Вольтметр, напряжение и разность потенциалов

[Cos(x-pi/2)]

Ende
Выделено из темы «Претензии nongma к Alex-Yu, к форуму и к LaTex»

nongma в сообщении #1665494 писал(а):

доказывание(именно так) невозможности измерения разности потенциалов (напряжения)

nongma, наверное Вы согласитесь с тем, что "разность потенциалов" или "напряжение" в общепринятой инженерной и радиолюбительской практике обладает по крайней мере простейшим свойством однозначности: два вольтметра $ и $ подключенные параллельно к точкам А и В одной и той же цепи, должны показывать одну и ту величину: $V_1=V_2.$ Эту величину в электротехнической практике и называют разностью потенциалов в точках А и В.

Если же показания параллельно соединённых исправно работающих вольтметров различаются, то невозможно ввести указанное понятие разности потенциалов. Другими словами можно сказать, что в таких случаях невозможно измерить разность потенциалов (хотя, разумеется, работающие вольтметры всегда что-то показывают). Ниже на схематическом рисунке изображён хорошо известный пример такой ситуации с $V_1 \neq V_2.$ Речь в этом примере идёт о переменных во времени показаниях $V_1(t)$ и $V_2(t)$ приборов с высокоомным входом. Вольтметрами здесь могут служить осциллографы. Точки А и В разделяют вторичную обмотку трансформатора, состоящую всего из одного витка, на две части с сопротивлениями $R_1$ и $R_2.$



Этот пример представляет собой несложную задачку: здесь требуется выразить мгновенные значения $V_1$ и $V_2$ через считающиеся заданными $R_1,$ $R_2$ и мгновенное значение эдс в витке $\varepsilon.$ (С упрощающими предположениями: по сравнению с $R_1+R_2$ сопротивления вольтметров велики, можно их не учитывать; сопротивление витка $R_1+R_2$ достаточно большое, так что ток в витке достаточно мал, и поэтому создаваемым им магнитным полем можно пренебрегать; весь магнитный поток сосредоточен в сердечнике.)

[nongma]

Если я правильно понимаю чертёж, второй вольтметр покажет напряжение, равное показанию первого вольтметра, увеличенного на величину э.д.с дополнительного (красного) витка. Проверено опытным путём для двух случаев: 1. См.выше, и 2.Когда показания второго вольтметра будут меньше показаний первого на величину той же самой э.д.с. Не верите - скину "протокол испытаний", если объясните, как картинки сюда вставлять. А какое отношение этот вопрос имеет к диспуту о "невозможности измерения напряжения"? Мерил китайским мультиметром, если что. Вроде, получилось похоже на правду (?)

[realeugene]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1666379 писал(а):

"разность потенциалов" или "напряжение"

Вообще-то это разные понятия. Про разность потенциалов можно говорить только в потенциальном поле. А вот напряжение можно интегрировать вдоль некоторого пути и в непотенциальных полях.

Cos(x-pi/2) в сообщении #1666379 писал(а):

обладает по крайней мере простейшим свойством однозначности: два вольтметра $ и $ подключенные параллельно к точкам А и В одной и той же цепи, должны показывать одну и ту величину: $V_1=V_2.$

Ага. Только не стоит забывать, что такое цепь в модели с сосредоточеннными параметрами, для которой из уравнений Максвелла выводятся уравнения Кирхгофа. То нечто сильно трёхмерное с магнитопроводом внутри на вашем рисунке цепью по этому определению не является.

В цепи с сосредоточенными параметрами магнитное и электрическое поля, отличные от полей соединительных проводников, должны быть заключены внутри компонентов. А у вас магнитопровод пересекает одновременно два внешних контура снаружи компонента. Или, если посмотреть с другой стороны, соединительный провод проходит сквозь компонент. Непорядок. Конечно же уравнения Кирхгофа вместе с вашими следующими из них требованиями к показываемыми вольтметрами напряжениям для такой конструкции не применимы.

-- 17.01.2025, 02:35 --

nongma в сообщении #1670381 писал(а):

Если я правильно понимаю чертёж, второй вольтметр покажет напряжение, равное показанию первого вольтметра, увеличенного на величину э.д.с дополнительного (красного) витка.

Ну да. Как превратить этого уродца в цепь с сосредоточенными параметрами? Нужно окружить трансформатор замкнутой односвязной оболочкой, разместив на этой оболочке контакты для подключения внешних цепей. Точки A и B легко превратить в такие контакты. Но что делать с левым красным проводом? Он пересекает эту оболочку в двух точках. Его нужно разрезать в двух местах, в которых он пересекает оболочку, разместив в точках разреза контакты. Пусть это будут точки C и D. Тогда участок провода CD находится внутри оболочки и больше как соединительный провод цепи рассматриваться не может. Но чтобы уравнения Кирхгофа замкнулись, его нужно заменить на включённую между этими точками внутри оболочки витковую ЭДС. Эта витковая ЭДС на участке CD будет частью модели трансформатора.

[Cos(x-pi/2)]

realeugene в сообщении #1670393 писал(а):

Конечно же уравнения Кирхгофа вместе с вашими следующими из них требованиями к показываемыми вольтметрами напряжениям для такой конструкции не применимы.

realeugene
Никто никого не заставляет применять неприменимое. У этой задачи существует теоретически предсказуемый и экспериментально проверяемый ответ. Примените, пожалуйста, то, что применимо, и напишите, пожалуйста, ответ к указанной задаче в виде формул для показаний приборов $V_1,$ $V_2,$ и вывод ответа. Тогда можно будет сделать дальнейшие выводы обоснованно, а не декларативно.

[realeugene]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1670397 писал(а):

Примените, пожалуйста, то, что применимо, и напишите, пожалуйста, ответ к указанной задаче в виде формул для показаний приборов $V_1,$ $V_2,$ и вывод ответа.

Тривиально.

$R_1$ размещаем снаружи трансформатора. Это просто сопротивление. $R_2$ находится внутри трансформатора, последовательно с ним в модели трансформатора включена витковая ЭДС $\varepsilon$. Сопротивление вольтметров большое, токи через них не текут. Ток в контуре сопротивлений $I=\frac \varepsilon {R_1 + R_2}$. Вольтметр $V_1$ показывает напряжение на $R_1$. По закону Ома $V_1=IR_1=\varepsilon \frac {R_1} {R_1 + R_2}$.

Вольтметр $V_2$ подключён к тем же узлам цепи через дополнительную ЭДС левого провода, которую нужно вычесть (она направлена в ту же сторону, как и ЭДC последовательно с $R_1$). $V_2=V_1-\varepsilon = -\varepsilon \frac {R_2} {R_1 + R_2}$.

Очевидно, результат не изменится, если в модели с сосредоточенными параметрами $R_1$ разместить внутри трансформатора, а $R_2$ снаружи. Но тогда дополнительная ЭДС в ходе расчёта должна быть приписана правому красному проводу, который оказался теперь внутри оболочки трансформатора.

[Cos(x-pi/2)]

realeugene, формулы верные. Причём, с тем же результатом вместо витка можно взять просто резисторы, параллельно соединённые в точках $A$ и $B$, и оба эти резистора могут быть размещены симметрично - с боков от сердечника, т.е. оба не внутри трансформатора.

nongma
Да, Ваш результат "похож на правду". Вот результаты аналогичного эксперимента из старинной статьи:

Схема опыта:


Источником переменного магнитного поля в этом опыте служил длинный соленоид без сердечника, питаемый током треугольной формы с частотой 300 Гц (скорость изменения тока в соленоиде: $\pm1560\,\text{А}/\text{с}.$ Сопротивления резисторов: $R_2=2R_1=2\,\text{кОм}.$ Ток в соленоиде регистрировался по показаниям осциллографа, подключенного параллельно резистору $5\,\text{Ом},$ включенному последовательно с соленоидом в цепь его питания. Вот картинка на экране многоканального осциллографа (примечательно, что $V_1$ и $V_2$ изменяются "в противофазе", хотя в схеме опыта приборы на первый взгляд кажутся включенными симметрично), количественно результат измерений здесь согласуется с теор. расчётом для опыта с идеальным соленоидом с приемлемой точностью, порядка $5$ процентов:

nongma в сообщении #1670381 писал(а):

А какое отношение этот вопрос имеет к диспуту о "невозможности измерения напряжения"?

А если не имеет, то какое из показаний $V_1\neq V_2$ для одной и той же пары точек $A$ и $B$ в приведённом примере Вы посчитате правильным? :) Вопрос явно имеет отношение к невозможности однозначно т.е. безотносительно к расположению проводов измерительного прибора измерить напряжение в цепи с переменным магнитным потоком. Переменное же магнитное поле всегда есть вокруг проводника с переменным током. Если в конкретной задаче переменным магнитным полем проводников можно пренебречь, то и можно приближённо измерить напряжение между точками цепи безотносительно к расположению проводников цепи и прибора. Если же переменным магнитным полем пренебречь нельзя без ущерба для желаемой точности измерений, то и не удастся однозначно определить напряжение между двумя точками цепи.

[realeugene]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1670401 писал(а):

и оба эти резистора могут быть размещены симметрично - с боков от сердечника, т.е. оба не внутри трансформатора.

Резисторы - да, все провода - нет.

Картинка в вашем посте из статьи с соленоидом вводит в заблуждение. На ней не показано, как замыкается магнитопровод. А он обязан как-то замкнуться, как-то проткнув этот чертёж в обратную сторону.

Ещё раз. Чтобы свести этот соленоид к цепи с сосредоточенными параметрами, в которой можно рассуждать про однозначное межузловое напряжение, как вы хотите, нужно заключить магнитопровод трансформатора целиком в односвязную замкнутую оболочку. Вынеся все остальные компоненты достаточно далеко от магнитопровода. Так вот, как ни заключай магнитопровод в такую оболочку - некоторые провода будут обязаны пройти внутри этой оболочки. И к этим участкам проводов нужно будет добавить витковую ЭДС, если участок пересекает оболочку внутри петли магнитопровода. Эта добавляемая витковая ЭДС обязательно разрушит такую красивую симметрию рисунка, приведя к разности показаний вольтметров ровно на одну витковую ЭДС.

Ещё раз подчеркну. Симметрия рисунка нарушится обязательно просто в силу топологии магнитопровода и проводов. То есть фокус, конечно, красивый, но он из категории доказательств, что $1 = 0$.

И видимо ещё одна уловка - выбран длинный соленоид, гораздо длиннее расстояния до точек подключения вольтметров , и его магнитное поле замыкается само собой где-то далеко. Но попробуйте всё равно нарисовать оболочку, которая покроет все эти далеко замыкающиеся силовые линии магнитопровода, не только его центр. Она обязательно разрежет и провода.

[Sender]

realeugene в сообщении #1670402 писал(а):

На ней не показано, как замыкается магнитопровод. А он обязан как-то замкнуться, как-то проткнув этот чертёж в обратную сторону.

Cos(x-pi/2) в сообщении #1670401 писал(а):

Источником переменного магнитного поля в этом опыте служил длинный соленоид без сердечника

[EUgeneUS]

В случае с замкнутыми магнитопроводами всё прозрачно - сколько раз провод прошел в окно магнитопровода, столько витков и есть.
В случае незамкнутого магнитопровода или его отсутствия немного веселее, но в принципе - то же самое.

[realeugene]

Sender

realeugene в сообщении #1670402 писал(а):

И видимо ещё одна уловка - выбран длинный соленоид, гораздо длиннее расстояния до точек подключения вольтметров , и его магнитное поле замыкается само собой где-то далеко. Но попробуйте всё равно нарисовать оболочку, которая покроет все эти далеко замыкающиеся силовые линии магнитопровода, не только его центр. Она обязательно разрежет и провода.

-- 17.01.2025, 16:59 --

Для ясности. Правило Кирхгофа для напряжений гласит, что сумма напряжений по замкнутому пути в графе цепи равна нулю. Это прямое следствие интегрального уравнения Максвелла для циркуляции напряженности электрического поля по замкнутому контуру для случая нулевого (постоянного) магнитного потока через этот контур. Для применимости этого правила для нестационарного случая (с переменными магнитными полями) требуется, чтобы всё переменное магнитное поле было собрано внутри компонентов цепи, которые мы заменяем на эквивалентные ЭДС уже без магнитного поля. Для просто индуктивностей, в том числе, индуктивностей соединительных проводов, это ЭДС, пропорциональная скорости нарастания тока.

При этом магнитного поля в задаче больше нет, если мы его смогли так собрать внутри дискретных компонентов и заменить его последовательными ЭДС в моделях замещения. И межузловые напряжения при этом становятся определены однозначно и в нестационарном случае, без разницы, по какому пути в графе они считаются. Что позволяет в этом дискретном случае ввести узловые потенциалы. Но пока в задаче остаётся магнитное поле, требовать существования потенциалов узлов и независимости напряжения (как интеграла напряженности) от пути между узлами нельзя.

[realeugene]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1670401 писал(а):

Схема опыта:

Поэтому это никакая не "схема", а непонятно что. Нарисована цепь с сосредоточенными параметрами, в контексте которой не бывает магнитного поля по определению, и нарисовано дополнительно магнитное поле.

[Amw]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1666379 писал(а):

С упрощающими предположениями: по сравнению с $R_1+R_2$ сопротивления вольтметров велики, можно их не учитывать;

Всё-таки вольтметры меряют ток, а не напряжение, вернее без тока не работают. Хоть и осциллографы с мегаомными входами.

nongma в сообщении #1670381 писал(а):

Если я правильно понимаю чертёж, второй вольтметр покажет напряжение, равное показанию первого вольтметра, увеличенного на величину э.д.с дополнительного (красного) витка.

Никакого дополнительного витка здесь нет. Рисунок можно преобразовать в полностью симметричный, если точки А и В расположить диаметрально, а полукольца выполнить с разным сопротивлением.

При этом ничего не изменится - вольтметры будут показывать по-разному.

[amon]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1670401 писал(а):

Если же переменным магнитным полем пренебречь нельзя без ущерба для желаемой точности измерений, то и не удастся однозначно определить напряжение между двумя точками цепи.

realeugene в сообщении #1670457 писал(а):

Но пока в задаче остаётся магнитное поле, требовать существования потенциалов узлов и независимости напряжения (как интеграла напряженности) от пути между узлами нельзя.

То есть, если воду отжать, то Вы наконец согласились с тем, что даже в простейшей электротехнике бывают случаи, когда скалярным потенциалом пользоваться нельзя, а вольтметр (любой) показывает черте-что.

[realeugene]

amon в сообщении #1670468 писал(а):

то Вы наконец согласились с тем, что даже в простейшей электротехнике бывают случаи, когда скалярным потенциалом пользоваться нельзя, а вольтметр (любой) показывает черте-что.

В смысле, я наконец согласился? Про то, что определение напряжения через разность потенциалов слишком ограничено по сравнению с определением напряжения через интеграл напряженности по пути, я пишу с самого начала.

Что касается вольтметров: любой вольтметр показывает напряжение между своими контактами. Так как расстояние между контактами маленькое, вы подключаете вольтметр в схему при помощи соединительных проводов. Эти соединительные провода становятся частью схемы, и их влияние на напряжение между контактами вольтметра иногда нужно учитывать отдельно. Особенно, когда в цепи есть заметные магнитные поля.

-- 17.01.2025, 18:13 --

Amw в сообщении #1670467 писал(а):

При этом ничего не изменится - вольтметры будут показывать по-разному.

Почему должно что-то измениться? На этом рисунке сами вольтметры вместе с соединительными красными и синими проводами образуют один виток вокруг магнитопровода. Не важно, что ещё подключено внутри, но напряжение (как интеграл напряженности) вдоль этого замкнутого витка должно быть равно ЭДС индукции этого витка. Это просто уравнение Максвелла. Внутри соединительных проводов ток не течёт - по закону Ома напряженность электрического поля в этих проводах равна нулю. Остаётся в интеграле два вольтметра. И уравнение Максвелла сводится просто к тому, что сумма показаний двух вольтметров с учётом полярностей их включения равна ЭДС индукции в этом витке. Без разницы, какие там сопротивления $R_1$ и $R_2$.

-- 17.01.2025, 18:17 --

amon в сообщении #1670468 писал(а):

а вольтметр (любой) показывает черте-что.

Собственно если токи через щупы вольтметра пренебрежимо малы, то любой вольтметр показывает напряжение между его щупами как интеграл напряженности электрического поля вдоль щупов (которое в металле нулевое при отсутствии термоэлектрических явлений и тока) и сам вольтметр. А никакое не "чёрт-те что".

[Amw]

realeugene в сообщении #1670471 писал(а):

Почему должно что-то измениться?

Я возражал nongma, который объяснял разницу показаний вольтметров

nongma в сообщении #1670381 писал(а):

второй вольтметр покажет напряжение, равное показанию первого вольтметра, увеличенного на величину э.д.с дополнительного (красного) витка.