2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Законы сохранения при абсолютно упругом ударе на плоскости
Сообщение04.11.2024, 16:42 


08/06/24
18
Здравствуйте.

Пусть две материальные точки массами $m_1, m_2$ движутся на плоскости со скоростями $\mathbf{v_1, v_2$}. Испытав абсолютно упругий удар, они продолжают движение уже с другими скоростями $\mathbf{v_1', v_2'}$. Задача: найти скорости после удара, если известны массы и скорости до удара.

Мое решение.

Согласно законам сохранения импульса и энергии, справедлива система уравнений
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
 m_1 \mathbf v_1 +  m_2 \mathbf v_2 = m_1 \mathbf v_1' +  m_2 \mathbf v_2' \\
m_1  v_1^2 + m_2 v_2^2 = m_1  v_1'^2 +  m_2 v_2'^2
\end{array}
\right.$$

Введем систему координат $xOy$. Согласно принципу независимости действия сил, проекции результирующих скоростей на ось $Ox$ зависят только от проекций начальных скоростей на ось $Ox$ и не зависят от проекций начальных скоростей на ось $Oy$. Таким образом, система уравнений распадается на две независимые системы:

$$\left\{
\begin{array}{rcl}
 m_1v_{1x} +  m_2v_{2x} = m_1v_{1x}' +  m_2v_{2x}' \\
m_1  v_{1x}^2 + m_2 v_{2x}^2 = m_1  v_{1x}'^2 + m_2 v_{2x}'^2 
\end{array}
\right.$$

$$\left\{
\begin{array}{rcl}
 m_1v_{1y} +  m_2v_{2y} = m_1v_{1y}' +  m_2v_{2y}' \\
m_1  v_{1y}^2 + m_2 v_{2y}^2 = m_1  v_{1y}'^2 + m_2 v_{2y}'^2 
\end{array}
\right.$$

Т.е. двумерная задача сводится к двум одномерным (а ее решать я уже умею).

Это правильно? Или так нельзя?

 Профиль  
                  
 
 Re: Законы сохранения при абсолютно упругом ударе на плоскости
Сообщение04.11.2024, 17:01 


21/12/16
721
Не хочется дразнить гусей... Ну да ладно.
StudentV в сообщении #1660617 писал(а):
аведлива система уравнений
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
m_1 \mathbf v_1 +  m_2 \mathbf v_2 = m_1 \mathbf v_1' +  m_2 \mathbf v_2' \\
m_1  v_1^2 + m_2 v_2^2 = m_1  v_1'^2 +  m_2 v_2'^2
\end{array}
\right.$$

вот тут одно векторное уравнение и одно скалярное т.е. 3 скалярных уравнения.
А найти надо 2 вектора т.е. 4 неизвестных скаляра. Вас это не смущает?
StudentV в сообщении #1660617 писал(а):
Согласно принципу независимости действия сил

который тут ни при чем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Законы сохранения при абсолютно упругом ударе на плоскости
Сообщение04.11.2024, 17:16 
Заслуженный участник


16/02/13
4179
Владивосток
Эк вы, однако, лихо скаляр на вектор спроектировали.
Фактически, вы поменяли уравнение $a+b=0$ на систему $\left\{\begin{array}{rcl}a&=&0\\b&=&0\end{array}\right.$. Любое её решение, разумеется, удовлетворяет уравнению, но сколько ж вы потеряли.

 Профиль  
                  
 
 Re: Законы сохранения при абсолютно упругом ударе на плоскости
Сообщение04.11.2024, 17:32 


29/01/09
585
StudentV в сообщении #1660617 писал(а):
Задача: найти скорости после удара, если известны массы и скорости до удара.

сразу вам скажу...Задача недопределена... Нужно знать направление движения хотя бы одной точки после удара. Это получается просто. переходите а СО ЦМ. испульсы до и после соударения противополжны, и равны по модулю, и до и после столкновения для обеих частиц - стало быть для описания задачи нужно знать напрпвление движения одной из точек. Потом совершите обратный переход и будет вам счастье

-- Пн ноя 04, 2024 18:39:18 --

StudentV в сообщении #1660617 писал(а):
Это правильно? Или так нельзя?

это неправильно... вы из скаляра энергии сделали вектор...Я бы поле этого поставиил вам два или незачет или не приял задание , даже не рассматривая дальнейший ход решения этой и других задач

 Профиль  
                  
 
 Re: Законы сохранения при абсолютно упругом ударе на плоскости
Сообщение04.11.2024, 17:57 


21/12/16
721

(Оффтоп)

Задача некорректна: малое шевеление начальной скорости одной из материальных точек приводит к тому, что точки вообще не встречаются и удара не происходит. Соответственно, невозможно разумно ввести определение абсолютно упругого удара .Поэтому и уравнений не хватает. Если, например, точки заменить шарами то проблема снимается как по существу, так и на уровне формул естественно. Но возникает другой вопрос: почему шарами, а не эллипсоидами или не еще чем-то?
Специалистам по динамике все эти вещи давно и хорошо известны. Любителям, которые не осознают грань между своими интуитивными фантазиями и физическими законами -- это уже и не объяснишь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Законы сохранения при абсолютно упругом ударе на плоскости
Сообщение04.11.2024, 18:19 


29/01/09
585
drzewo в сообщении #1660625 писал(а):
малое шевеление начальной скорости одной из материальных точек приводит к тому, что точки вообще не встречаются и удара не происходит.


(Оффтоп)

Вот это надуманно... замените упругий удар - соударением двух частиц в спадающем центральном поле, и можно рассмотреть асимптотику движения частиц до и после, то есть опустить детали взаимодействия... дельта функия - кстати тоже пример центральных сил...

 Профиль  
                  
 
 Re: Законы сохранения при абсолютно упругом ударе на плоскости
Сообщение04.11.2024, 18:34 


08/06/24
18
Всем спасибо за указания на ошибки. Я подозревал, что обращаюсь с энергией неправильно. Но был уверен, что задача корректна, полностью определена и должна иметь решение. Из-за этой уверенности и совершил глупую ошибку.

Отдельное спасибо вот за этот комментарий:
drzewo в сообщении #1660625 писал(а):
Задача некорректна: малое шевеление начальной скорости одной из материальных точек приводит к тому, что точки вообще не встречаются и удара не происходит. Соответственно, невозможно разумно ввести определение абсолютно упругого удара .Поэтому и уравнений не хватает. Если, например, точки заменить шарами то проблема снимается как по существу, так и на уровне формул естественно. Но возникает другой вопрос: почему шарами, а не эллипсоидами или не еще чем-то?


То есть для материальных точек на плоскости невозможно корректно ввести определение абсолютно упругого удара. В школе нам так определяли идеальный газ: молекулы идеального газа - материальные точки, единственное взаимодействие которых - абсолютно упругие удары. Но если даже на плоскости нельзя говорить об абсолютно упругом ударе материальных точек, то в пространстве тем более нельзя. Значит, нам неправильно говорили про идеальный газ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Законы сохранения при абсолютно упругом ударе на плоскости
Сообщение04.11.2024, 18:39 


21/12/16
721
pppppppo_98 в сообщении #1660626 писал(а):
Вот это надуманно... замените упругий удар - соударением двух частиц в спадающем центральном поле, и можно рассмотреть асимптотику движения частиц до и после, то есть опустить детали взаимодействия... дельта функия - кстати тоже пример центральных сил...

Хорошая иллюстрация к сказанному...

-- 04.11.2024, 19:46 --

StudentV в сообщении #1660630 писал(а):
В школе нам так определяли идеальный газ: молекулы идеального газа - материальные точки, единственное взаимодействие которых - абсолютно упругие удары

При такой постановке вопроса, с учетом того, что молекул -- конечное число, вероятность хоть одного столкновения между ними за конечное время равна нулю. (Если мы ввели равномерное распределение на пространстве начальных условий)

 Профиль  
                  
 
 Re: Законы сохранения при абсолютно упругом ударе на плоскости
Сообщение04.11.2024, 18:52 


08/06/24
18
drzewo в сообщении #1660631 писал(а):
При такой постановке вопроса, с учетом того, что молекул -- конечное число, вероятность хоть одного столкновения между ними за конечное время равна нулю.


Это тоже интересный вопрос. События, вероятность которых равна нулю, тоже происходят. Если случайная величина $X$ распределена непрерывно, то для любого числа $a$ вероятность, что величина $X$ в результате опыта примет значение $a$, равна нулю. Но ведь в результате опыта величина $X$ примет какое-то значение, несмотря на нулевую вероятность того, что она примет именно это значение. Почему это возможно, а столкновение молекул - материальных точек невозможно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Законы сохранения при абсолютно упругом ударе на плоскости
Сообщение04.11.2024, 19:05 


21/12/16
721
StudentV в сообщении #1660633 писал(а):
События, вероятность которых равна нулю, тоже происходят.

не-а не происходят:)
вот это:
StudentV в сообщении #1660633 писал(а):
для любого числа $a$ вероятность, что величина $X$ в результате опыта примет значение $a$,

и вот это:
StudentV в сообщении #1660633 писал(а):
величина $X$ примет какое-то значение

две разных задачи. Если Вас интересуют подробности -- то открываете тему в <<помогите решить. математика>>

 Профиль  
                  
 
 Re: Законы сохранения при абсолютно упругом ударе на плоскости
Сообщение04.11.2024, 20:34 


21/12/16
721
StudentV в сообщении #1660633 писал(а):
События, вероятность которых равна нулю, тоже происходят.


Я сначала хотел Вам отвечать на математическом языке, потом подумал и решил ответить на физическом, поэтому напишу ответ в этом разделе, а там найдется кому ответить.
Возьмите иглу подкиньте ее и дайте ей упасть на пол. Вот когда она у Вас встанет вертикально на острие и останется в таком положении -- вот тогда будете говорить про то, что события, вероятность которых равна нулю, тоже происходят.

 Профиль  
                  
 
 Re: Законы сохранения при абсолютно упругом ударе на плоскости
Сообщение05.11.2024, 10:19 


27/08/16
10151

(Оффтоп)

drzewo в сообщении #1660651 писал(а):
Возьмите иглу подкиньте ее и дайте ей упасть на пол. Вот когда она у Вас встанет вертикально на острие и останется в таком положении -- вот тогда будете говорить про то, что события, вероятность которых равна нулю, тоже происходят.
Э...

Безотносительно к предыдущему обсуждению, результат подобного эксперимента вас может поразить. Особенно, если иглу заменить на ножик. Помню, баловался так в детстве. :mrgreen:

Физика - не математика.


-- 05.11.2024, 10:34 --

drzewo в сообщении #1660631 писал(а):
При такой постановке вопроса, с учетом того, что молекул -- конечное число, вероятность хоть одного столкновения между ними за конечное время равна нулю.
Время бесконечно, все процессы бесконечно медленные.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group