кортежи последовательных простых. ключ к 19-252

[Yadryara]

vicvolf, Bы можете пока просто сказать чему равен $C$ для кортежа 3-12, то есть $p, p+6, p+12$ или его очень сложно вычислить?

[Yadryara]

Интересно, что для количества всех 3-12 такое значение

$$C=9\prod_{p\geqslant5}^{\infty}\frac{p^2(p - 3)}{(p - 1)^3}\approx 5.716497191438$$

даёт хорошие приближения. Например, для $10^{10}$ факт — 5427928 штук, а по формуле — 5430584.

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #1646004 писал(а):

Посмотрите в первой ссылке рассматривается кортеж $p, p+m_1,p+m_2,...p+m_k$, а во второй - $p,p+2m_1,p+2m_2,...,p+2m_k$, а формулы для коэффициентов количества кортежей $C$ - одинаковые. В третье ссылке, в качестве примера, формулы (1),(2),(3),(4) для количества кортежей $p,p+2$ и $p,p+4$ имеют одинаковые коэффициенты $C$.

Вот в свете этого хорошо бы проверить программно, хотя бы до $10^{10}$:

vicvolf в сообщении #1645922 писал(а):

количество "чистых" кортежей $5-30$, $5-60$

[Yadryara]

vicvolf, программно проверить несложно, только Вы паттерны не привели.

Если мы говорим 3-60, 9-84, 15-180 или 19-252, то не приводим паттерн по той простой причине, что во всех этих случаях подразумевается, что кортеж симметричный и паттерн единственный.

[vicvolf]

Если можно, то $p,p+6,p+12,p+18,p+30$ и $p,p+12,p+24,p+36,p+60$.

[Yadryara]

Держите:

allocatemem(10^9);
{print();v=[0,6,12,18,30];d=v[#v]; nn=vector(v[#v]); t0=getwalltime();
for(n=0,99, pp=primes([n*1e8,(n+1)*1e8+d]); b=1;for(ip=1,#pp, p=pp[ip];
while(b<=#pp && pp[b]-p<d, b++); if(b>#pp, break);
if(pp[b]-p!=d
|| !setsearch(pp[ip..b],p+v[2])
|| !setsearch(pp[ip..b],p+v[3])
|| !setsearch(pp[ip..b],p+v[4])
, next); nn[b-ip+1]++;
);
b=#nn; while(b>#v && nn[b]==0, b--);

print(n+1," e8: nn=",nn[#v..b],", sum= ",vecsum(nn),", time: ",strtime
(getwalltime()-t0));print(););
print();
}quit;

Количество чистых кортежей — первое в квадратных скобках. Затем замените v=[0,6,12,18,30]; на v=[0,12,24,36,60]; и снова запустите.

Если у Вас Винда х64, то отработает за считанные минуты. Если х32, как у меня, то по 2 часа на паттерн.

[vicvolf]

Спасибо!

$p,p+6,p+12,p+18,p+30$
e8: nn=[21950, 15208, 3394, 282, 11], sum= 40845, time: 5min, 24,881 ms
$p,p+12,p+24,p+36,p+60$
e8: nn=[5664, 12829, 12267, 6944, 2335, 509, 82, 13, 1, 1, 0, 1], sum= 40646, time: 5min, 16,417 ms
$p,p+6,p+12,p+18$
e8: nn=[283353, 75711, 3153, 1], sum= 362218, time: 5min, 13,841 ms
$p,p+12,p+24,p+36$
e8: nn=[120872, 149707, 71913, 16905, 2022, 116, 4, 2], sum= 361541, time: 5min, 20,158 ms

[Yadryara]

Ну вот, в 40 раз быстрее чем у меня!

Как видите, количество чистых ещё как отличается. А количество всех опять очень близко: 40845 и 40646.

vicvolf в сообщении #1646039 писал(а):

e8: nn=[21950,

Так не e8, а 100 е8 должно быть. Или 1 е10. Исправляли программу, а печать не поправили?

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #1646021 писал(а):

$p,p+6,p+12,p+18,p+30$ и $p,p+12,p+24,p+36,p+60$.

Это тоже простые кортежи. Они проходят по модулям 3 и 5. Вообщем подтвердилось одинаковое асимптотическое количество простых кортежей $p, p+m_1,p+m_2,...p+m_k$, и $p,p+2m_1,p+2m_2,...,p+2m_k$. Это справедливо для всех простых кортежей, в том числе для $k=19$.

[Yadryara]

Нашёл базовые константы вплоть до 5-к:

C2 = 0.6601618158468695739278121100
C3 = 0.6351663546042712072066965913
C4 = 0.3074948787583270931233544861
C5 = 0.4098748850882364744787812123

Для количества всех и для определённых диаметров 5-к такое значение

$$C=\frac{15^4}{2^{10}}\prod_{p\geqslant7}^{\infty}\frac{p^4(p - 5)}{(p - 1)^5}\approx 20.26358989999$$

даёт хорошие приближения. Например, для 5-30:

10^        HL-1         Fact  Pogresh.

5          79.584908      22   2.62
6         128.98695       63   1.05
7         346.40148      307   0.128
8        1422.0071      1400   0.0157
9        7230.2183      7216   0.00197
10      40802.734      40845  -0.00103
11     245714.74     
12    1553397.0   
13   10214488 
14   69412251 
15   4.8508997 e8   
16   3.4730272 e9   
17   2.5395272 e10   
18   1.8917327 e11   
19   1.4325831 e12   
20   1.1009578 e13   
21   8.5736631 e13   
22   6.7570152 e14   
23   5.3834449 e15   
24   4.3318113 e16   
25   3.5174005 e17   
26   2.8800498 e18

vicvolf, раз у Вас так быстро считается, посчитайте этот же Ваш паттерн 5-30 подальше, до $10^{11}$ или до $10^{12}$, сравним с прогнозом.

[Yadryara]

Уточню, какие константы я назвал базовыми:

$$C2=\prod_{p\geqslant3}^{\infty}\frac{p^1(p - 2)}{(p - 1)^2}\approx 0.6601618158468695739278121100$$

$$C3=\prod_{p\geqslant5}^{\infty}\frac{p^2(p - 3)}{(p - 1)^3}\approx 0.6351663546042712072066965913$$

$$C4=\prod_{p\geqslant5}^{\infty}\frac{p^3(p - 4)}{(p - 1)^4}\approx 0.3074948787583270931233544861$$

$$C5=\prod_{p\geqslant7}^{\infty}\frac{p^4(p - 5)}{(p - 1)^5}\approx 0.4098748850882364744787812123$$

И нам их надо бы посчитать до

$$C19=\prod_{p\geqslant23}^{\infty}\frac{p^{18}(p - 19)}{(p - 1)^{19}}$$

Не уверен насчёт $p\geqslant23$.

Затем ещё надо будет разобраться с множителями. Откуда я взял множитель $\frac{15^4}{2^{10}}$ ? Не с потолка, конечно. Но как их вычислять, я пока не разобрался. Кто понимает?

Если разберёмся и с множителями, будем знать количество всех кортежей 19-252 для самых разных диапазонов.

vicvolf в сообщении #1646056 писал(а):

Вообщем подтвердилось одинаковое асимптотическое количество простых кортежей $p, p+m_1,p+m_2,...p+m_k$, и $p,p+2m_1,p+2m_2,...,p+2m_k$. Это справедливо для всех простых кортежей, в том числе для $k=19$.

Надо бы уточнить, что Вы говорите о всех кортежах (и чистых и грязных). В этом случае, видимо, справедливо более сильное утверждение:

Количество всех зависит от диаметра, но не от паттерна.

А как зависит? А вот как:

Yadryara в сообщении #1645804 писал(а):

Так что зависимость количества всех кортежей от простых делителей диаметра такая:

 2,3    5    7   11   13

 100  200  150  125  120

Если диаметр делится только на простые 2 и 3, то количество всех минимальное. Его я приравнял к 100.
Если диаметр делится не только на простые 2 и 3, но ещё и на 5, то количество всех вдвое больше минимального, приравнено к 200.
Если диаметр делится не только на простые 2 и 3, но ещё и на 7, то количество всех в 1.5 раза больше минимального.
Если диаметр делится не только на простые 2 и 3, но ещё и на 11, то количество всех в 1.25 раза больше минимального.
Если диаметр делится не только на простые 2 и 3, но ещё и на 13, то количество всех в 1.2 раза больше минимального.

[Dmitriy40]

Yadryara в сообщении #1646077 писал(а):

Количество всех зависит от диаметра, но не от паттерна.

Не согласен, вот реальные количества всех (и чистых и грязных) до 1e13 для трёх паттернов 7-108: 399276, 265824, 354380. И оно прекрасно соответствуют количествам до 13#: 288, 192, 256, что и не удивительно, ведь дальше множители для всех трёх одинаковые.
А для паттернов 7-120 расчётные количества 19#: 26880, 35840, 27648, 46080, 27648, 73728, 27648, 23040, 34560, 23040, 30720, 23040, 34560, 30720. Отличия в $73728/23040=3.2$ раза! А значит и для реальных количеств кортежей отличия тоже будут более чем втрое. И ни на какой бесконечности оно очевидно не нивелируется.
Для паттернов 9-120 отличие для 19# $19200/6400=3$ раза.
Отличие втрое никак не могу назвать совпадающим.
И при отличии чисел более чем втрое говорить об коэффициентах 1.2-1.25-1.5 уже бессмысленно.

[Yadryara]

Значит моё предположение неверно, спасибо. Я ведь считал эти множители 2 - 1.5 - 1.25 - 1.2 только для многих 3-к, причём для симметричных троек паттерн всегда один. А для 5-к брал разные, но подобные паттерны с удвоенными и утроенными гэпами:

Yadryara в сообщении #1645139 писал(а):

Pat/10^      8         9         10

5-120     5523     28917     162852
5-240     5538     28641     163187
5-360     5446     28495     163027

vicvolf вчера тоже взял паттерны с удвоенными гэпами, в том числе и несимметричный. И тоже сработало для всех кортежей.

[vicvolf]

Yadryara в сообщении #1646069 писал(а):

vicvolf, раз у Вас так быстро считается, посчитайте этот же Ваш паттерн 5-30 подальше, до $10^{11}$ или до $10^{12}$, сравним с прогнозом.

1000 e8: nn=[141928, 85654, 17080, 1241, 30], sum= 245933, time: 48min, 54,106 ms - очень высокая точность прогноза. Так что данную гипотезу можно использовать для прогноза и больших кортежей.

[Yadryara]

vicvolf
Очень быстро! Вот теперь я прям рад, что Вы в теме.

vicvolf в сообщении #1646108 писал(а):

очень высокая точность прогноза

Давайте покажу:

10^        HL-1         Fact  Pogresh.

5          79.584908      22   2.62
6         128.98695       63   1.05
7         346.40148      307   0.128
8        1422.0071      1400   0.0157
9        7230.2183      7216   0.00197
10      40802.734      40845  -0.00103
11     245714.74      245933  -0.000887
12    1553397.0

vicvolf в сообщении #1646108 писал(а):

Так что данную гипотезу можно использовать для прогноза и больших кортежей.

Кстати, прогноз по этим же паттернам, 5-120, 5-240, 5-360 получается простым учетверением множителя, то есть беру не $\frac{15^4}{2^{10}}$, а $\frac{15^4}{2^{8}}$ :

10^        HL-1         Fact  Pogresh.

8        5688.0285      5523   0.0299
9       28920.873      28917   0.000134
10     163210.93      162852   0.00220
11     982858.96   
12    6213587.8   
13   40857951

Ну и та же просьба: посчитать подальше любой из этих трёх паттернов с равными гэпами. Относительная погрешность, видимо, снова уменьшится.

А как считать другие, более длинные паттерны? Множители пока под вопросом.