Задача на след

[lel0lel]

drzewo в сообщении #1681074 писал(а):

Т.е. Вы доказали, что $\mathrm{tr}\,e^{A+B}=\mathrm{tr}\,(e^Ae^B)$. Вот тут
https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_exponential
написано, что это неверно.

Ничего подобного не доказывал. Только $\operatorname{Tr} \frac{\partial}{\partial \lambda}(\lambda\hat{A}+\hat{B})^n=\operatorname{Tr}\left( n\hat{A}(\lambda\hat{A}+\hat{B})^{n-1}\right)$. Поскольку $\operatorname{Tr} \frac{\partial}{\partial \lambda}\left((\lambda\hat{A}+\hat{B})(\lambda\hat{A}+\hat{B})\right)=\operatorname{Tr} \left(\hat{A}(\lambda\hat{A}+\hat{B})+(\lambda\hat{A}+\hat{B})\hat{A})\right)=\operatorname{Tr} \left(2\hat{A}(\lambda\hat{A}+\hat{B})\right)$.

$\frac{\partial}{\partial \lambda}\left((\lambda\hat{A}+\hat{B})(\lambda\hat{A}+\hat{B})\right)=\lim\limits_{h\to 0}\frac{((\lambda+h)\hat{A}+\hat{B})((\lambda+h)\hat{A}+\hat{B})-(\lambda\hat{A}+\hat{B})(\lambda\hat{A}+\hat{B})}{h}=\\\hat{A}(\lambda\hat{A}+\hat{B})+(\lambda\hat{A}+\hat{B})\hat{A}$
Можно правило Лейбница и для произведения дифференцируемых функций применять. То есть, дифференцируйте "на здоровье", только производные сомножителей оставляйте на том же месте, чтобы не нарушить коммутативность.

[drzewo]

lel0lel в сообщении #1681079 писал(а):

Поскольку $\operatorname{Tr} \frac{\partial}{\partial \lambda}\left((\lambda\hat{A}+\hat{B})(\lambda\hat{A}+\hat{B})\right)=\operatorname{Tr} \left(\hat{A}(\lambda\hat{A}+\hat{B})+(\lambda\hat{A}+\hat{B})\hat{A})\right)=\operatorname{Tr} \left(2\hat{A}(\lambda\hat{A}+\hat{B})\right)$

а какая разница? Такое же рассуждение приводит к той формуле, что я выше выписал.

[lel0lel]

drzewo в сообщении #1681080 писал(а):

Такое же рассуждение приводит к той формуле, что я выше выписал.

Не вижу каким образом.

[Red_Herring]

drzewoВы неправы. Чтобы доказать "Вашу" формулу Вам придется посчитать слева след произведения типа $A^p B^q A^r B^s \dots$, а справа $A^m B^n $.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: задача по сути математическая.

[drzewo]

lel0lel в сообщении #1681083 писал(а):

Не вижу каким образом.

А я не вижу в Вашем тексте доказательства.

[Red_Herring]

drzewo в сообщении #1681087 писал(а):

А я не вижу в Вашем тексте доказательства.

lel0lel достаточно подробно описал доказательство. Мне оно не нравится поскольку оно через представление экспоненты через степенной ряд, т.е. плохо обобщается на неограниченные операторы, но оно есть.

[drzewo]

$$\frac{d}{dt}(tA+B)^n=\sum_{k=1}^n(tA+B)^{k-1}A(tA+B)^{n-k},$$

$$ \mathrm{tr}\,\frac{d}{dt}(tA+B)^n=\sum_{k=1}^n\mathrm{tr}\,(tA+B)^{k-1}A(tA+B)^{n-k}=\mathrm{tr}\,\sum_{k=1}^nA(tA+B)^{n-1}=n\mathrm{tr}\,A(tA+B)^{n-1},\quad n\in\mathbb N$$

[lel0lel]

drzewo в сообщении #1681074 писал(а):

Т.е. Вы доказали, что $\mathrm{tr}\,e^{A+B}=\mathrm{tr}\,(e^Ae^B)$.

drzewo в сообщении #1681031 писал(а):

откуда дровишки, если не секрет, Блохинцев очередной?

(Оффтоп)

drzewo в сообщении #1680839 писал(а):

Padawan в сообщении #1680797 писал(а):

Ну если так, то да, будет. Я перепроверю.

Да, пожалуйста перепроверьте. Вы заявили, что у теорема, которую я сформулировал, ошибочна. Такие вещи либо доказывают либо извиняются.

[drzewo]

lel0lel
и что? Вы разобрали случай $(tA+B)^2$. Этого недостаточно. Доказательства у Вас нет, как я и сказал.

[lel0lel]

(Оффтоп)

:D drzewo
Я из машины набирал, с телефона. Неудобно суммы писать, можно в аварию попасть. Главное, что Вы всё-таки поняли о чём речь. Извинения не нужны (я же просто в шутку намекнул). На форуме дружная атмосфера, все друг друга поддерживают как могут, а ошибиться может любой участник.

[PhysicsEnjoyer]

lel0lel в сообщении #1681079 писал(а):

дифференцируйте "на здоровье",

Понял, спасибо
Остался один вопрос
$\operatorname{Tr}(\exp(\lambda \hat{A} + \hat{B})) = \operatorname{Tr}(\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}(\lambda \hat{A} + \hat{B})^n) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\operatorname{Tr}((\lambda \hat{A} + \hat{B})^n) $ $= \sum\limits_{n=0}^{\infty} \sum\limits_{k=0}^{n}\frac{1}{n!}\frac{n!}{k!(n-k)!}\lambda^k \operatorname{Tr}(\hat{A}^k \hat{B}^{n-k})$


Как поменять местами знаки суммирования что бы получить коэффициент при $\lambda^k$ ?

[Red_Herring]

PhysicsEnjoyer Ваша "биномиальная формула" неверна, если A и B не коммутируют!

[drzewo]

Я, например, понял объяснения lel0lel
ровно так , как их понял PhysicsEnjoyer.
Поэтому и запротестовал.

[PhysicsEnjoyer]

Red_Herring
У меня все под операцией следа, поэтому можно использовать коммутацию. Или я не прав ?

-- 04.04.2025, 21:02 --

PhysicsEnjoyer в сообщении #1680985 писал(а):

Думаю что тут нужно использовать то что при взятии следа можно использовать коммутативность $ \operatorname{Tr(\hat{A}\hat{B})} = \operatorname{Tr(\hat{B}\hat{A})} $

Ну и + свойство линейности следа