Основания классического математического анализа.

[Лукомор]

talash в сообщении #1627546 писал(а):

А вот такая комбинация палочек это число?: ||||||||||||||||||
А 0,(3) это число?

Так вот именно об этом я Вас и спрашиваю.
Является ли числом то, что записано в непозиционной системе отсчета,
например римскими цифрами? $DCLXVI$ - это число или с сегодняшнего вечера уже не число?
А $137$ - это число? Или это все же сокращенная запись выражения:
$(1\cdot{B^2}+3\cdot{B^1}+7\cdot{B^0})$,
где $B$ - основание позиционной системы счисления?

[talash]

Нашёл автора, который мне понятен. Книга Дмитрий Граве. Начала Алгебры.

Он пишет:

Цитата:

мы были убѣждены, что строго логическое изложеніе можно совмѣстить съ простотой, доступной для пониманія средняго ученика.

Он вводит иррациональные числа, как очевидные, после рассмотрения бесконечных периодических дробей в десятичной системе счисления:

Цитата:

§ 2. Мы придемъ самымъ простымъ и естественнымъ путемъ къ числамъ ирраціональнымъ, если мы будемъ разсматривать безконечныя десятичныя дроби. Примѣромъ такихъ дробей могутъ служить періодическія десятичныя дроби, разсматривавшіяся въ ариѳметикѣ.

Изъ всего, что извѣстно намъ изъ ариѳметики, мы приходимъ къ заключенію, что положительныя раціональныя числа раскладываются или въ конечныя или въ періодическія десятичныя дроби:

§3. Можно себѣ представить заданную безконечную неперіодическую десятичную дробь. Задать подобную дробь, это значитъ: указать правила, по которымъ можно была бы узнать, какая цифра стоитъ на любомъ указанномъ мѣстѣ. Напримѣръ, дробь

(1) $0,1010010001000010000010...$
можно считать заданною. Единицы стоятъ на первомъ мѣстѣ послѣ запятой, на третьемъ, на шестомъ, на 10-омъ, на 15-омъ и т. д.
...
Дробь (1) неперіодическая, слѣдовательно, она не можетъ быть разложеніемъ раціональнаго числа, она представляетъ числа новой природы.

Опредѣленіе ирраціональнаго числа.

§ 4. Всякая безконечная неперіодическая десятичная дробь представляетъ положительное ирраціональное число. Та же дробь, взятая со знакомъ минусъ впереди, представляетъ отрицательное ирраціональное число.

Тут хитрое определение. Не "иррациональное число это...", а "бесконечная непериодическая десятичная дробь это иррациональное число". Наверное приставали с вопросами типа "а в двоичной системе счисления не может быть иррациональных чисел"? Поэтому, так выкрутился. И правильно сделал, а то можно бесконечно спорить по малозначимым нюансам. Возьму на вооружение.

Число — это одно из основных понятий математики, используемое для количественной характеристики, сравнения, нумерации объектов и их частей. Письменными знаками для обозначения чисел служат цифры, а также символы математических операций. Чаще всего в качестве чисел используют числа в десятичной системе счисления и обыкновенные дроби.

Бесконечная непериодическая десятичная дробь представляет иррациональное число. Правила, определяющие цифры такого иррационального числа, могут быть заданы, например, алгоритмом или с помощью математического выражения.

-- 13.02.2024, 12:32 --

Цитата:

§ 6. Поле IV, о которомъ мы упомянули въ § 1 (стр. 99), будетъ состоять изъ чиселъ, опредѣленныхъ десятичными дробями конечными, періодическими и безконечными неперіодическими,, а также всѣхъ этихъ дробей, взятыхъ со знакомъ минусъ. Если бы мы захотѣли опредѣленіе равенства чиселъ ирраціональ-

ныхъ, данное въ § 5, распространить и на числа раціональныя, опредѣляемыя десятичными дробями, то тутъ встрѣтилось бы одно исключеніе, а именно, дроби съ періодомъ 9 равны конечнымъ дробямъ, напримѣръ,

$0,567 = 0,566999...$

Если мы согласимся не писать дробей съ періодомъ 9, то можно будетъ установить опредѣленіе равенства чиселъ какъ раціональныхъ, такъ и ирраціональныхъ, при помощи тождественности ихъ представленій десятичными дробями.
link

Это исключение портит всю красоту. Как бы от него избавиться?

[epros]

Избавьтесь от десятичных дробей.

[talash]

epros в сообщении #1629404 писал(а):

Избавьтесь от десятичных дробей.

Это основа подхода. Правила математики, должны строиться на интуитивно очевидных вещах.

Десятичные дроби, как и натуральные числа - интуитивно очевидны. Потому что, допустим, мы не знаем математики и нам понадобилась универсальная мера длины. Мы берём нечто очень маленькое, минимальный размер, откладываем его десять раз, затем полученную длину откладываем ещё десять раз, затем вновь полученную длину ещё десять раз и получаем длину примерно в метр. Изготавливаем линейку с делениями. Далее, оказывается, что маленькие размеры мы меряем редко, а большие часто и решаем, что удобнее принять за единицу 1000 минимальных размеров. Вот из хозяйственных нужд и получились десятичные, как целые, так и дробные числа.

Переходя к математике - идеальному миру, мы принимаем, что ряд натуральных чисел неограничен, к любому числу можно прибавить единицу. Это интуитивно очевидно, потому что до некоторого предела мы можем это делать в реальности с реальными предметами, а в воображении мы можем это делать всегда. Но аналогичная идея касается и дробления, мы в реальной жизни можем метр последовательно трижды разделить на 10 делений, а в своём воображении мы всегда можем приблизить линейку и увидеть там новые деления.

Когда, развивая теорию, мы сначала вводим операцию сложения и вычитания на основании инкремента и декремента, затем вводим умножение на основании сложения, затем вводим обратное действие - деление. И при некоторых операциях деления мы получаем бесконечные десятичные дроби и замечаем, что они периодические. Такие бесконечные дроби, а также точные числа, мы называем рациональными, а бесконечные непериодические десятичные дроби называем иррациональными числами.

В какой момент при построении теории нам понадобятся "сечения Дедекинда" и т.п.? Я пока не понимаю.

[warlock66613]

talash в сообщении #1629515 писал(а):

В какой момент при построении теории нам понадобятся "сечения Дедекинда" и т.п.?

Как только понадобится полнота действительной прямой. Если вы например определите ваши числа формулами — формул счётное количество, а для полноты нужен континуум. То же, если определите алгоритмами. Как ни бегайте, а придётся всё-таки дать определение вашим бесконечным десятичным дробям как есть. А определение сделает привязку всей конструкции к десятичным дробям ненужным.

[Mikhail_K]

talash в сообщении #1629515 писал(а):

бесконечные непериодические десятичные дроби называем иррациональными числами

В принципе, можно построить математический анализ на основе определения вещественного числа как бесконечной десятичной дроби. По сравнению с сечениями Дедекинда, однако, это не самый простой, не самый удобный и не самый красивый способ. Некрасивый потому, что в нём выделяется взятое с потолка число $10$ - почему бы не считать вещественные числа бесконечными двоичными или троичными числами - а может быть двенадцатеричными? А что это "одно и то же", сходу совсем не очевидно.

[мат-ламер]

Mikhail_K в сообщении #1629537 писал(а):

А что это "одно и то же", сходу совсем не очевидно.

Пополнение метрического пространства единственно (с точностью до изометрии (которое оставляет неподвижными точки исходного пространства)) (может так )

(Заодно строим теорию действительных чисел, как последовательностей Коши )

[Anton_Peplov]

мат-ламер в сообщении #1629539 писал(а):

Пополнение метрического пространства единственно (с точностью до изометрии) (может так )

Метрика по определению есть функция $X \times X \to \mathbb R$. Прежде чем вводить метрику, нужно ввести действительные числа.

[мат-ламер]

Anton_Peplov в сообщении #1629540 писал(а):

Прежде чем вводить метрику, нужно ввести действительные числа.

Я там, не видя вашего поста, дополнил свой пост предложением:

мат-ламер в сообщении #1629539 писал(а):

(Заодно строим теорию действительных чисел, как последовательностей Коши )

То есть, сначала строим некую новую теорию действительных чисел. Затем уже можем воспользоваться теоремами из теории метрических пространств. Но путь это не короткий. Поэтому сопроводил его смайликом.

Хотя, в принципе, какая-то теория действительных чисел - а именно, действительных чисел, основанных на десятичных дробях, ведь уже у нас есть? Может этого и достаточно?

Однако, в некоторых учебниках анализа (те, что я видел, были для физиков) теория действительных чисел строилась именно через десятичные дроби. Надо будет глянуть.

[epros]

talash в сообщении #1629515 писал(а):

epros в сообщении #1629404 писал(а):

Избавьтесь от десятичных дробей.

Это основа подхода. Правила математики, должны строиться на интуитивно очевидных вещах.

И почему для Вашей интуиции более очевидными оказались вещи, объективно более корявые, чем обыкновенные дроби? Корявость ведь не только в бесконечной последовательности девяток, но и в том, что некоторые вполне вычислимые числа таким образом не выражаются.

talash в сообщении #1629515 писал(а):

Но аналогичная идея касается и дробления, мы в реальной жизни можем метр последовательно трижды разделить на 10 делений

Как-то странно мы упустили из вида, что разделить можно на любое число частей, а не только на 10.

talash в сообщении #1629515 писал(а):

В какой момент при построении теории нам понадобятся "сечения Дедекинда" и т.п.? Я пока не понимаю.

До них ещё далеко. Нам бы для начала разобраться с тем, почему $\frac{1}{3}$ - не число, пока мы не представим его бесконечной десятичной дробью.

[talash]

Нет никакой проблемы при развитии теории переопределить действительные числа. Главное(для интуитивного подхода), чтобы были показаны проблемы старого и преимущества нового определения. Но неправильно(опять-таки для интуитивного подхода), зайдя глубоко в теорию, получить некие результаты, а потом забыть весь путь(интуитивные идеи) с помощью которого эти результаты были получены. Потому что в результате получается интуитивно непонятная наука, где многое нужно принимать на веру или заниматься "реверс инжинирингом", чтобы понять что откуда взялось.

-- 14.02.2024, 19:02 --

epros в сообщении #1629546 писал(а):

И почему для Вашей интуиции более очевидными оказались вещи, объективно более корявые, чем обыкновенные дроби? Корявость ведь не только в бесконечной последовательности девяток, но и в том, что некоторые вполне вычислимые числа таким образом не выражаются.

Вы всё вспоминаете вот это число?:

epros в сообщении #1625328 писал(а):

Да, есть отличие от "конструкции в позиционной системе счисления". Например, определим число $x$ таким образом: $i$-тый двоичный разряд после запятой равен $1$, если $2i+1$ - совершенное число, и $0$ в ином случае. Поскольку математике неизвестно, существуют ли нечётные совершенные числа, мы не знаем, равно ли $x$ нулю. Однако оно определено как "конструктивное действительное число" и даже в Вашем смысле - как "конструкция в позиционной системе счисления" (это называется "вычислимая двоичная дробь"). При этом интересно, что число $1-x$ тоже является конструктивным действительным, хотя мы не знаем ни одной цифры его двоичной (или десятичной) записи. Т.е. в Вашем смысле оно не определено, ибо не выражается вычислимой двоичной или десятичной дробью.

На данный момент неизвестно, это 0 или какое-то другое число. А при чём тут представление чисел? Допустим окажется, что это не 0, значит его можно будет представить в виде десятичной дроби. Почему нет?

-- 14.02.2024, 19:05 --

epros в сообщении #1629546 писал(а):

До них ещё далеко. Нам бы для начала разобраться с тем, почему $\frac{1}{3}$ - не число, пока мы не представим его бесконечной десятичной дробью.

Я от собственного определения отказался(под напором аргументов форумчан) и присоединился к Д.Граве, смотри пост post1629392.html#p1629392 и там ссылка на книгу.

[epros]

talash в сообщении #1629562 писал(а):

На данный момент неизвестно, это 0 или какое-то другое число. А при чём тут представление чисел? Допустим окажется, что это не 0, значит его можно будет представить в виде десятичной дроби. Почему нет?

Приятно, конечно, порассуждать о том, что может быть когда-нибудь окажется, но хотелось бы уже сейчас получить возможность узнать хотя бы несколько первых цифр десятичной дроби. Раз она "есть".

А то, знаете ли, есть невычислимые числа, у которых несколько первых цифр вроде как известны, а тут заведомо вычислимое - и ничего.

talash в сообщении #1629562 писал(а):

Я от собственного определения отказался(под напором аргументов форумчан) и присоединился к Д.Граве, смотри пост post1629392.html#p1629392 и там ссылка на книгу.

Ну да, и в древних замшелых архивах откопали то, что изначально и хотели видеть.

-- Чт фев 15, 2024 10:13:43 --

talash в сообщении #1629562 писал(а):

На данный момент неизвестно, это 0 или какое-то другое число.

Кстати, сейчас я говорил не про то число, которое неизвестно нуль или чуть больше, а про то число, про которое неизвестно единица оно или чуть меньше.

[talash]

epros в сообщении #1629583 писал(а):

Приятно, конечно, порассуждать о том, что может быть когда-нибудь окажется, но хотелось бы уже сейчас получить возможность узнать хотя бы несколько первых цифр десятичной дроби. Раз она "есть".

А то, знаете ли, есть невычислимые числа, у которых несколько первых цифр вроде как известны, а тут заведомо вычислимое - и ничего.

А чем помогает здесь представление чисел в виде обыкновенных дробей?

[epros]

talash в сообщении #1629596 писал(а):

А чем помогает здесь представление чисел в виде обыкновенных дробей?

Как предел последовательности обыкновенных дробей это число определить можно, а значит можно и посчитать с любой точностью.

[talash]

epros в сообщении #1629606 писал(а):

talash в сообщении #1629596 писал(а):

А чем помогает здесь представление чисел в виде обыкновенных дробей?

Как предел последовательности обыкновенных дробей это число определить можно, а значит можно и посчитать с любой точностью.

Аналогично с десятичными дробями можем вычислить с любой точностью. Проверяем на "совершенность" нечётные числа и если не совершенное, то пишем в соответствующий разряд $0$, если совершенное, то $1$. Это у нас получится число $x$. Затем вычисляем $1-x$ и получаем результат с заданной точностью. Допустим получили $1.000...$ с точностью $1\times10^{-1000000}$, а потом допустим когда-то нашли нечётное совершенное число и получим уже $0.999...$ с большей точностью.