Вопросы по математическим основам квантовой механики

[Cos(x-pi/2)]

Osmiy, не давайте в ПРР бессмысленных советов. ТС и так пока ещё ничего не может понять в квантовой механике как следует.


Если гамильтониан $\hat{H}$ известен, причём - он не зависит от времени, и задана (допустимая) начальная волновая функция $\psi(x,\,t=0),$ то обычно поступают вот как.

Сначала решают стационарное уравнение Шрёдингера, т.е. решают задачу "на собственные значения и собственные функции" гамильтониана. То же самое другими словами: сначала находят спектр энергии $E_n$ и волновые функции $\psi_n(x)$ стационарных состояний - эти функции удовлетворяют уравнению

$$\hat{H}\psi_n(x)=E_n\psi_n(x)$$

с определёнными зависящими от постановки задачи условиями (ставятся граничные условия и определённые требования непрерывности). Из этих функций строится ортонормированный базис.

Затем находят коэффициенты $A_n$ разложения по такому базису для заданной начальной волновой функции $\psi(x,\,t=0):$

$$A_n=\int\limits_{-\infty}^{\infty}dx\,\,\psi_n(x)^*\,\psi(x,t=0)$$

Тогда искомая волновая функция $\psi(x,\,t)$ будет равна линейной суперпозиции (т.е. сумме) базисных функций $\psi_n(x),$ взятых с зависящими от времени коэффициентами $A_n\exp(-i\frac{E_n}{\hbar}t):$

$$\psi(x,\,t)=\sum_n A_n \,e^{-i\frac{E_n}{\hbar}t}\,\psi_n(x)$$

(Сумма здесь означает сумму ряда. Суммирование по непрерывной части спектра, если таковая есть, означает интегрирование. Строгое описание всей этой деятельности требует знаний из курса "Математической физики". Если гамильтониан зависит от времени, то всё усложняется; тогда обычно прибегают к приближённым вычислениям с помощью так называемой теории возмущений. Да и стационарное-то уравнение Шрёдингера лишь в простейших задачках решается точно, а в большинстве практически значимых задач - только приближённо, тоже с применением теории возмущений.)

[Osmiy]

Cos(x-pi/2)
Вы сами всё напутали. B3LYP спрашивает как из $\psi(0)$ получить $\psi(t_1)$. То что вы написали никакого отношения к этому не имеет. Нет, имеет. Но вы просто другим способом объясняете то, к чему я и веду.

[pppppppo_98]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1657780 писал(а):

ТС и так пока ещё ничего не может понять в квантовой механике как следует

все то ,чего не может понять ТС, лежит намного раньше, чем квантовая механика...

(Оффтоп)

Я вот прямо удивлен , что он даже и не попытался в общем-то правильную форму нестационарной волновой фуннции встаить нужный момент и обратился на форум... Мне не понятно как при этом человек пытается зарабатывать (как он говорит) в такой крайне непростой даже выококвалифцировнных спецов , с орабзаованием в области КМ, как квантовая химия (вы же собственно об этом и писали), там где окромя обширных знаний самой КМ, нужно еще знать специфические эвристические модели, вычислительные методы решения задач моделирования ... Поэтому когда начинают ему казалось бы очевидные вещи втолковывать - раз и получается , что отсутствуют знания иногда даже в тригонометрии... Вот что мне загадочно

-- Пн окт 07, 2024 20:11:36 --

Cos(x-pi/2) в сообщении #1657780 писал(а):

Да и стационарное-то уравнение Шрёдингера лишь в простейших задачках решается точно, а в большинстве практически значимых задач - только приближённо, тоже с применением теории возмущений.)

ну да... я слышал что по моему насчитали 25 моделей (гамильтонианов) с аналитическим решением

[Утундрий]

А зачем ему хоть что-то понимать? У него есть программа. Программа рисует кнопки на экране. Он нажимает кнопки мышкой и таки имеет с того доход.

[pppppppo_98]

Утундрий в сообщении #1657838 писал(а):

А зачем ему хоть что-то понимать? У него есть программа. Программа рисует кнопки на экране. Он нажимает кнопки мышкой и таки имеет с того доход.

так ... да не так... он споткнулся из-за симметрий на молекуле озона... не помню в этой ветке было или нет ...

[Osmiy]

B3LYP
Вот держите готовое решение

(Оффтоп)

Имеем функцию $\psi(0)=2\sin(\frac{\pi}{3}x)$. Из неё надо получить функцию $\psi(t)=2\sin(\frac{\pi}{3}x)\exp(-i \cdot \frac{5\pi^2}{9}t)$, используя только гамильтониан $\hat{H}= -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}= -5\hbar \frac{d^2}{dx^2}$. Вычисляем производные
$\dot \psi(0) = -\frac{i}{\hbar}\hat{H}\psi = -\frac{i}{\hbar}(-5\hbar \frac{d^2}{dx^2}(2\sin(\frac{\pi}{3}x))) = -\frac{10i\pi^2}{9} \sin(\frac{\pi}{3}x) $

$\ddot \psi(0) = -\frac{i}{\hbar}\hat{H} \dot\psi = -\frac{50\pi^4}{81} \sin(\frac{\pi}{3}x)$

$\dddot \psi(0) = -\frac{i}{\hbar}\hat{H} \ddot\psi = \frac{250i\pi^6}{729} \sin(\frac{\pi}{3}x)$.
Теперь составляем ряд Тейлора $\psi(t)= \psi(0) + \dot\psi(0)\cdot t + \frac{1}{2}\ddot\psi(0)\cdot t^2 + \frac{1}{6}\dddot\psi(0)\cdot t^3 +...$. Всё подставляем и получаем $\psi(t)= (1 -\frac{5i\pi^2}{9}t -\frac{25\pi^4}{162}t^2+ \frac{125i\pi^6}{4374}t^3+...)2\sin(\frac{\pi}{3}x)$. Выражение в скобках равно $(1 -\frac{5i\pi^2}{9}t -\frac{25\pi^4}{162}t^2+ \frac{125i\pi^6}{4374}t^3+...)= \exp(-\frac{5i\pi^2}{9}t)$. Итого получаем $\psi(t)=\exp(-\frac{5i\pi^2}{9}t)2\sin(\frac{\pi}{3}x)$ , что и требовалось.

[pppppppo_98]

Остаётся только рукоплескал осмию.. у меня бы творческого запала не хватило набить столько тегов в латехе... Даже не смотря на то что значительная часть копипаст...

-- Вт окт 08, 2024 16:54:13 --

Утундрий в сообщении #1657838 писал(а):

А зачем ему хоть что-то понимать? У него есть программа. Программа рисует кнопки на экране. Он нажимает кнопки мышкой и таки имеет с того доход.

Ну кстати у него в картинках появляются органические молекулы с десятком атомов, некоторые явно симетричны ... Квантовомеханические расчеты спектров этих молекул уже нетривиальная задача. И применение симметрий при постановке задаче( о чем ему тогда говорил Cos( x-pi/2) может существенно сократить время и трудозатраты даже при написании кнопочек.

[B3LYP]

Osmiy в сообщении #1657853 писал(а):

Теперь составляем ряд Тейлора

Я потом подумаю над вашей формулой, а пока хочу спросить: можно ли точно такой же подход (ряд Тейлора) использовать для классической механики. Может вопрос банальный, мне лень пока скрипеть мозгами.
Я уже писал неоднократно на форуме, сформулирую ещё раз свою мысль. Предположим, нам надо рассчитать траекторию планет, движущихся вокруг звезды. Если планета одна, можно найти аналитическое решение (эллипс); если же планет много, крайне сложно найти какую-то финальную формулу (см. Задача трёх тел). В то же время эту задачу легко решить итерационно: взять интервал времени $\delta t$, пошагово просчитывать координаты тел через законы Ньютона. Это математически очень просто, может закодить и школьник; и любому школьнику понятно, что чем меньше $\delta t$, тем выше точность. Показательно что для одной планеты этот итерационный подход хуже аналитического, а для большого количества планет - лучше.
Если можно эту задачу классической механики решить через ряды Тейлора, на это будет уходить больше вычислительных ресурсов, чем с описанным банальным итерационным подходом?

[Утундрий]

B3LYP в сообщении #1657970 писал(а):

Это математически очень просто, может закодить и школьник

Попробуйте протестировать этот подход на банальной задаче Кеплера. Вас ожидает море малоприятных сюрпризов. Хотя чего это я... на ещё более банальном гармоническом осцилляторе протестируйте.

[Osmiy]

B3LYP в сообщении #1657970 писал(а):

Я уже писал неоднократно на форуме, сформулирую ещё раз свою мысль. Предположим, нам надо рассчитать траекторию планет, движущихся вокруг звезды. Если планета одна, можно найти аналитическое решение (эллипс); если же планет много, крайне сложно найти какую-то финальную формулу (см. Задача трёх тел). В то же время эту задачу легко решить итерационно: взять интервал времени $\delta t$, пошагово просчитывать координаты тел через законы Ньютона. Это математически очень просто, может закодить и школьник; и любому школьнику понятно, что чем меньше $\delta t$, тем выше точность. Показательно что для одной планеты этот итерационный подход хуже аналитического, а для большого количества планет - лучше.
Если можно эту задачу классической механики решить через ряды Тейлора, на это будет уходить больше вычислительных ресурсов, чем с описанным банальным итерационным подходом?

Во-первых, когда компьютер считает синусы, косинусы, экспоненты, он считает их через ряды Тейлора. Они защиты прямо в арифметический блок процессора. Поэтому любая сложная расчетная программа уже использует ряды Тейлора.
Во-вторых, даже банальная итерационная схема, известная любому школьнику, $y_1=y_0+y_0' \cdot \delta t$- это тоже ряд Тейлора, самый минимальный. Чем меньше членов ряда, тем меньше надо делать шаг, тем больше нужно сделать итераций. Чем длиннее взят ряд Тейлора, тем больше можно сделать шаг и меньше итераций. Так что скорость вычислений в среднем будет одинаковой. Проблемой является нарастание ошибок округления. Их решают путём использования длинной арифметики и уменьшения шага итерации, что приводит к замедлению расчетов.

[Утундрий]

Osmiy в сообщении #1657973 писал(а):

Чем меньше членов ряда, тем меньше надо делать шаг, тем больше нужно сделать итераций. Чем длиннее взят ряд Тейлора, тем больше можно сделать шаг и меньше итераций. Так что скорость вычислений в среднем будет одинаковой. Проблемой является нарастание ошибок округления. Их решают путём использование длинной арифметики и уменьшения шага итерации, что приводит к замедлению расчетов.

Как видно, в вычислительной математике вы понимаете не больше ТС. Вообще-то, это серьёзная дисциплина и вряд ли стоит подменять её сколоченными на коленке домыслами.

[pppppppo_98]

B3LYP в сообщении #1657970 писал(а):

В то же время эту задачу легко решить итерационно: взять интервал времени $\delta t$, пошагово просчитывать координаты тел через законы Ньютона. Это математически очень просто, может закодить и школьник; и любому школьнику понятно, что чем меньше $\delta t$, тем выше точность.

вы уважаемый снова не понимаете о чем говорите... В задаче трех тел возникает динамический хаос, и сколько бы школьники под вашим чутким руководством не составляли программы , начиная с некоторого момента расчетные траектории движения перестанут соостветствовать реальным, ибо малые ошибки в процессе расчетов приводят к катастрофическому падению точности когда система находится в режиме бифуркации. В задачах типа планетной системы когда есть центральное тело огромной массы и куча планет (малых материальных )на значительных расстояниях друг от ддруга система более менее устойчива (антропный принцип - мы существуем), но не тогда когда массы примерно одинаковы, и расстояния относительно невелики. Кстати задача устойчивости СС пока не решена.. Если найдете Горькавого он вам лучше расскажет ньюнесы

-- Ср окт 09, 2024 13:44:25 --

Утундрий в сообщении #1657971 писал(а):

Попробуйте протестировать этот подход на банальной задаче Кеплера. Вас ожидает море малоприятных сюрпризов. Хотя чего это я... на ещё более банальном гармоническом осцилляторе протестируйте.

на двугорбой яме с энергией равной горбу и малым стозастическим генертором

[B3LYP]

Osmiy в сообщении #1657973 писал(а):

Во-вторых, даже банальная итерационная схема, известная любому школьнику, $y_1=y_0+y_0' \cdot \delta t$- это тоже ряд Тейлора, самый минимальный. Чем меньше членов ряда, тем меньше надо делать шаг, тем больше нужно сделать итераций. Чем длиннее взят ряд Тейлора, тем больше можно сделать шаг и меньше итераций. Так что скорость вычислений в среднем будет одинаковой. Проблемой является нарастание ошибок округления. Их решают путём использования длинной арифметики и уменьшения шага итерации, что приводит к замедлению расчетов.

Ответил тут:

post1658121.html

[zgemm]

(Оффтоп)

Osmiy в сообщении #1657973 писал(а):

Во-первых, когда компьютер считает синусы, косинусы, экспоненты, он считает их через ряды Тейлора.

Уже давно принято считать через кордики и Ньютоны ибо быстрее. Иногда бывает микс всего и вся включая Тейлора, но это бывает только для двойной и четверной точности. Для одинарной, половинчатой и еще какой дробной - Тейлор проигрывает по скорости и/или числу транзисторов.