Законы сохранения при абсолютно упругом ударе на плоскости

[StudentV]

Здравствуйте.

Пусть две материальные точки массами $m_1, m_2$ движутся на плоскости со скоростями $\mathbf{v_1, v_2$}. Испытав абсолютно упругий удар, они продолжают движение уже с другими скоростями $\mathbf{v_1', v_2'}$. Задача: найти скорости после удара, если известны массы и скорости до удара.

Мое решение.

Согласно законам сохранения импульса и энергии, справедлива система уравнений

$$\left\{ \begin{array}{rcl} m_1 \mathbf v_1 + m_2 \mathbf v_2 = m_1 \mathbf v_1' + m_2 \mathbf v_2' \\ m_1 v_1^2 + m_2 v_2^2 = m_1 v_1'^2 + m_2 v_2'^2 \end{array} \right.$$

Введем систему координат $xOy$. Согласно принципу независимости действия сил, проекции результирующих скоростей на ось $Ox$ зависят только от проекций начальных скоростей на ось $Ox$ и не зависят от проекций начальных скоростей на ось $Oy$. Таким образом, система уравнений распадается на две независимые системы:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} m_1v_{1x} + m_2v_{2x} = m_1v_{1x}' + m_2v_{2x}' \\ m_1 v_{1x}^2 + m_2 v_{2x}^2 = m_1 v_{1x}'^2 + m_2 v_{2x}'^2 \end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{rcl} m_1v_{1y} + m_2v_{2y} = m_1v_{1y}' + m_2v_{2y}' \\ m_1 v_{1y}^2 + m_2 v_{2y}^2 = m_1 v_{1y}'^2 + m_2 v_{2y}'^2 \end{array} \right.$$

Т.е. двумерная задача сводится к двум одномерным (а ее решать я уже умею).

Это правильно? Или так нельзя?

[drzewo]

Не хочется дразнить гусей... Ну да ладно.

StudentV в сообщении #1660617 писал(а):

аведлива система уравнений

$$\left\{ \begin{array}{rcl} m_1 \mathbf v_1 + m_2 \mathbf v_2 = m_1 \mathbf v_1' + m_2 \mathbf v_2' \\ m_1 v_1^2 + m_2 v_2^2 = m_1 v_1'^2 + m_2 v_2'^2 \end{array} \right.$$

вот тут одно векторное уравнение и одно скалярное т.е. 3 скалярных уравнения.
А найти надо 2 вектора т.е. 4 неизвестных скаляра. Вас это не смущает?

StudentV в сообщении #1660617 писал(а):

Согласно принципу независимости действия сил

который тут ни при чем.

[iifat]

Эк вы, однако, лихо скаляр на вектор спроектировали.
Фактически, вы поменяли уравнение $a+b=0$ на систему $\left\{\begin{array}{rcl}a&=&0\\b&=&0\end{array}\right.$. Любое её решение, разумеется, удовлетворяет уравнению, но сколько ж вы потеряли.

[pppppppo_98]

StudentV в сообщении #1660617 писал(а):

Задача: найти скорости после удара, если известны массы и скорости до удара.

сразу вам скажу...Задача недопределена... Нужно знать направление движения хотя бы одной точки после удара. Это получается просто. переходите а СО ЦМ. испульсы до и после соударения противополжны, и равны по модулю, и до и после столкновения для обеих частиц - стало быть для описания задачи нужно знать напрпвление движения одной из точек. Потом совершите обратный переход и будет вам счастье

-- Пн ноя 04, 2024 18:39:18 --

StudentV в сообщении #1660617 писал(а):

Это правильно? Или так нельзя?

это неправильно... вы из скаляра энергии сделали вектор...Я бы поле этого поставиил вам два или незачет или не приял задание , даже не рассматривая дальнейший ход решения этой и других задач

[drzewo]

(Оффтоп)

Задача некорректна: малое шевеление начальной скорости одной из материальных точек приводит к тому, что точки вообще не встречаются и удара не происходит. Соответственно, невозможно разумно ввести определение абсолютно упругого удара .Поэтому и уравнений не хватает. Если, например, точки заменить шарами то проблема снимается как по существу, так и на уровне формул естественно. Но возникает другой вопрос: почему шарами, а не эллипсоидами или не еще чем-то?
Специалистам по динамике все эти вещи давно и хорошо известны. Любителям, которые не осознают грань между своими интуитивными фантазиями и физическими законами -- это уже и не объяснишь.

[pppppppo_98]

drzewo в сообщении #1660625 писал(а):

малое шевеление начальной скорости одной из материальных точек приводит к тому, что точки вообще не встречаются и удара не происходит.

(Оффтоп)

Вот это надуманно... замените упругий удар - соударением двух частиц в спадающем центральном поле, и можно рассмотреть асимптотику движения частиц до и после, то есть опустить детали взаимодействия... дельта функия - кстати тоже пример центральных сил...

[StudentV]

Всем спасибо за указания на ошибки. Я подозревал, что обращаюсь с энергией неправильно. Но был уверен, что задача корректна, полностью определена и должна иметь решение. Из-за этой уверенности и совершил глупую ошибку.

Отдельное спасибо вот за этот комментарий:

drzewo в сообщении #1660625 писал(а):

Задача некорректна: малое шевеление начальной скорости одной из материальных точек приводит к тому, что точки вообще не встречаются и удара не происходит. Соответственно, невозможно разумно ввести определение абсолютно упругого удара .Поэтому и уравнений не хватает. Если, например, точки заменить шарами то проблема снимается как по существу, так и на уровне формул естественно. Но возникает другой вопрос: почему шарами, а не эллипсоидами или не еще чем-то?

То есть для материальных точек на плоскости невозможно корректно ввести определение абсолютно упругого удара. В школе нам так определяли идеальный газ: молекулы идеального газа - материальные точки, единственное взаимодействие которых - абсолютно упругие удары. Но если даже на плоскости нельзя говорить об абсолютно упругом ударе материальных точек, то в пространстве тем более нельзя. Значит, нам неправильно говорили про идеальный газ.

[drzewo]

pppppppo_98 в сообщении #1660626 писал(а):

Вот это надуманно... замените упругий удар - соударением двух частиц в спадающем центральном поле, и можно рассмотреть асимптотику движения частиц до и после, то есть опустить детали взаимодействия... дельта функия - кстати тоже пример центральных сил...

Хорошая иллюстрация к сказанному...

-- 04.11.2024, 19:46 --

StudentV в сообщении #1660630 писал(а):

В школе нам так определяли идеальный газ: молекулы идеального газа - материальные точки, единственное взаимодействие которых - абсолютно упругие удары

При такой постановке вопроса, с учетом того, что молекул -- конечное число, вероятность хоть одного столкновения между ними за конечное время равна нулю. (Если мы ввели равномерное распределение на пространстве начальных условий)

[StudentV]

drzewo в сообщении #1660631 писал(а):

При такой постановке вопроса, с учетом того, что молекул -- конечное число, вероятность хоть одного столкновения между ними за конечное время равна нулю.

Это тоже интересный вопрос. События, вероятность которых равна нулю, тоже происходят. Если случайная величина $X$ распределена непрерывно, то для любого числа $a$ вероятность, что величина $X$ в результате опыта примет значение $a$, равна нулю. Но ведь в результате опыта величина $X$ примет какое-то значение, несмотря на нулевую вероятность того, что она примет именно это значение. Почему это возможно, а столкновение молекул - материальных точек невозможно?

[drzewo]

StudentV в сообщении #1660633 писал(а):

События, вероятность которых равна нулю, тоже происходят.

не-а не происходят:)
вот это:

StudentV в сообщении #1660633 писал(а):

для любого числа $a$ вероятность, что величина $X$ в результате опыта примет значение $a$,

и вот это:

StudentV в сообщении #1660633 писал(а):

величина $X$ примет какое-то значение

две разных задачи. Если Вас интересуют подробности -- то открываете тему в <<помогите решить. математика>>

[drzewo]

StudentV в сообщении #1660633 писал(а):

События, вероятность которых равна нулю, тоже происходят.

Я сначала хотел Вам отвечать на математическом языке, потом подумал и решил ответить на физическом, поэтому напишу ответ в этом разделе, а там найдется кому ответить.
Возьмите иглу подкиньте ее и дайте ей упасть на пол. Вот когда она у Вас встанет вертикально на острие и останется в таком положении -- вот тогда будете говорить про то, что события, вероятность которых равна нулю, тоже происходят.

[realeugene]

(Оффтоп)

drzewo в сообщении #1660651 писал(а):

Возьмите иглу подкиньте ее и дайте ей упасть на пол. Вот когда она у Вас встанет вертикально на острие и останется в таком положении -- вот тогда будете говорить про то, что события, вероятность которых равна нулю, тоже происходят.

Э...

Безотносительно к предыдущему обсуждению, результат подобного эксперимента вас может поразить. Особенно, если иглу заменить на ножик. Помню, баловался так в детстве.

Физика - не математика.

-- 05.11.2024, 10:34 --

drzewo в сообщении #1660631 писал(а):

При такой постановке вопроса, с учетом того, что молекул -- конечное число, вероятность хоть одного столкновения между ними за конечное время равна нулю.

Время бесконечно, все процессы бесконечно медленные.