Однородность параметров СК и ее непонятные последствия

[Лукомор]

Alpha AXP в сообщении #1633623 писал(а):

Вы лучше скажите, что считаете в отношении вот таких корреляций:

Я затрудняюсь посчитать корреляционное отношение этих случайных высказываний.
Возможно, его и вовсе не существует...

[Евгений Машеров]

(Оффтоп)

Лукомор в сообщении #1633609 писал(а):

"Лишняя у попа жена" - есть такая пословица, или поговорка...

Строго говоря, "последняя". Поскольку священникам повторные браки воспрещены.

[Alpha AXP]

Евгений Машеров в сообщении #1633714 писал(а):

(Оффтоп)

Строго говоря, "последняя". Поскольку священникам повторные браки воспрещены.

(Оффтоп)

Если совсем строго говоря, то первая и последняя, что выражается словом "Единственная". Но в пословице, вероятно, имелось ввиду, что именно лишняя, т.к. женщина рожает детей, а их надо воспитывать кормить и отвлекаться на них от служения, также женщина своим присутствием может вызывать вожделение, а своими кулинарными способностями - чревоугодие)

Поэтому давайте не будем отвлекаться на женщин и все-таки вернемся к системам координат)))

Есть еще такое понятие, помню, как линейная независимость базисных векторов или координат, я смутно представляю сейчас, что это такое (только на интуитивном уровне), т.к. проходил мимо этого лет 30 назад. Но мне кажется, что должна быть связь линейной независимости с димензиональной неизбыточностью/достаточностью СК и однозначностью описания. И вот раз уж я здесь в ПРР, то хотелось бы понять, можно ли в трицентрической СК на плоскости определить линейную независимость координат и есть ли она там вообще (в трицентрической СК на плоскости координату точки можно определить через две другие двузначно) и хотелось бы вообще освежить в памяти, что такое линейная независимость, как она связана с ортогональностью, как установить линейную независимость например в полярной СК.

Я так понимаю, что если координату можно однозначно определить через другие, то она от них зависит и нет никакой линейной независимости. Набор координат, которые нельзя выразить друг через друга оборазуют базис линейнонезависимых координат пространства. В евклидовом пространстве базисные вектора ортогональны.

И вообще не понимаю, почему независимость именно линейная, разве есть независимости координат нелинейные?

Это вроде в курсе аналитической геометрии проходили. Судя по всему установить независимость угла и радиус-вектора не получится, т.е. линейную независимость можно установить только для пространства с базисом из векторов без углов и в полярной СК не удастся установить независимость координат? Только ли через векторы можно установить зависимость или независимость координат?

Упс, а я уже и не в ПРР вовсе.

[dgwuqtj]

Alpha AXP в сообщении #1633728 писал(а):

Есть еще такое понятие, помню, как линейная независимость базисных векторов или координат, я смутно представляю сейчас, что это такое (только на интуитивном уровне), т.к. проходил мимо этого лет 30 назад. Но мне кажется, что должна быть связь линейной независимости с димензиональной неизбыточностью/достаточностью СК и однозначностью описания.

Линейная зависимость - это понятие из линейной алгебры, оно относится именно к специальным алгебраическим системам (векторным пространствам). Если вы хотите какой-то аналог для криволинейных координат, то это уже не алгебра, а дифференциальная геометрия или топология. Там говорят не про "независимость" координат, а про свойства координатных (и не только) отображений: локальная изоморфность, иммерсия, субмерсия, ...

У вас есть отображение $\mathbb R^2 \to [0, +\infty)^3$, которое точке сопоставляет расстояния до трёх заданных точек. Оно инъективное и, по идее, является топологическим вложением и иммерсией всюду, кроме самих заданных точек.

[Alpha AXP]

dgwuqtj в сообщении #1633746 писал(а):

Там говорят не про "независимость" координат, а про свойства координатных (и не только) отображений: локальная изоморфность, иммерсия, субмерсия, ...

Как интересно, спасибо.

dgwuqtj в сообщении #1633746 писал(а):

Оно инъективное и, по идее, является топологическим вложением и иммерсией всюду, кроме самих заданных точек.

А не наоборот, иммерсией в заданных точках, кроме всюду?

[dgwuqtj]

А вы знаете определение иммерсии? В особых точках отображение вообще не дифференцируемое.

[Alpha AXP]

dgwuqtj в сообщении #1633752 писал(а):

А вы знаете определение иммерсии? В особых точках отображение вообще не дифференцируемое.

Я предполагал, что мы погружаем $\mathbb R^2 \to [0, +\infty)^3$ и это погружение и есть иммерсия? Т.е. погружаемое внутри принимающего пространства, нет? Т.е. вложение $\mathbb R^2 \to [0, +\infty)^3$ оно же погружение и оно же иммерсия?

[dgwuqtj]

Нет, погружение (оно же иммерсия) - это не обязательно топологическое вложение. Это гладкое в каком-то смысле отображение, у которого дифференциал в каждой точке инъективен (как линейное отображение между касательными пространствами).

[Alpha AXP]

dgwuqtj в сообщении #1633761 писал(а):

Нет, погружение (оно же иммерсия) - это не обязательно топологическое вложение. Это гладкое в каком-то смысле отображение, у которого дифференциал в каждой точке инъективен (как линейное отображение между касательными пространствами).

Все, я поплыл. Для меня понятно, что исполтзование трицентрической СК на полоскости эквивалентно какому-то отображению евклидовой плоскости в октант трехмерного евклидова пространства. Какие бывают отображения для меня темный лес. Что такое гладкое негладкое?. Может еще быть и непрерывное наверное?

Интересно было бы увидеть, какая картинка получится в результате этого отображения в октанте- явно не плоскость. Понял, значит это не вложение плоскости в октант.
Также понял, что отображение- более широкое понятие, чем вложение и погружение. Не понял чем отличается вложение от погружения.
Обратное отображение октанта в плоскость может быть только сюръективным. Но ведь мощность множества точек континуум у обоих, значит между ними должна быть биекция. Или возможны все 3 отображения???

[dgwuqtj]

Образ вашего отображения задаётся уравнением $x^2 y^2 + x^2 z^2 + y^2 z^2 - x^4 - y^4 - z^4 + x^2 + y^2 + z^2 - 1 = 0$. Если сделать замену $a = x^2$, $b = y^2$, $c = z^2$ (то есть вместо расстояний до трёх выбранных точек в вершинах равностороннего треугольника брать их квадраты), то получится $ab + ac + bc - a^2 - b^2 - c^2 + a + b + c - 1 = 0$, это параболоид вращения. А до замены будет поверхность с тремя особенностями.

Alpha AXP в сообщении #1633762 писал(а):

Обратное отображение октанта в плоскость может быть только сюръективным. Но ведь мощность множества точек континуум у обоих, значит между ними должна быть биекция. Или возможны все 3 отображения???

Конечно, там есть какая-то биекция. Но если потребовать, чтобы отображение было хорошее (непрерывное, гладкое, аналитическое, ...), то из октанта в плоскость биекций уже не будет.

[Alpha AXP]

А можете сказать, что такое нерв? И как по современному называется комбинаторная топология?

[dgwuqtj]

Термин "нерв" много в каких смыслах используется, я слышал про нервы покрытий топологических пространств и нервы категорий. Чтобы определять нервы покрытий, вам надо сначала узнать, что такое покрытия и симплициальные комплексы. А комбинаторная топология теперь называется алгебраической, если верить Википедии.

[Alpha AXP]

А Вы не могли бы прочесть малееькую статью на несколтко страничек и дать свое заключение по поводу адекватности изложенного там?

И как Вы считаете, можно ли теоретически определить наиболее вероятную размерность пространства? Это основной вопрос к этой статье.

http://www.chronos.msu.ru/old/RREPORTS/ ... eniya.djvu

-- 23.03.2024, 00:07 --

Мне известно также, что Атья, рабоиающий в области алгебраической топологии, заявлял, что доказал Гипотезу Римана из физических соображений. Его конечно осмеяли, но все же он имеет и общепризнанные достижения.

[dgwuqtj]

Alpha AXP в сообщении #1633794 писал(а):

А Вы не могли бы прочесть малееькую статью на несколтко страничек и дать свое заключение по поводу адекватности изложенного там?

Я вообще не физик, не философ и далёк от аналитических разделов математики. Могу только сказать, что лично я в этой статье ничего не понял.

[Alpha AXP]

dgwuqtj в сообщении #1633798 писал(а):

Alpha AXP в сообщении #1633794 писал(а):

А Вы не могли бы прочесть малееькую статью на несколтко страничек и дать свое заключение по поводу адекватности изложенного там?

Я вообще не физик, не философ и далёк от аналитических разделов математики. Могу только сказать, что лично я в этой статье ничего не понял.

Спасибо.