О понятии центростремительной силы

[Cos(x-pi/2)]

Утундрий в сообщении #1656086 писал(а):

Вообще-то, это тоже нужно выводить. Или из матричного автоморфизма, или из кватернионного (по вкусу).

Утундрий, я тугодум, и не всегда могу разобраться, где Вы шутите, а где говорите серьёзно.

[Утундрий]

Cos(x-pi/2)
Я серьёзно. Эта формула не с дерева упала. Её тоже можно и нужно вывести.

[Cos(x-pi/2)]

Мне казалось, что достаточно элементарным геометрическим рассмотрением поворота произвольного вектора $\mathbf{r}$ на малый угол $\Delta\varphi$ вокруг произвольной оси, задаваемой единичным вектором $\mathbf{n},$ убедиться, что изменение $\Delta \mathbf{r}$ вектора $\mathbf{r}$ в первом порядке малости равно $\Delta\varphi\,[\mathbf{n}\times\mathbf{r}].$ Затем делим на приращение времени $\Delta t$ и учитываем, что $\boldsymbol{\omega}=\lim \frac{\Delta\varphi \,\mathbf{n}}{\Delta t}$ при $\Delta t \to 0.$ Т.е., если $\mathbf{r}$ вращается с угловой скоростью $\boldsymbol{\omega},$ то $\dot{\mathbf{r}}=[\boldsymbol{\omega}\times \mathbf{r}].$

[Утундрий]

Ну, или так. Хотя имеются гораздо более элегантные способы.

[drzewo]

Доказательство формул Пуассона ($\boldsymbol {\dot e}_i=[\boldsymbol\omega,\boldsymbol e_i]$) зависит от того, как вводится угловая скорость

[realeugene]

EUgeneUS в сообщении #1656083 писал(а):

Смутно припоминаю, что на каком-то семинаре эта тонкая разница между СО (где отсчитываем радиус-вектор) и СК (где записываем координаты векторов) объяснялась. Но это была инициатива семинариста, АФАИР.

Вообще-то, когда написано вот так вот:

drzewo в сообщении #1655867 писал(а):

$Ay^1y^2y^3$

указана точка начала отсчёта, и можно отсчитывать от неё и радиус-вектора.

У меня есть устойчивое впечатление, что различие между системами координат и системами отсчёта на 90% философско-терминологическое. Каждый выдумывает себе наиболее правильное определение и начинает учить окружающих, что его определение различия самое правильное.

[EUgeneUS]

realeugene

Если у нас есть СК, то ничто не мешает отсчитывать радиус-вектор от её начала, и использовать как СО. (Но ничего и не заставляет так делать).
И наоборот, если есть СО, то ничто не мешает ввести там координаты (если вдруг их ещё не ввели).

realeugene в сообщении #1656131 писал(а):

У меня есть устойчивое впечатление, что различие между системами координат и системами отсчёта на 90% философско-терминологическое.

Это на 100% вопрос терминологический. Причем есть некая устоявшаяся терминология.
Например, "инерциальная система отсчета" - общеупотребительный термин. А термин "инерциальная система координат" отсутствует.

[realeugene]

EUgeneUS в сообщении #1656136 писал(а):

Если у нас есть СК, то ничто не мешает отсчитывать радиус-вектор от её начала, и использовать как СО. (Но ничего и не заставляет так делать).
И наоборот, если есть СО, то ничто не мешает ввести там координаты (если вдруг их ещё не ввели).

Вот и вы сейчас тоже придумываете какую-то разницу, видимо, исходя из идеи, что геометрию можно строить и без координат, но все эти математические тонкости, как мне кажется, нерелевантны для ньютоновской механики. Во вращающейся системе отсчёта, например, есть естественные цилиндрические координаты, а когда заданы координаты, тем более, задана и нулевая точка начала отсчёта.

Равно мне кажется профдеформацией и попытка перенести теормех на классическую ныне школьную ньютоновскую механику, настаивая, что этот подход единственно верный. Немного другая терминология, другие методы решения задач.

[drzewo]

(Оффтоп)

Вот еще один вопрос на понимание инвариантного существа формул. Имеется твердое тело с неподвижной точкой $O$ и оно как-то крутится с угловой скоростью $\boldsymbol \omega(t)$ относительно системы координат $Ox^1x^2x^3$.
Как известно, кинетическая энергия выражается формулой $T=\frac{1}{2}(J_O\boldsymbol\omega,\boldsymbol\omega)$, где $J_O$ -- оператор инерции тела относительно точки $O$.
Оказывается, $\dot T=(J_O\boldsymbol{\dot\omega},\boldsymbol\omega).$ Точкой обозначена производная по времени в системе $Ox^1x^2x^3$.
Возникает вопрос: а где производная от матрицы $J_O$, ведь тело движется, его положение относительно осей меняется и в системе $Ox^1x^2x^3$ должно быть $J_O=J_O(t)$?
Чисто кинематический вопрос.

[lel0lel]

(Оффтоп)

drzewo
Потому что $(\dot J_O\boldsymbol\omega,\boldsymbol\omega)=0$. Коллинеарная угловой скорости компонента полного момента силы содержится в векторе $J_O\boldsymbol{\dot\omega}$. Для обоснования тоже подразумевается переход в поворачивающуюся систему координат, в которой $\dot J_O=0$ ?

[drzewo]

(Оффтоп)

lel0lel в сообщении #1656216 писал(а):

Потому что $(\dot J_O\boldsymbol\omega,\boldsymbol\omega)=0$. Коллинеарная угловой скорости компонента полного момента силы содержится в векторе $J_O\boldsymbol{\dot\omega}$.

не понял

lel0lel в сообщении #1656216 писал(а):

Для обоснования тоже подразумевается переход в поворачивающуюся систему координат, в которой $\dot J_O=0$ ?

да

[EUgeneUS]

realeugene в сообщении #1656145 писал(а):

Вот и вы сейчас тоже придумываете какую-то разницу, видимо, исходя из идеи, что геометрию можно строить и без координат, но все эти математические тонкости, как мне кажется, нерелевантны для ньютоновской механики.

1. Теоретическая механика - это и есть изложение ньютоновской механики.
2. Даже готов согласиться, что СО и СК - это одно и то же. И не обязательно делать разницу. А разница в терминологии "исторически сложилась".
3. Но Вы же должны согласиться, что "построить радиус-вектор и другие кинематические векторы" и "разложить какой-нибудь вектор по базису" - это разные действия, и могут выполняться в разных СО\СК.

realeugene в сообщении #1656145 писал(а):

Равно мне кажется профдеформацией и попытка перенести теормех на классическую ныне школьную ньютоновскую механику, настаивая, что этот подход единственно верный. Немного другая терминология, другие методы решения задач.

Вот Вы тоже какую-то собственную терминологию вводите.
"Классическая ньютоновская механика" - это теория, а не её изложение в средних во всех смыслах школах.

-- 27.09.2024, 06:43 --

drzewo

(Оффтоп)

drzewo в сообщении #1656218 писал(а):

lel0lel в сообщении #1656216

писал(а):
Для обоснования тоже подразумевается переход в поворачивающуюся систему координат, в которой $\dot J_O=0$ ?
да

ИМХО.
Непонимание, с которым Вам приходится сталкиваться (насколько понял - регулярно), связано не с непониманием инвариантности векторных формул.
Сам по себе факт независимости вектора от базиса, по которому он раскладывается, - вполне интуитивно понятен.

Непонимание возникает из-за перегруженности терминологии:
1. Сначала отождествляется СО и СК (например, как у Болотина и др., цитату приводил выше).
2. А потом под "переходом в другую СК" понимается разложение вектора по другому базису.
3. При том, что в общей физике под "переходом в другую СО" понимается переход к другому радиус-вектору и, соответственно, всё другие кинематические векторы тоже другие.

[realeugene]

Координаты, в которых $\boldsymbol\omega=0$, не подойдут?

[realeugene]

EUgeneUS в сообщении #1656222 писал(а):

1. Теоретическая механика - это и есть изложение ньютоновской механики.
2. Даже готов согласиться, что СО и СК - это одно и то же. И не обязательно делать разницу. А разница в терминологии "исторически сложилась".
3. Но Вы же должны согласиться, что "построить радиус-вектор и другие кинематические векторы" и "разложить какой-нибудь вектор по базису" - это разные действия, и могут выполняться в разных СО\СК.

Сейчас будет немного философии.

Все изучали в школе (должны были изучать) первый закон Ньютона. Скопирую его сюда из Википедии:

Цитата:

Существуют такие системы отсчёта, называемые инерциальными, относительно которых материальные точки, когда на них не действуют никакие силы (или действуют силы взаимно уравновешенные), находятся в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения.

Этот закон постулирует существование выделенных СО/СК, которые существуют, причём, существуют не в формальном математическом смысле, а в реальности, которую изучает физика. В этом разница между физикой и математикой. Из-за этой разницы смыслов одна и та же обозначенная привычными словами операция, вроде замены координат, может в одном случае приводить к изменению вектора как физического свойства реального объекта, а в другом к его постоянству как математического объекта.

И плохи те учителя, которые это не понимают.

[EUgeneUS]

realeugene
СО, СК, числа, векторы вообще и векторы скорости и ускорения, тензоры вообще и тензоры напряжений и так далее и тому подобное - это всё абстракции. Ничего из этого в реальном мире не существует.
Абстракция в рамках физической модели отличается от абстракции чисто математической только в одном: для физической абстракции как-то предполагаются какие-то правила сопоставления свойств реальных объектов с этими абстракциями.
Поэтому сущесвование ИСО в первом законе Ньютона - это именно существование в абстрактном смысле, а не существование в реальном мире, как вещь.