Задача на след

[PhysicsEnjoyer]

Показать что имеет место равенство
$ \operatorname{Tr}(\frac{\partial}{\partial \lambda} \exp(\lambda \hat{A}+\hat{B})) = \operatorname{Tr} (\hat{A}\exp(\lambda \hat{A} + \hat{B})) $
Где $\hat{A}$ и $\hat{B}$ - произвольные матрицы (одного и того же ранга)
Указание. Для доказательства следует разложить экспоненту в ряд и после дифференциирования сравнить члены с одинаковыми степенями $\lamdba$

Думаю что тут нужно использовать то что при взятии следа можно использовать коммутативность $ \operatorname{Tr(\hat{A}\hat{B})} = \operatorname{Tr(\hat{B}\hat{A})} $, и тогда разлагать выражения по типу $(\lambda \hat{A} + \hat{B})^n$ по биному Ньютона. Но членов даже по первой степени $\lambda$ кажется бесконечно поэтому не понимаю как решить. И обязательно ли тут матрицы конечного размера ?

[drzewo]

PhysicsEnjoyer в сообщении #1680985 писал(а):

Показать что имеет место равенство
$ \operatorname{Tr}(\frac{\partial}{\partial \lambda} \exp(\lambda \hat{A}+\hat{B})) = \operatorname{Tr} (\hat{A}(\lambda \hat{A} + \hat{B})) $

а это просто неверно

[PhysicsEnjoyer]

drzewo
Исправил

[Red_Herring]

PhysicsEnjoyer в сообщении #1680995 писал(а):

Исправил

И это верно лишь при некотором условии. Сами подумайте, каком.

[PhysicsEnjoyer]

Red_Herring
Размерность матриц конечна ? Или если и бесконечна, то что бы след сходился к какому-то числу ?

[drzewo]

откуда дровишки, если не секрет, Блохинцев очередной?

[Red_Herring]

PhysicsEnjoyer в сообщении #1681009 писал(а):

Размерность матриц конечна ?

Не нужно и недостаточно.

drzewo в сообщении #1681031 писал(а):

Блохинцев очередной?

Наверно собственные фантазии на пороге великого открытия.

[PhysicsEnjoyer]

drzewo
Галицкий Карнаков Коган
Задача 1.9 (1991 год)

(Ну там в каких-то издании $ \operatorname{Tr}$, $\frac{\partial }{\partial \lambda}$ меняют местами)
Red_Herring
Чужие открытия себе не присваиваю

[Cos(x-pi/2)]

В книге "Задачи по квантовой механике" (В.М. Галицкий, Б.М. Карнаков, В.И. Коган) в издании 1992 года задача 1.9 сформулирована так:

"Показать, что имеет место равенство

$$\frac{\partial}{\partial \lambda}\, \operatorname{Sp} \,(\exp (\lambda\hat{A}+\hat{B}))=\operatorname{Sp}\,(\hat{A}\exp (\lambda\hat{A}+\hat{B})),$$

где $\hat{A}$ и $\hat{B}$ - произвольные матрицы (одного и того же ранга). Существенно ли взятие следа матриц в этом соотношении?"

[lel0lel]

Коммутативность матриц здесь не нужна, под следом можно циклически их переставлять. Также, след суммы равен сумме следов. Размерность, как выше написано, нужно ограничить, чтобы бесконечности при некотором $\lambda$ не возникали. Или наложить требование, что все следы существуют. Раскладывать экспоненту в ряд, записать след как сумму следов отдельных слагаемых. При дифференцировании по Лейбницу постоянно матрицу А "протаскивать" под следом влево. Потом обратно собрать все слагаемые в один след. Матрица А так и останется слева, справа будет ряд экспоненты.

[PhysicsEnjoyer]

Cos(x-pi/2)

Да, просто в английском издании $\operatorname{Tr}$ написан первее производной, я на него опираюсь. Не думаю что это важно
Насчет второй части вопроса, я ее не писал т.к. ответ очевиден, взятие следа существенно, его можно не брать только в том случае если матрицы коммутируют.

-- 04.04.2025, 14:58 --

lel0lel в сообщении #1681059 писал(а):

Коммутативность матриц здесь не нужна, под следом можно циклически их переставлять

Да, это я тут и имел ввиду

PhysicsEnjoyer в сообщении #1680985 писал(а):

использовать коммутативность $ \operatorname{Tr(\hat{A}\hat{B})} = \operatorname{Tr(\hat{B}\hat{A})} $

lel0lel в сообщении #1681059 писал(а):

При дифференцировании по Лейбницу

Дифференциирование по Лейбницу значит производную сложной функции или n-я производная произведения ?

-- 04.04.2025, 15:01 --

Просто мне кажется там нужно просто в бином ньютона расскладывать (это можно сделать из-за коммутативность под знаком операции следа) и ни то ни то не нужно

-- 04.04.2025, 15:03 --

lel0lel
У меня основной вопрос такой: Там перед каждым $\lambda^k$ будет стоять бесконечная сумма из коэфициентов ?

[lel0lel]

Производная по лямбда произведения n сомножителей, той самой n-ой степени. Просто не нарушаем коммутативность, пока дифференцируем, а затем вспомним про то, что все получившиеся слагаемые стоят внутри оператора след. Сейчас приеду домой, напишу подробнее.

[PhysicsEnjoyer]

lel0lel
Понял. Да, если у меня взятие следа самая последняя операция то коммутативность еще нельзя нарушать при дифференциировании.

-- 04.04.2025, 15:11 --

lel0lel

(Оффтоп)

А правило Лейбница работает даже при некоммутативности ?) Если да то как доказать

[drzewo]

lel0lel в сообщении #1681059 писал(а):

Коммутативность матриц здесь не нужна, под следом можно циклически их переставлять. Также, след суммы равен сумме следов. Размерность, как выше написано, нужно ограничить, чтобы бесконечности при некотором $\lambda$ не возникали. Или наложить требование, что все следы существуют. Раскладывать экспоненту в ряд, записать след как сумму следов отдельных слагаемых. При дифференцировании по Лейбницу постоянно матрицу А "протаскивать" под следом влево. Потом обратно собрать все слагаемые в один след. Матрица А так и останется слева, справа будет ряд экспоненты.

Т.е. Вы доказали, что $\mathrm{tr}\,e^{A+B}=\mathrm{tr}\,(e^Ae^B)$. Вот тут
https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_exponential
написано, что это неверно.

[Red_Herring]

Да, след меняет все. Без следа правильная формула

$$\frac{\partial}{\partial \lambda } e^{A(\lambda)t} = \int_0^t e^{A(\lambda)s}\bigl(\frac{\partial}{\partial \lambda } A(\lambda)\bigr) e^{A(\lambda)(t-s)}\,ds $$

, а применяя след

$$\frac{\partial}{\partial \lambda } e^{A(\lambda)t} = \int_0^t \bigl(\frac{\partial}{\partial \lambda } A(\lambda)\bigr) e^{A(\lambda)(t-s)}e^{A(\lambda)s}\,ds .$$

С неограниченными операторами все сложнее.