Если можно, я формулирую мою проблему. Уравнения и текущие выводы к каждому Шагу помечены числами в скобках, например, (23), чтобы было ещё легче критиковать.
Дано: ![$x^p+y^p=z^p$ $x^p+y^p=z^p$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/0/c/40ccedfeafdc9fb368a52425cd15475782.png)
, (1). Поскольку существующими правилами форума предписано иметь
![$p=3$ $p=3$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/9/c/39cd1e5f222b0b87f4a26f8b97296bd282.png)
, то мы имеем
![$x^3+y^3=z^3$ $x^3+y^3=z^3$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/7/8/a7894bcb34304fa5dde145d2a56776db82.png)
, (2), где предполагается, что ненулевые взаимно простые числа x, y, z, принадлежат Z, (3),
![$p>2$ $p>2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/5/2e56048504a7c156e1fe8fb5a14aec9e82.png)
, (4). Требуется доказать или опровергнуть такое предположение, (3), при условии (4). Формулы Эвклида с учётом m и n одинаковой чётности для сторон прямоугольного треугольника, где A и B –катеты, C-гипотенуза:
![$A=epsilon\cdot(m^2-n^2)$ $A=epsilon\cdot(m^2-n^2)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/2/f/d2f5a7a356d7b9ff1791f94e2646a85b82.png)
, (5),
![$B=2\cdot epsilon\cdot(m)\cdot(n)$ $B=2\cdot epsilon\cdot(m)\cdot(n)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/4/f/b4fd0adc510ab6ffe74e66187206131382.png)
, (6),
![$C=epsilon\cdot (m^2+n^2)$ $C=epsilon\cdot (m^2+n^2)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/4/4/f44c2b9ecf7521848b6722833f7d9f9282.png)
, (7), при
![$epsilon=1/2$ $epsilon=1/2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/c/b/1cbceeb6496a3fc212298229b757130282.png)
, (8).
Решение:
Шаг 1. Поскольку метод от противного при доказательстве ВТФ предписывает предположить/рассматривать только условия (3), при соблюдении условия (4), то можно записать
![$m=x+y$ $m=x+y$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/c/a9c83f2b3df9d077f9f431f49e9dc6cf82.png)
, (9),
![$n=z=(x^3+y^3)^{1/3}$ $n=z=(x^3+y^3)^{1/3}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/b/1/6b10a064ccfdcc9d729c016cb6f3794782.png)
, (10), ), где m и n тоже Є Z, (11).
Шаг 2. Поскольку, целые m и n определяют целочисленные длины сторон прямоугольного треугольника-Пифагоровы Тройки (по определению), то A, B, C являются только Пифагоровыми Тройками, (12), причём, только примитивными Пифагоровыми Тройками, (13), т.к., взаимно простые числа x, y, z могут определить/дать только нечётные m и n ,(14), одинаковой чётности, правильнее сказать - одинаковой нечётности.
Шаг 3. Поскольку уравнение ВТФ относится к Диофантовым уравнениям, учитывая результаты Шага 2, казалось бы, должно подразумеваться, что уравнение (10) должно иметь вид
![$n=z=(x^2+y^2)^{1/2}$ $n=z=(x^2+y^2)^{1/2}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/d/2/6d2351c4278855a3301df764197bb71282.png)
, (15), чтобы избежать противоречия Шагу 2 и исходным условиям (3) и (4).
Шаг 4. Однако, если считать результаты Шага 3 истинными, то появляется необходимость принять, что: а) сами x, y, z должны быть Пифагоровыми Тройками, (16), при б)
![$p=2$ $p=2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/0/2/90264925fb137831c8f410cd14c75cff82.png)
, но оба этих результата противоречат исходным условиям (3) и (4) тоже. Действительно, только Пифагоровы Тройки дают целые числа для уравнений, типа, (15), как например, для Пифагоровой Тройки 3, 4, 5, имея
![$m=3+4=7$ $m=3+4=7$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/4/d/e4d188cba7562d24feaa6f136270950382.png)
, (17),
![$n=(3^2+4^2)^{1/2}=5$ $n=(3^2+4^2)^{1/2}=5$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/f/0/2f0a6c069295563494e3fef73677683282.png)
, (18), катет B будет целым:
![$B=7\cdot5=35$ $B=7\cdot5=35$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/4/0/34035732864ef333a697486269095eed82.png)
, (19). Любые целые числа x и y, не составляющие какую-то Пифагорову Тройку, не будут давать целые числа для катетов B, как и для числа n, (20), даже при
![$p=2$ $p=2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/0/2/90264925fb137831c8f410cd14c75cff82.png)
, (21). Например, для
![$x=2$ $x=2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/5/f/35f90009ee25795d1c7343df953d384582.png)
,
![$y=1 $ $y=1 $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/5/2/35286cb6cc5ed7bafefdee706753bd4182.png)
и
![$p=2 $ $p=2 $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/b/b/ebb92078b4af43780b0a0d0e7432554e82.png)
число
![$m=2+1=3$ $m=2+1=3$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/1/d/c1de331ece74de683e39b4f666507d0382.png)
и
![$n=(2^2+1^2)^{1/2}=5^{1/2}$ $n=(2^2+1^2)^{1/2}=5^{1/2}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/1/b/a1bb47426b48adff1e771da54ef7e05282.png)
, и мы имеем иррациональное число, (22).
Шаг 5. Катет
![$C=2\cdot(1/2)\cdot m\cdot n=(x+y)\cdot(x^3+y^3)^{1/3}=((x+y)^{3}\cdot(x^3+y^3))^{1/3}$ $C=2\cdot(1/2)\cdot m\cdot n=(x+y)\cdot(x^3+y^3)^{1/3}=((x+y)^{3}\cdot(x^3+y^3))^{1/3}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/3/0/c30e31930d4fc80694de165d4c1c5f1582.png)
, (23), не будет целым числом, принадлежащим домену Z, учитывая результаты Шагов 3 и 4,(24), что вместе с результатами Шага 4, подразумевает существование нецелых m и n, как для степеней
![$p>2$ $p>2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/5/2e56048504a7c156e1fe8fb5a14aec9e82.png)
, так и для степени
![$p=2$ $p=2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/0/2/90264925fb137831c8f410cd14c75cff82.png)
, (25), которые могут быть иррациональными, а также, в общем случае, комплексными .числами и p-адическими целыми, см. Приложения. Для остальных сторон-все расчёты и вывода те же, (26).
Шаг 6.
Возможные ошибки, «дыры», надуманные заявления. Прежде всего бросается в глаза надуманное заявление Шага 3, когда логика прерывается резким переходом к недопустимой степени
![$p=2$ $p=2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/0/2/90264925fb137831c8f410cd14c75cff82.png)
, -вопреки условиям ВТФ,-однако предлагаемый выход из этой ситуации может быть предложен иным ранжированием Шагов и путём использованием нецелых m и n из других числовых доменов, как исходного условия, т.е. бинарная логика: только две возможности существуют, когда x и y-катеты от Пифагоровых Троек в уравнениях ,типа, (10), при
![$p=2$ $p=2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/0/2/90264925fb137831c8f410cd14c75cff82.png)
, ; или любые x и y при p больше или равном 2. Тогда проблема исчезает, как таковая. Возможно, это тоже «дыра», но интересно прочитать её обоснование.
Выводы.
1. Показана возможность использования нецелых чисел m и n в Формулах Эвклида.
2. Вывод 1 и его результаты привели к пока непреодолимым трудностям для автора данного поста в его попытке доказать ВТФ методом получения противоречия и желанию получить разъяснения об ошибках.
P.S.
Если уж дорога неизбежно (?) может лежать в Пургаторий (и последующий Бан), то можно ли, хотя бы, получить объяснения ПРИЛОЖЕНИЯм ниже и дать какие-то литературные источники, если поднятая тема уже известна. Тем более, что Примеров можно нагенерировать сколько угодно. Думается, что это было бы полезно знать всем, чтоб, в случае чего, больше не топтаться на данной поляне. Да и для общего развития...Надеюсь на понимание и благожелательность в этом вопросе.
ПРИЛОЖЕНИЯ.
ПРИМЕР 1.
Прямоугольные треугольники.Катет
![$AC=7$ $AC=7$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/8/d/a8d17f12346211bd8239b41dad361ade82.png)
, катет
![$CB=5 $ $CB=5 $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/4/a/f4aaba48913d237f4e0ea0de1f95f56082.png)
, гипотенуза
![$AB=8,60…$ $AB=8,60…$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/5/0e53e877d72febed53d484eff99b23ef82.png)
определяются иррациональными
![$m=3.949978...$ $m=3.949978...$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/6/e/06e0642cfaee2bc52031be58f846857d82.png)
,
![$n=1.265830 ...$ $n=1.265830 ...$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/0/c/00ccb3ecd4d8f205f484bdffe076ca3982.png)
при epsilon=1/2.
Катет
![$AC=2.80…$ $AC=2.80…$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/2/5/425d077c06224b39f7d974b505d4a01582.png)
, катет
![$CB=12.490…$ $CB=12.490…$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/b/4/6b4c87026284d93135fd7aaa7e71dc8b82.png)
, гипотенуза
![$AB=12.80…$ $AB=12.80…$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/d/a/0da7bbd4ffab46bfc50a4906b40af42682.png)
определяются иррациональными
![$m=3.949978...$ $m=3.949978...$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/6/e/06e0642cfaee2bc52031be58f846857d82.png)
,
![$n=3.161881...$ $n=3.161881...$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/0/3/803b9547db1474e6924bb9e0fdbdfa7982.png)
при epsilon=1/2.
ПРИМЕР 2. Сумма в числовой базе 10:
через p-адические целые в
.В числовой базе 13 сумма может быть записана так:
![$(353^{1/2})^{2}+(1^{1/2})^{2}=(354^{1/2})^{2}$ $(353^{1/2})^{2}+(1^{1/2})^{2}=(354^{1/2})^{2}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/1/f/c1ff21cd4ca057432f1664aac7ffc74182.png)
, где
![$353^{1/2}=...8 4 A 7 4$ $353^{1/2}=...8 4 A 7 4$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/d/d/3ddb2128f7ec82378b5d704cf498f2af82.png)
и
![$...4 8 2 5 9$ $...4 8 2 5 9$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/4/b/b4b6bf60321ee7aa6d27a68f44ce2e4a82.png)
,
![$1^{1/2}=...(0) 1$ $1^{1/2}=...(0) 1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/e/4fed064c29f4b4cf475239d78def668a82.png)
и
![$...(C) C$ $...(C) C$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/2/5/4258c0f4de6869e235bfaa88fb1f7fce82.png)
,
![$354^{1/2}=...(0) 1 B$ $354^{1/2}=...(0) 1 B$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/4/d/64d241a552e773c5c9b987d414cef39682.png)
и
![$...(C) B 2$ $...(C) B 2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/8/a/b8a4028f85d66a8f9ddf61625e52201982.png)
.
Это может быть определено следующими значениями m и n:
![$m_1=…1 9 B C 1$ $m_1=…1 9 B C 1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/8/4/c84ed7b5a38181fc64201a814e6b7fb582.png)
и
![$n_1=…B 3 1 0 7$ $n_1=…B 3 1 0 7$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/6/c/86c04a6592acdd4e1a79bf5ed3f87bcc82.png)
при epsilon=1,
![$m_2=…B 3 1 0 C$ $m_2=…B 3 1 0 C$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/f/3/5f330813541ad7aac04658c79223b65882.png)
и
![$n_2=…1 9 B C 6$ $n_2=…1 9 B C 6$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/7/a/07a5cdfcd18150aa21e5fc684ed8c92382.png)
,
![$m_3=…A 4 4 0 5$ $m_3=…A 4 4 0 5$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/0/e/a0e58beb055d42fe43b88dd1201d5b0b82.png)
и
![$n_3=…3 8 1 B 9$ $n_3=…3 8 1 B 9$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/1/a/01a48e96c23ba059e20729b43759027682.png)
,
![$m_4=…2 8 8 C 8$ $m_4=…2 8 8 C 8$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/7/c/a7cba5f1266ecf20a609c2585845be7382.png)
и
![$n_4=…9 4 B 1 4$ $n_4=…9 4 B 1 4$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/d/1/3d179b957902e1c524946f4f25d9e88a82.png)
.
ПРИМЕР 3. Корни уравнения ВТФ при p=5 для ПРИМЕРА 2.![$x_{21}=(((m_{1 or 2})^{2}-(n_{1 or 2})^{2})^{2})^{1/5}=353^{1/5}=…0 A 3 0 9$ $x_{21}=(((m_{1 or 2})^{2}-(n_{1 or 2})^{2})^{2})^{1/5}=353^{1/5}=…0 A 3 0 9$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/a/a/4aa17e8fcade8fd7a44ed517d2d66b7982.png)
,
![$y_{21}=((2\cdot m_{1 or 2}\cdot n_{1 or 2})^{2})^{1/5}=1^{1/5}=…(0) 1$ $y_{21}=((2\cdot m_{1 or 2}\cdot n_{1 or 2})^{2})^{1/5}=1^{1/5}=…(0) 1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/4/d/d4dd36ffd71aca6623595c10e3e2e4d282.png)
,
![$z_{21}=(((m_{1 or 2})^{2}+(n_{1 or 2})^{2})^{2})^{1/5}=354^{1/5}=…C 9 9 B A$ $z_{21}=(((m_{1 or 2})^{2}+(n_{1 or 2})^{2})^{2})^{1/5}=354^{1/5}=…C 9 9 B A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/8/0/9800e95719e94d1a88a5d3e1ddb60c6e82.png)
.
ПРИМЕР 4. Примитивные кубические корни 1.Уравнение
![$A^2+B^2=C^2$ $A^2+B^2=C^2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/c/5/dc531ae75ba3169aadfd2551ae5c9c3382.png)
, где
![$A=...3 6 1 9_{13}$ $A=...3 6 1 9_{13}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/f/1/1f1acafa92538d4e131a4000eeb6f90a82.png)
,
![$B=...9 6 B 3_{13} $ $B=...9 6 B 3_{13} $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/3/d/73d0a1feba6525a804e7995280daafba82.png)
и
![$...9 6 B 4_{13} $ $...9 6 B 4_{13} $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/f/b/bfb46835b1cab80424aa150dde39af1b82.png)
,
![$...3 6 1 A_{13}$ $...3 6 1 A_{13}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/f/c/bfcb9c5ba3a9de0929076fa2e17ab69b82.png)
есть примитивные кубические корни 1 в
![$Z_{13}$ $Z_{13}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/c/2/6c2673c95e4a15fab1037c4056e4a56382.png)
, а
![$C_{1}=...C B 7 8_{13}$ $C_{1}=...C B 7 8_{13}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/a/9/7a9e18e0e106bcdfe47d55c97a09730282.png)
,
![$C_{2}=...0 1 5 5_{13} $ $C_{2}=...0 1 5 5_{13} $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/1/e/31e7a8f667534bc88c9eaff29b28667982.png)
, т.е., что-то есть
![$+i $ $+i $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/a/d/3ad826d1229caec68966b8db3fed607182.png)
и что-то есть
![$–i$ $–i$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/5/7/957c704f8363486654715d93c3ba9a1282.png)
:
![$m_{1}=...1 C 0 B_{13}$ $m_{1}=...1 C 0 B_{13}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/4/5/d45196dc4d5ff673e72f01b0f6b0605c82.png)
,
![$n_{1}=...6 2 3 5_{13}$ $n_{1}=...6 2 3 5_{13}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/5/8/6584bc883e460df81c95b619d739ca5f82.png)
при
![$epsilon=1/2$ $epsilon=1/2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/c/b/1cbceeb6496a3fc212298229b757130282.png)
,
![$m_{2}=...B 0 C 2_{13}$ $m_{2}=...B 0 C 2_{13}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/6/f/26f4766fcfdcc799daa3804121bd785682.png)
,
![$, n_{2}=...6 A 9 8_{13}$ $, n_{2}=...6 A 9 8_{13}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/f/76f91661eb3953481a86f034cd4cc7b382.png)
,
![$m_{3}=...6 7 2 C_{13}$ $m_{3}=...6 7 2 C_{13}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/c/c/6cca9d365e6a989e973dce5a1059200282.png)
,
![$n_{3}=...7 2 5 A_{13}$ $n_{3}=...7 2 5 A_{13}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/2/a/c2a45ea7101ae5d69bc32f9734a853d282.png)
,
![$m_{4}=...6 5 A 1_{13}$ $m_{4}=...6 5 A 1_{13}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/8/a/98a4c836e6155313bdb55b1e9202c58e82.png)
,
![$n_{4}=...5 A 7 3_{13}$ $n_{4}=...5 A 7 3_{13}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/2/3/0235dab5f1aed01e379ae408ce9efdb082.png)
.
Апрель, 17, 2024.