Еще раз о колмогоровской реформе

[Mihr]

мат-ламер в сообщении #1683227 писал(а):

Конкретный пример такого читателя есть. Это лично я.

Неподходящий вариант. Учебник не рассчитан на Вас. Он рассчитан на читателя 12-ти лет. Это очень существенное обстоятельство.

-- 21.04.2025, 13:13 --

мат-ламер в сообщении #1683227 писал(а):

У меня нет в моём поле зрения людей, которые учились по Колмогорову.

Если реально интересно, можно создать опрос. (Не обязательно на этом форуме. На любом.)

[пианист]

(Оффтоп)

мат-ламер

Колобки писал(а):

Ни-чего не понимаю!

;)

[мат-ламер]

Mihr в сообщении #1683232 писал(а):

Неподходящий вариант. Учебник не рассчитан на Вас. Он рассчитан на читателя 12-ти лет. Это очень существенное обстоятельство.

Вашу мысль категорически не понял. Учебник Погорелова на вас рассчитан? Доказательство равенства неких треугольников вызвало у вас замешательство или нет:

Mihr в сообщении #1683165 писал(а):

Текст, который я обвёл красной рамкой, меня просто убил.
Погорелов. Доказывает. Семиклассникам. Что. Треугольник $CAB$. Равен. Треугольнику $CBA$.
Доказывает, ссылаясь на первый признак равенства треугольников. Остановите Землю!

Думаю, что какое-то замешательство всё-таки вызвал. Это нормально. Ровно таким же образом у меня вызвало замешательство и чтение учебника Колмогорова. Это тоже нормально. И в чём тут между нами разница - я не понял.

Однако школьники были не единственными читателями учебника Колмогорова. Я думаю, что лично моё замешательство или чьё-то одобрение в качестве оценки учебника решающего значения не имеют. Возникли объективные трудности по внедрению этих учебников. И я думаю, что если бы их не было, то дела развивались бы по-другому. Учебники бы переработали. Может быть самим авторским коллективом. Может другие авторы взяли бы эти учебники за основу и написали бы свои в том же духе. Но этого не произошло.

Читателей учебников можно разделить на несколько группы. Первая - немногочисленная группа школьников, которая всё же пыталась в учебниках понять нюансы и что из чего следует. Я думаю, что эта группа на дальнейшее течение дел влияние не оказала. Вторая группа - учителя, которые в ВУЗе ничего похожего не проходили и реально пытались понять то, чему они должны быть учить школьников. Они подняли некоторое возмущение. Третья группа - лекторы педвузов, которых обязали провести занятия с учителями, чтобы им что-то объяснить. Можно предположить, что возмущение потихоньку шло вверх и уже вопрос стал рассматриваться на заседании Академии наук СССР. И я думаю, что для того, чтобы решить, куда дальше двигаться в области преподавания геометрии, учебник был прочитан и изучен многими читателями, на которых этот учебник рассчитан не был. Поэтому, когда я употребляю слово "читатель", это не означает, что это школьник. Это может быть учёный, от кого реально зависит политика в образовании.

[Mihr]

мат-ламер в сообщении #1683235 писал(а):

Доказательство равенства неких треугольников вызвало у вас замешательство или нет

Да, вызвало. Но не тем, что оно непонятно мне. Мне оно понятно. А тем, что его очень трудно внятно изложить в школе именно так, как написано в учебнике. Мой опыт подсказывает: большинство школьников практически ничего не поймёт.

мат-ламер в сообщении #1683235 писал(а):

И в чём тут между нами разница - я не понял.

В том, что я немало лет проработал со школьниками. А вы, если я правильно себе представляю, не работали с ними вообще.

Возможно, с Вашей точки зрения это неважно. Если так, спорить не стану.

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1683198 писал(а):

Треугольником, по-видимому, будет называться объект, состоящий из простой замкнутой ломаной (невырожденной), состоящей из трёх отрезков и множества точек, которые лежат внутри этой ломаной.

Тут я сильно затупил. По Колмогорову это всё же объединение множества точек замкнутой ломаной и множества точек внутренности. Поэтому треугольники $ABC$ и $ACB$ - один и тот же объект, поскольку состоят из одних и тех же точек. Поэтому вопрос о конгруэнтности тут отпадает. Интересно, что у Погорелова и Атанасяна всё не так.

-- Пн апр 21, 2025 16:26:25 --

мат-ламер в сообщении #1683198 писал(а):

Далее в пункте II.2.22.2 рассматривается задача построения треугольника по трём сторонам. Построить конечно можно. Только результат этого построения будет неединственный. Далее делается вывод, что все таким образом построенные треугольники будут конгруэнтны Отсюда уже делается вывод, что треугольники с конгруэнтными сторонами конгруэнтны.

Опять себя чувствую идиотом. Откуда тут следует конгруэнтность

Тем не менее, этот вопрос остаётся. Да, способ построения есть. Да, при всех способах построения получаем треугольники с равными сторонами. Откуда всё же следует, что все полученные треугольники конгруэнтны?

[мат-ламер]

Mihr в сообщении #1683237 писал(а):

В том, что я немало лет проработал со школьниками. А вы, если я правильно себе представляю, не работали с ними вообще.

Возможно, с Вашей точки зрения это неважно. Если так, спорить не стану.

Уважаемый Mihr! О важности этого вопроса я не задумывался. Вам виднее. Со школьниками работал. Но не как профессиональный педагог. В нашей конторе есть кружок для школьников. Но занимаемся мы с ними не математикой, а программированием. Школьников сейчас особо математика не интересует. Но программирование у нас часто связано с геометрией. А компьютер, в отличие от школьников, не обманешь. И какая точка треугольника является внутренняя к нему, а какая наружная - ему ещё надо объяснить. И треугольник $ABC$ у него для начала не равен треугольнику $ACB$ . И должен ли он вообще тут быть равным - большой вопрос. Так что к геометрии некоторый интерес у меня есть. Правда, больше к компьютерной, чем к школьной. А к образованию у меня интерес вызван тем, что у школьников, которые к нам ходят, есть трудности, в частности, с геометрией. Более того, как я тут посмотрел кое-какие ролики по Интернету, так оказывается с этим реально есть глобальная проблема. Но об этом позже. Удивлён, что мои посты насчёт конгруэнции треугольников вызвали такой бурный всплеск эмоций.

[мат-ламер]

Загадочным выглядит следующий кусок из лекции Тихомирова (ученика Колмогорова). Он сам как-то спросил у Колмогорова, а какой смысл в этой программе по геометрии? Колмогоров ему ответил типа, погоди, ещё не время. Придёт время всё прояснится. Но время так и не пришло. Причём Тихомиров в том числе и геометр. По крайней мере, книгу по геометрии написал.

Встаёт вопрос. То ли Колмогоров был уверен, что у него в курсе всё идеально. Просто его не понимают. То ли Колмогоров уже почувствовал, что в его курсе что-то не так фундаментально. Дело не в некотором количестве дыр, которые можно было залатать. Хотя бы в дополнительных пособиях для учителей. Дело в принципиальном подходе.

Претензии вызвал, например, теоретико-множественный подход. Треугольник у Колмогорова - это множество точек на плоскости (в которое входит и внутренность треугольника). Обычно в книгах треугольник - это совокупность вершин и сторон. Понимание того, что треугольник - это множество точек, с одной стороны упрощает. Не надо доказывать конгруэнтность треугольников $ABC$ и $ACB$ . А с другой стороны возникают непонятки - как доказать конгруэнтность двух треугольников, у которых равны стороны. Может человеку тут всё понятно. А поди-ка ты объясни это дело компьютеру. Ему нужно эту конгруэнцию (отображение) представить в явном виде. Методами аналитической геометрии в координатах я представляю, как это сделать. А как иначе, не знаю.

-- Пн апр 21, 2025 19:07:08 --

Я тут на учебник Базылева для педфаков ссылался. Решил посмотреть, а что же там насчёт треугольников? И не нашёл ничего. Выкрутились.

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1683243 писал(а):

Тем не менее, этот вопрос остаётся. Да, способ построения есть. Да, при всех способах построения получаем треугольники с равными сторонами. Откуда всё же следует, что все полученные треугольники конгруэнтны?

Немножко продвинулся в понимании этого вопроса. Итак, у нас есть два треугольника $ABC$ и $A'B'C'$ с одинаковыми длинами сторон. Сначала совмещаем точку $A$ и точку $A'$ . Далее вращаем треугольник $A'B'C'$ вокруг точки $A'$ до тех пор, пока не совпадут точки $B$ и $B'$ . Далее, вокруг точки $A$ описываем окружность радиуса $|AC|$ . Далее, вокруг точки $B$ описываем окружность радиуса $|BC|$ . Эти окружности пересекаются в двух точках. (Была теорема без доказательства). Точки $C$ и $C'$ принадлежат этому множеству из двух точек. Тут возможно два варианта. Первый - точки $C$ и $C'$ совпадают. Тогда всё доказано. Вариант второй - точки $C$ и $C'$ не совпадают. Тогда мы меняем ориентацию треугольника $A'B'C'$ - берём его зеркальное отражение относительно прямой, проходящей через отрезок $AB$ . Осталось доказать, что после такой процедуры точки $C$ и $C'$ совпадут (но не может ведь точка $C'$ остаться на месте). Но что-то это сильно длинней, чем у Колмогорова.

Тут ещё используется скрытая лемма - если у треугольниках вершины совпадают, то и совпадают и множества всех остальных точек - точек на сторонах и внутренних точек. Но это как-бы следует из того, что множество точек треугольника есть выпуклая оболочка его вершин. Пишу "как-бы", поскольку эта тема в учебнике не раскрыта.

[Ende]

Тазик грязного белья отделен и закрыт.

Alex Krylov
Хотите говорить о колмогоровской реформе - говорите о реформе. Цитируйте и критикуйте учебники или хоть рецензии на учебники. Приводите сведения об уровне подготовке школьников разных лет. Кадры, конечно, решают все, но копаться в грязном белье давно умерших людей, тем более не проводивших непосредственно эту реформу - некрасиво. Поэтому заканчивайте. Считайте это требованием модератора.

[vpb]

Mihr
Как и обещался, пишу доказательство третьего признака.

(Оффтоп)

несколько дней на это времени не хватало. А точнее, увлеченно занимался своей основной работой,
за которую мне деньги платят (или, правильнее сказать, в связи с которой я получаю жалованье). А к концу дня уже так голова опухала, что ни до чего было.

Ну, вспомним классику.
1-й признак равенства треугольников. Если $|AB|=|A'B'|$ и $|AC|=|A'C'|$, и
$\widehat{BAC}=\widehat{B'A'C'}$, то треугольники $ABC$ и $A'B'C'$ равны.

Доказательство. Пусть $\pi$ --- та полуплоскость, из двух, на границе которых лежит луч $[AB)$, которая содержит $C$; $\pi'$ --- аналогичная полуплоскость для второго треугольника. Наложим плоскость на себя так, чтобы $\pi'$ наложилось на $\pi$, и $[A'B')$ на $[AB)$. Образ точки $A'$ при этом наложении --- точка $A$, образы точек $B'$ и $C'$ обозначим $B''$ и $C''$ соотвтственно. Треугольники $A'B'C'$ и $AB''C''$, таким образом, равные.

Точка $B''$ лежит на образе луча $[A'B')$, т.е. на $[AB)$, и $|AB''|=|A'B'|=|AB|$. Значит, $B''=B$. Образ луча $[A'C')$ --- луч $[AC'')$. Он лежит в полуплоскости $\pi$, и составляет с лучом $[AB)=[AB'')$ угол, равный $\widehat{B'A'C'}$, т.е. $\widehat{BAC}$. Но таков только луч $[AC)$, значит $[AC'')=[AC)$. Наконец, отрезок $[AC'']$ есть образ отрезка $[A'C']$, значит $|AC''|=|A'C'|=|AC|$. Но на луче $[AC)$ есть всего она точка на расстоянии $|AC|$ от $A$, а именно $C$. Значит, $C''=C$. Итак, треугольники $AB''C''$ и $ABC$ совпадают. Значит, $A'B'C'$ и $ABC$ равны. $\square$

2-й признак равенства треугольников. Если $|AB|=|A'B'|$, $\widehat{BAC}=\widehat{B'A'C'}$
и $\widehat{ABC}=\widehat{A'B'C'}$, то треугольники $ABC$ и $A'B'C'$ равны (т.е. совмещаются наложением).

Доказательство. Пусть $\pi$ --- полуплоскость, на границе которой лежит $AB$, содержащая точку $C$; $\pi'$ --- аналогичная для второго треугольника. Выполним наложение, при котором $\pi'$ переходит в $\pi$, и $[A'B')$ -- в $[AB)$. Пусть $B''$ и $C''$ --- образы
$B$ и $C$ при этом наложении. Тогда треугольники $A'B'C'$ и $AB''C''$ равны, и нам, аналогично предыдущему доказательству, достаточно показать, что $B''=B$ и $C''=C$.

Точка $B''$ лежит на луче $[AB)$, и $|AB''|=|A'B'|=|AB|$, значит $B''=B$. Луч $[AC'')$ --- образ луча $[A'C')$. Он составляет с $[AB)$ тот же угол, что и $[A'C')$ с $[A'B')$, т.е. угол $\widehat{B'A'C'}$, что равно $\widehat{BAC}$ по условию. Кроме того, он лежит
в полуплоскости $\pi$. Но такой луч ровно один, а именно $[AC)$. Т.е., образ луча $[A'C')$ есть $[AC)$. Аналогично, образ луча $[B'C')$ лежит в $\pi$, и образует с лучом $[BA)$ угол $\widehat{C'B'A'}=\widehat{CBA}$. Значит, он совпадает с $[BC)$.

Точка $C'$ есть пересечение лучей $[A'C')$ и $[B'C')$. Значит, ее образ $C''$ есть пересечение лучей $[AC)$ и $[BC)$. А это есть $C$. Значит, $C''=C$.

(Ну и, конечно, поскольку $A'$ накладывается на $A$ и $C'$ на $C$, то отрезок $[A'C']$ накладывается на $[AC]$, и аналогично с оставшейся стороной $[BC]$).


Теорема о срединном перпендикуляре. Геометрическое место точек, равноудаленных от $A$ и $B$, есть срединный перпендикуляр к $[AB]$.

Доказательство. Допустим, что точка $C$ лежит на срединном перпендикуляре. Пусть $D$ --- середина отрезка $AB$. Тогда $|AD|=|DB|$, оба угла $ADC$ и $BDC$ --- прямые, и сторона $CD$ в треугольниках $ADC$ и $BDC$ общая. Значит треугольники $ADC$ и $BDC$ равны по 1-му признаку, откуда $|AC|=|BC|$.

Докажем обратное: если $C$ равноудалена от $A$ и $B$, то она лежит на срединном перпендикуляре. Пусть $[CM)$ --- биссектриса угла $ACB$, и $E=[CM)\cap [AB]$. Рассмотрим треугольники $AEC$ и $BEC$. Сторона $[EC]$ в них общая; $\widehat{ACE}=\widehat{BCE}$, так как
$[CM)$ --- биссектриса угла $ACB$; и $|AC|=|BC|$ по предположению. Значит, они равны по 1-му признаку. Отсюда, во-первых, $|AE|=|BE|$, значит $E$ --- середина отрезка $[AB]$. Во-вторых, углы $AEC$ и $BEC$ равны. Но в сумме они составляют развернутый угол, значит оба прямые. Значит $CE$ --- срединный перпендикуляр к $AB$. $\square$


Теперь собственно третий признак.
Теорема. Если $|A'B'|=|AB|$, $|A'C'|=|AC|$, $|B'C'|=|BC|$, то треугольники $ABC$ и $A'B'C'$ равны.

Доказательство. Рассуждая примерно как раньше, можем переместить треугольник
$A'B'C'$ так, чтобы $A'$ и $B'$ совпали с $A$ и $B$ соответственно, и $C'$ оказалась в той же полуплоскости относительно прямой $(AB)$, что и $C$. Короче, можно считать, что $A'=A$, $B'=B$, и осталось показать, что $C'=C$.

Допустим противное, что $C'\ne C$. Поскольку $|AC|=|AC'|$, то $A$ равноудалена от $C$ и $C'$. Значит, $A$ лежит на срединном перпендикуляре к $[CC']$. Аналогично и $B$ лежит на том же перпендикуляре. Значит, этот перпендикуляр проходит через обе точки $A$ и $B$, поэтому совпадает с прямой $(AB)$. А значит, $C$ и $C'$ лежат по разные стороны от $(AB)$. Но по построению они лежат по одну сторону, противоречие.
$\square$

Замечание. Тут можно было и без рассуждений от противного, если поместить $C'$ не в ту же полуплоскость, а в другую. Там чуть более длинное рассуждение, но на самом деле что в лоб, что по лбу.

А впрочем, если у Вас рассуждения от противного вызывают баттхёрт ... Короче, поместим $C'$
в другую полуплоскость. Опять-таки прямая $AB$ является срединным перпендикуляром к $[CC']$ (так же доказывается). Пусть $D=[CC']\cap(AB)$, т.е. середина $[CC']$. Тогда $ADC$ и $ADC'$ --- два прямоугольных треугольника, у которых катет $AD$ общий, а катеты $CD$ и $C'D$
равны. Значит они равны. Отсюда равенство углов $\wudehat{CAD}=\widehat{C'AD}$.
Но $\widehat{CAD}=\widehat{CAB}$. Значит, углы при вершине $A$ в треугольниках $ABC$ и $ABC'$ равны. Аналогично равны углы и при вершине $B$. Поэтому $ABC$ и $ABC'$ равны по 2-му признаку.
$\square$

[мат-ламер]

Mihr в сообщении #1683232 писал(а):

Учебник не рассчитан на Вас. Он рассчитан на читателя 12-ти лет. Это очень существенное обстоятельство.

Разрешите всё же с вами не согласиться. Учебник Колмогорова не рассчитан на среднестатистического школьника 12-ти лет. Главное при его создании было - написать строгий логический замкнутый курс. Я тут как-то лекцию С.Савельева про образование смотрел. Он утверждает, что нынешние учебники не годятся для обучения. Вернуться надо к старым проверенным учебникам типа Киселёва. При всей логической нестрогости они были расчитаны именно на школьников, начиная от 12 лет.

Alex Krylov в сообщении #1682496 писал(а):

Вобще говоря, есть естественный путь человеческого ума.

Очень правильная мысль. Любой заинтересованный школьник может понять достаточно абстрактное изложение. Только для этого его надо сначала подготовить. Если человек придёт в тренажёрный зал и начнёт поднимать слишком тяжёлую для себя штангу, то он не получит ни пользу, ни удовольствие. Начинать поднимать веса надо постепенно с маленьких весов. И в 12 лет от строгого аксиоматического подхода будет только вред.

Прав или нет С.Савельев, я не знаю. Хочу разобраться. Пока должен признаться, у меня складывается впечатление, что он прав. И средний школьник от учебников Колмогорова, так и от более поздних, получит мало пользы. Эту мысль попробую подтвердить конкретными примерами.

[пианист]

Anton_Peplov в сообщении #1681670 писал(а):

Не смог нагуглить, но в каком-то тексте тех времен я читал: мол, в жизнь каждого человека скоро придут ЭВМ, поэтому надо учить детей математической логике и вообще абстрактному мышлению, чтобы они могли эти ЭВМ программировать

Это, наверное, Колмогорова текст же.
Единственный текст Колмогорова с указанием цели реформы, который я смог найти. Кстати, похоже, многочисленных критиков этот вопрос (какую цель преследовал идеолог) вообще не интересовал.

[Mihr]

vpb, большое спасибо за столь подробный ответ.

vpb в сообщении #1683442 писал(а):

Наложим плоскость на себя так, чтобы $\pi'$ наложилось на $\pi$, и $[A'B')$ на $[AB)$. Образ точки $A'$ при этом наложении --- точка $A$, образы точек $B'$ и $C'$ обозначим $B''$ и $C''$ соотвтственно. Треугольники $A'B'C'$ и $AB''C''$, таким образом, равные.

Как я понял, под наложением Вы понимаете то, что Колмогоров называет движением.
Фраза "Треугольники $A'B'C'$ и $AB''C''$, таким образом, равные" означает, что движение (наложение) сохраняет и углы. И это принимается без доказательства. То есть, Вы используете тот же подход, который принят в учебнике Атанасяна. Ничего не имею против. Всё же у меня нет ощущения, что это чем-то существенно лучше, чем подход Колмогорова. По этому поводу я уже говорил здесь. Повторяться нет смысла.
И я думаю, что вот это справедливо сказано:

Red_Herring в сообщении #1683157 писал(а):

С точки зрения использования школьной геометрии в дальнейших курсах (единственное что важно для подавляющего большинства учащихся) аксиоматика неважна. Поэтому лучше всего взять наиболее очевидную аксиоматику (ту, которая "очевидна") даже если она избыточна.

Сходная точка зрения высказана и в уже упоминавшемся в этой теме учебном пособии: А.В. Никулин, А.Г. Кукуш, Ю.С.Татаренко. Геометрия на плоскости. Минск, 1996. В предисловии (на странице 14) авторы пишут:

Цитата:

При изложении аксиоматики авторы не стремились ограничиться минимальным количеством аксиом. Считаем что при доказательстве теорем школьного курса геометрии нет необходимости концентрировать внимание на аксиомах, так как это приводит к смещению акцентов с развития геометрической интуиции на формальное совершенство приведенных доказательств. Поэтому лишь в самом начале в доказательствах делаются ссылки на соответствующие аксиомы. В дальнейшем широко используются геометрические построения, возможность выполнения которых можно обосновать с помощью приведенных аксиом.

Ещё раз спасибо за Ваш обстоятельный ответ.

[Mihr]

мат-ламер в сообщении #1683473 писал(а):

Учебник Колмогорова не рассчитан на среднестатистического школьника 12-ти лет.

Именно на такого школьника учебник и был рассчитан. Именно в расчёте на него и писался. Возможно, Вы хотите сказать, что цели своей авторы не достигли? Тут возможны разные мнения, но, в любом случае, это уже иной вопрос.

мат-ламер в сообщении #1683473 писал(а):

Главное при его создании было - написать строгий логический замкнутый курс.

Сомневаюсь. Это едва ли вообще возможно. И едва ли авторы учебника этого не понимали. Причём не только в отношении учебника геометрии, но также алгебры и начал анализа.
Помню, что в учебнике алгебры и начал анализа встречалась ссылка на теорему Лагранжа с честной оговоркой "доказательство теоремы Лагранжа далеко выходит за пределы школьного курса". Не думаю, что нечто подобное встретилось бы в учебнике, авторы которого стремились бы к логической завершённости и замкнутости.

мат-ламер в сообщении #1683473 писал(а):

Вернуться надо к старым проверенным учебникам типа Киселёва.

Невозможно бесконечно топтаться на одном месте. Как бы хорош ни был учебник, рано или поздно наступает момент, когда его невозможно далее модернизировать, нужно переходить к чему-то существенно более новому. Нельзя бесконечно цепляться за Фихтенгольца в курсе матанализа. И за Киселёва в школьной геометрии.

мат-ламер в сообщении #1683473 писал(а):

И средний школьник от учебников Колмогорова, так и от более поздних, получит мало пользы.

Помилуйте! Учебник Колмогоров - плохой, и все, написанные после Колмогорова - тоже плохие?! Не слишком ли?

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1683473 писал(а):

Главное при его создании было - написать строгий логический замкнутый курс.

Mihr в сообщении #1683552 писал(а):

Сомневаюсь. Это едва ли вообще возможно. И едва ли авторы учебника этого не понимали.

Я понял, что в своей лекции Тихомиров именно это имел и в виду. Но это догадка самого Тихомирова. Что имел в виду сам Колмогоров - Тихомирову он так и не рассказал. Какие-то намёки были в лекции Колмогорова, ссылку на которую привёл пианист . Колмогоров говорил, что мы будем общаться с компьютером. А для него недостаточен тот уровень строгости, который был принят тогда в школе. И тут вопрос - поймёт ли компьютер, что такое внутренность многоугольника, по определениям из учебника Колмогорова?

мат-ламер в сообщении #1683473 писал(а):

Я тут как-то лекцию С.Савельева про образование смотрел. Он утверждает, что нынешние учебники не годятся для обучения. Вернуться надо к старым проверенным учебникам типа Киселёва.

Mihr в сообщении #1683552 писал(а):

Невозможно бесконечно топтаться на одном месте. Как бы хорош ни был учебник, рано или поздно наступает момент, когда его невозможно далее модернизировать, нужно переходить к чему-то существенно более новому. Нельзя бесконечно цепляться за Фихтенгольца в курсе матанализа. И за Киселёва в школьной геометрии.

Это мнение С.Савельева. Я его мысли в этом не разделяю. У него вообще очень много спорных (и даже вздорных) мыслей. Но тут его мнение разделяет и некоторые уважаемые люди. Например, Арнольд.

мат-ламер в сообщении #1683473 писал(а):

Учебник Колмогорова не рассчитан на среднестатистического школьника 12-ти лет.

Mihr в сообщении #1683552 писал(а):

Именно на такого школьника учебник и был рассчитан. Именно в расчёте на него и писался.

Слово "рассчитан" происходит от слова "расчёт". А был ли он? Как говорил всё тот же С.Савельев, в педагогике существовали подтверждённые долгим опытом понятия, что и в каком возрасте школьник (средний) может усвоить. Так эти понятия в расчёт брать не стали.

мат-ламер в сообщении #1683473 писал(а):

И средний школьник от учебников Колмогорова, так и от более поздних, получит мало пользы.

мат-ламер в сообщении #1683473 писал(а):

Эту мысль попробую подтвердить конкретными примерами.

мат-ламер в сообщении #1683473 писал(а):

Хочу разобраться.

Mihr в сообщении #1683552 писал(а):

Помилуйте! Учебник Колмогоров - плохой, и все, написанные после Колмогорова - тоже плохие?! Не слишком ли?

Насчёт всех я не думаю. Есть учебники, написанные именно для ученика. Например, учебник Шарыгина. А насчёт наиболее часто упоминаемых Погорелова и Атанасяна, есть вопросы. Они пытаются внедрить полную строгость там, где её быть не должно. Например, у Погорелова для семиклассников вы увидели доказательство того, что треугольник $ABC$ равен треугольнику $ACB$ .