. Доказательство же первого признака использует такие слова: "Каждый из этих треугольников можно наложить на другой так, что они полностью совместятся, т. е. попарно совместятся их вершины и стороны. Ясно, что при этом совместятся попарно и углы этих треугольников..." (выделение моё). Здесь как раз используется то обстоятельство, что движение сохраняет углы. О котором Вы писали, что доказать это в школе невозможно (я недавно цитировал). Чем тогда подход Атанасяна лучше/строже? Не проще ли и честнее третий признак равенства треугольников просто принять без доказательства (как "очевидный")?

[Red_Herring]

С точки зрения использования школьной геометрии в дальнейших курсах (единственное что важно для подавляющего большинства учащихся) аксиоматика неважна. Поэтому лучше всего взять наиболее очевидную аксиоматику (ту, которая "очевидна") даже если она избыточна.

[Mikhail_K]

Mihr
Ну, сохранение углов при движении (при "наложении") - гораздо более очевидный факт, чем третий признак равенства треугольников. Насколько я помню, у Атанасяна этот факт взят за аксиому, и это не вызывает никаких вопросов. А третий признак совсем не такой уж очевидный, по-моему.

[мат-ламер]

Mikhail_K в сообщении #1683159 писал(а):

Ну, сохранение углов при движении (при "наложении") - гораздо более очевидный факт, чем третий признак равенства треугольников.

Наверное можно себе это интуитивно объяснить тем, что при движении сохраняются площади любых фигур (в том числе параллелограммов). Последнее можно воспринимать как опытный факт - следует из наблюдений за движением твёрдого тела. Зеркальное отображение тоже это сохраняет.

[Mihr]

Red_Herring, полностью с Вами согласен.

Mikhail_K, наверно, интуиция разных людей в чём-то различна. Вроде, мой повседневный опыт говорит о том, что треугольник, составленный из жёстких стержней, - недеформируемая фигура (сразу приходит на ум кронштейн). Что и означает сохранение всех углов. Я "вижу" так.

vpb, читаю, как же там у Погорелова. Впечатление... трудновыразимое. По-моему, в целом у него всё-таки гораздо хуже, чем у Колмогорова. Чтобы не быть голословным и не цитировать много, привожу изображения страниц (картинки кликабельны).

Вложение:

1103 (Copy).jpg [ 143.3 Кб | Просмотров: 0 ]

Итак, третий признак равенства треугольника. Погорелов начинает доказывать его... от противного. Что вообще не очень-то желательно, а в самом начале курса геометрии - и подавно. Но это ладно. Дальше, как и Атанасяну, ему потребовалось одно из свойств равнобедренного треугольника. Но другое: совпадение медианы с высотой.
Ладно. Листаю назад, смотрю, как он устанавливает это свойство. А вот так:

Вложение:

1102 (Copy).jpg [ 97.03 Кб | Просмотров: 0 ]

Эта теорема, в свою очередь, отсылает нас ещё к двум теоремам: о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника и к первому признаку равенства треугольников. Листаю назад, ищу доказательство равенства углов при основании. Нашёл

Вложение:

1101 (Copy).jpg [ 52.07 Кб | Просмотров: 0 ]

Текст, который я обвёл красной рамкой, меня просто убил.
Погорелов. Доказывает. Семиклассникам. Что. Треугольник $CAB$. Равен. Треугольнику $CBA$.
Доказывает, ссылаясь на первый признак равенства треугольников. Остановите Землю!
Нет, как хотите, изложение Колмогорова в сравнении с изложением Погорелова - верх изящества и педагогической мудрости.

[мат-ламер]

Mihr в сообщении #1683165 писал(а):

Нет, как хотите, изложение Колмогорова в сравнении с изложением Погорелова - верх изящества и педагогической мудрости.

У Колмогова также есть моменты, достаточно сложные для неокрепшего детского ума. Итак, рассматриваем проблему равенства треугольников $ABC$ и $ACB$ . Определения треугольника у Колмогорова нет. Школьник должен догадаться, что это частный случай многоугольника для $n=3$ . Итак, простая замкнутая ломаная разбивает плоскость на две области - внутреннюю и внешнюю. Почему обязательно разбивает и как определить, какие точки будут относиться к внутренней области, а какие к внешней, школьнику оставляется на самостоятельное продумывание Треугольником, по-видимому, будет называться объект, состоящий из простой замкнутой ломаной (невырожденной), состоящей из трёх отрезков и множества точек, которые лежат внутри этой ломаной. Два треугольника называются конгруэнтными, если существует взаимно-однозначное отображение этих треугольников (то есть отображение как сторон ломаной так и множества внутренних точек), которое сохраняет расстояние. Доказать конгруэнтность наверное можно либо исходя из каких-то доказанных раннее признаков, либо прямо из определения. То есть надо указать явно это самое отображение, которое сохраняет расстояние. В шестом классе это сделать не так ужи просто (наверное можно применить барицентрические координаты) . Обязано ли при этом данное отображение быть взаимно-однозначным для всех точек треугольников - тоже большой вопрос для шестиклассника. Таким образом, напрямую доказать - не так уж и просто. Сейчас посмотрю, каким признаком равенства треугольников тут можно воспользоваться .

Посмотрел. Сначала предлагается для определения конгруэнтности фигур воспользоваться перемещением кальки на плоскости. В нашем случае это не получится. Кальку нужно поднять, перевернуть обратной стороной и снова опустить. Далее в пункте II.2.22.2 рассматривается задача построения треугольника по трём сторонам. Построить конечно можно. Только результат этого построения будет неединственный. Далее делается вывод, что все таким образом построенные треугольники будут конгруэнтны Отсюда уже делается вывод, что треугольники с конгруэнтными сторонами конгруэнтны.

Опять себя чувствую идиотом. Откуда тут следует конгруэнтность

Присоединяюсь к мнению vpb , что у Колмогорова много недоказанных утверждений. Причём читатель будет в замешательстве - то ли это лёгкое утверждение, которое он сам должен доказать. То ли это сложной утверждение, которое не доказывается именно по причине его сложности.

[пианист]

мат-ламер в сообщении #1683198 писал(а):

Определения треугольника у Колмогорова нет. Школьник должен догадаться, что это частный случай многоугольника для $n=3$ .

Вам приходилось сталкиваться с ситуацией, когда это кому-то создавало проблему?
Честно говоря, я просто не могу себе такого вообразить.

[drzewo]

пианист в сообщении #1683217 писал(а):

Вам приходилось сталкиваться с ситуацией, когда это кому-то создавало проблему?

Ну, если , скажем, надо доказать, что треугольник выпуклая фигура то определение не помешает

[пианист]

drzewo
Мы про среднюю школу сейчас говорим?

[drzewo]

как я помню, в Погорелове есть определение выпуклости, разве нет?

[пианист]

Не помню никаких упоминаний выпуклости в школе (в геометрии). Она просто имхо туда никак не вписывается.
Впрочем, неважно. Если учителю придет в голову спрашивать учеников, выпукл ли треугольник, знание формального определения треугольника вряд ли будет самым главным, что потребуется для ответа.

[Mihr]

мат-ламер в сообщении #1683198 писал(а):

Причём читатель будет в замешательстве

Это Вам лишь кажется. Попробуйте найти человека, который учился по Колмогорову, и который во время учёбы был в замешательстве именно за этой мнимой "сложности". Мне кажется, не найдёте.
Я учился по Колмогорову. Мне иногда приходилось задумываться над тем, что написано в учебнике. Но не в начале 6-го класса, уверяю. А в 7-м, 8-м, когда дело дошло до более-менее серьёзных теорем. То, что написано для шестиклассников, воспринималось легко. Никто из моих одноклассников и не задумывался, по-моему, над тем, что такое треугольник. Это было "и так ясно".
И vpb подтверждает, что, когда он был школьником, не было у него претензий к учебнику.
Поэтому то, о чём Вы сейчас пишете, мне представляется совершенно надуманной проблемой.

-- 21.04.2025, 12:22 --

пианист в сообщении #1683224 писал(а):

Не помню никаких упоминаний выпуклости в школе (в геометрии).

Мне помнится, всё-таки, разок было. Возможно, когда речь шла о формуле суммы внутренних углов (выпуклого) многоугольника. Но в дальнейшем понятие выпуклости, мне кажется, нигде и никогда не использовалось. Да и вообще, в школе рассматривались практически всегда выпуклые многоугольники.

[мат-ламер]

пианист в сообщении #1683217 писал(а):

мат-ламер в сообщении #1683198 писал(а):

Определения треугольника у Колмогорова нет. Школьник должен догадаться, что это частный случай многоугольника для $n=3$ .

Вам приходилось сталкиваться с ситуацией, когда это кому-то создавало проблему?
Честно говоря, я просто не могу себе такого вообразить.

Я не писал, что это когда-то кому-то создавало проблему. Я написал "школьник должен догадаться". Это нормально и в этом ничего плохого нет. Нужно ли в учебнике, где начинается строгость, давать строгое определение треугольника? Думаю, что нужно. По крайне мере, в других учебниках это делается (ну, или есть такая попытка). Наглядное представление о треугольнике школьник уже имеет. Однако, тут ему надо доказывать теоремы. Наглядное представление не позволяет чётко отличить, треугольники $ABC$ и $ACB$ - это вообще тождественные объекты или разные (хотя и конгруэнтные).

-- Пн апр 21, 2025 12:51:00 --

Mihr в сообщении #1683225 писал(а):

мат-ламер в сообщении #1683198 писал(а):

Причём читатель будет в замешательстве

Это Вам лишь кажется. Попробуйте найти человека, который учился по Колмогорову, и который во время учёбы был в замешательстве именно за этой мнимой "сложности". Мне кажется, не найдёте.

У меня нет в моём поле зрения людей, которые учились по Колмогорову. Я не считаю, что эти вопросы относятся к "мнимой сложности". Это что-то другое. Я отпишусь чуть позже. Я встречал многократно людей, которые вообще не понимали школьную геометрию в принципе. Не думаю, что это приводило их в замешательство или создавало какую-нибудь проблему для них.

Я написал "причём читатель будет в замешательстве". Конкретный пример такого читателя есть. Это лично я. Я считаю, что состояние "быть в замешательстве" - это не проблема. Это вообще нормальное состояние при изучении любой науки. И если всё идёт гладко - это плохой признак.