Очень простое доказательство теоремы Ферма.

[mihaild]

K.,bntkm в сообщении #1627121 писал(а):

А так $1^3 + 2^3 = 3^3$.

Это равенство неверно.

Давайте сначала, а то у вас то гипотенуза увеличивается, то катеты.
Итак, у нас есть прямоугольный треугольник с катетами $a, b$ и гипотенузой $c$. Известно, что $a^2 + b^2 = c^2$, и соответственно $a^3 + b^3 < c^3$. Что дальше? Напоминаю, что мы хотим доказать, что уравнение $x^3 + y^3 = z^3$ не имеет решений в натуральных числах.
И что слово "натуральных" существенно, потому что в вещественных оно решения имеет. И если Ваше рассуждение доказывает, что это уравнение не имеет решений в вещественных числах, то Ваше рассуждение неверно.

[Лукомор]

K.,bntkm в сообщении #1627100 писал(а):

Есть прямоугольный треугольник для которого верно неравенство $a^3 + b^3 < c^3$. Если мы будет увеличивать длину гипотенузы, то это неравенство будет быть верным в любом случае, так как увеличивается только $c$, а $a$ и $b$ остаются неизменными. Так увеличиваем длину гипотенузы до тех пор, пока гипотенуза и катеты не превратятся в прямую линию.

Увеличивая гипотенузу, Вы, тем самым, уменьшаете $n$.Треугольник из прямоугольного становится тупоугольным. Увеличив гипотенузу до максимума,
когда угол между катетами становится развернутым, Вы, тем самым, достигаете значения $n=1$, и получаете уравнение $a^1+b^1=c^1$. Для этого нового треугольника получится неравенство $a^2+b^2<c^2$.
И что там у нас с теоремой Пифагора в этом случае?

-- Пт янв 26, 2024 14:33:23 --

K.,bntkm в сообщении #1627121 писал(а):

Но в сумме $c$. $5^{100} + 5^{100} = 10^{100}$.

Это неправильная сумма. Пересчитайте еще раз!

[K.,bntkm]

mihaild в сообщении #1627123 писал(а):

Это равенство неверно.

Да, глупость написал. Опять заскок, ведь $3^3 = 27$.

mihaild в сообщении #1627123 писал(а):

Напоминаю, что мы хотим доказать, что уравнение $x^3 + y^3 = z^3$ не имеет решений в натуральных числах.

Вот рисунок для лучшего понимания. Катеты равны натуральным числам. Длина катетов $a$ и $b$ неизменны. Изменяется только гипотенуза $c$. Если, $a^3 + b^3 < c^3$, то изменяя длину гипотенузы, мы не нарушим это неравенство. Гипотенуза принимает множество значений. Но эти числа не удовлетворяют равенству $a^3 + b^3 = c^3$. В данном случае катеты могут иметь только положительные значения.

Лукомор в сообщении #1627137 писал(а):

Увеличивая гипотенузу, Вы, тем самым, уменьшаете $n$.Треугольник из прямоугольного становится тупоугольным. Увеличив гипотенузу до максимума,

Да не надо тут обращать внимание на треугольники. Если в неравенстве $a^3 + b^3 < c^3$ мы увеличиваем $c$, то неравенство ведь не нарушается, так как $c^3$ увеличивается. И в данном случае на треугольники можно не обращать внимание.

$0,5\cdot10^{100} + 0,5\cdot10^{100}$

[Лукомор]

K.,bntkm в сообщении #1627121 писал(а):

А так $1^3 + 2^3 = 3^3$.

А так совсем плохо!
$1^3 + 2^3 < 3^3$ и даже $1^2 + 2^2 < 3^2$.
Более того, $1^{1.001} + 2^{1.001} < 3^{1.001}$
Именно потому, что для данных $a, b, c$ равенство будет только при $n=1$
$1^1 + 2^1 = 3^1$ . Для n>1 левая часть меньше правой, для n<1 левая часть больше правой.
А теперь, исходя только из равенства $1+2=3$, попробуйте доказать, что найдется хотя бы один прямоугольный треугольник со сторонами $a, b, c$,
такой, что $a, b$ и $c$ - натуральные числа.

[mihaild]

K.,bntkm в сообщении #1627139 писал(а):

Изменяется только гипотенуза $c$. Если, $a^3 + b^3 < c^3$, то изменяя длину гипотенузы, мы не нарушим это неравенство

Почему? Если мы уменьшим гипотенузу, то можем нарушить.
Начинаем с треугольника со сторонами $(1, 2, \sqrt{5})$. Уменьшаем гипотенузу, получаем в какой-то момент треугольник со сторонами $(1, 2, \sqrt[3]{9})$, для которого как раз $a^3 + b^3 = c^3$. В полном соответствии с предсказанием Лукомор, этот треугольник остроугольный.
Что из прямоугольного треугольника увеличением гипотенузы нельзя получить остроугольный - правда, но не то чтобы новость.

[K.,bntkm]

mihaild в сообщении #1627142 писал(а):

Почему? Если мы уменьшим гипотенузу, то можем нарушить.

Можем, если уменьшим гипотенузу. Но мы же не уменьшаем гипотенузу, а только увеличиваем, как на рисунке.

[mihaild]

K.,bntkm в сообщении #1627143 писал(а):

Но мы же не уменьшаем гипотенузу, а только увеличиваем, как на рисунке

Хорошо, Вы доказали теорему K.,bntkm (может быть еще одну, не помню): если $a, b$ - катеты, а $c$ - гипотенуза прямоугольного треугольника, и $d > c$, то $a, b, d$ не является решением уравнения ВТФ. Даже про натуральность $a, b$ можно не говорить.
Ну и что?

[Лукомор]

K.,bntkm в сообщении #1627139 писал(а):

Если в неравенстве $1^3 + 2^3 = 3^3$ мы увеличиваем $c$, то неравенство ведь не нарушается, так как $c^3$ увеличивается. И в данном случае на треугольники можно не обращать внимание.

А если в неравенстве $1^3 + 2^3 < 3^3$ мы уменьшаем $c$, то рано или поздно
неравенство становится равенством:
$1^3 + 2^3 = (\sqrt[3]{9})^3$, а если еще уменьшить $c$, то знак неравенства поменяется на противоположный:
$1^3+2^3>2.05^3$.
Теперь Вам осталось совсем пустяк.
Доказать, что в тот момент, когда при уменьшении $c$ достигнуто равенство $a^3+b^3=c^3$, в котором $a$ и $b$ натуральные числа, число $c$ никогда не будет натуральным.

[K.,bntkm]

Есть неравенство для прямоугольного треугольника $a^2 + b^2 = c^2$. Для заданных $a$ и $b$ будет только одно значение $c$, так как угол между катетами прямой. А теперь забудем про прямоугольный треугольник. У нас есть только неравенство, в котором $a, b, c$ - это некоторые числа. Увеличим $c$ до $d$. И в новом, уже не прямоугольном треугольнике, $a^2 + b^2 < d^2$, так как $a$ и $b$ не изменились, а $c$ увеличилась до $d$. И неравенство $a^3 + b^3 < d^3$, так как верно, как и неравенство $a^3 + b^3 < c^3$, так как $d^3 > c^3$.

Лукомор в сообщении #1627145 писал(а):

А если в неравенстве $1^3 + 2^3 < 3^3$ мы уменьшаем $c$,

Но мы же не уменьшаем.

[Dmitriy40]

K.,bntkm
Поймите наконец одну простую мысль: абсолютно любое доказательно, в котором можно вместо любого из $a,b,c$ подставить вещественное (не равное натуральному) число без нарушения доказательства, совершенно точно не доказывает и не опровергает великую теорему Ферма (ВТФ). Очень простой критерий.
В ваши катеты и гипотенузы подставить вещественное число - можно, значит к ВТФ это не относится. Хоть равенства, хоть неравенства. Всё мимо ВТФ.

[mihaild]

K.,bntkm в сообщении #1627147 писал(а):

Есть неравенство для прямоугольного треугольника $a^2 + b^2 = c^2$

$a^2 + b^2 = c^2$ - это равенство, а не неравенство.

K.,bntkm в сообщении #1627147 писал(а):

У нас есть только неравенство

Напишите это неравенство.

Впрочем, я подозреваю, что в итоге у Вас получится "Вторая теорема K.,bntkm: если $a^3 + b^3 < c^3$ и $d > c$, то $a^3 + b^3 < d^3$". Я согласен, что она верна, но отношения к ВТФ она всё еще не имеет.

K.,bntkm в сообщении #1627147 писал(а):

Но мы же не уменьшаем

Простите, не мы, а Вы. А мы с Лукомор имеем полное право уменьшать. И если Вы хотите доказать ВТФ - то Вам нужно доказать, что у нас при уменьшении всё равно ничего не получится.

[Лукомор]

K.,bntkm в сообщении #1627147 писал(а):

Есть неравенство для прямоугольного треугольника $a^2 + b^2 = c^2$. Для заданных $a$ и $b$ будет только одно значение $c$, так как угол между катетами прямой. А теперь забудем про прямоугольный треугольник. У нас есть только неравенство, в котором $a, b, c$ - это некоторые числа. Увеличим $c$ до $d$. И в новом, уже не прямоугольном треугольнике, $a^2 + b^2 < d^2$, так как $a$ и $b$ не изменились, а $c$ увеличилась до $d$. И неравенство $a^3 + b^3 < d^3$, так как верно, как и неравенство $a^3 + b^3 < c^3$, так как $d^3 > c^3$.

Есть неравенство для развернутого треугольника $a^1 + b^1 = c^1$. Для заданных $a$ и $b$ будет только одно значение $c$, так как угол между катетами развернутый (=$\pi$). А теперь забудем про треугольник вообще. У нас есть только неравенство, в котором $a, b, c$ - это некоторые числа. Увеличим $c$ до $d$. И в новом, уже не треугольнике, $a^1 + b^1 < d^1$, так как $a$ и $b$ не изменились, а $c$ увеличилась до $d$. И неравенство $a^2 + b^2 < d^2$, так как верно, как и неравенство $a^2 + b^2 < c^2$, так как $d^2 > c^2$. Вот мы и опровергли теорему Пифагора.
Точнее не мы, а Вы.

-- Пт янв 26, 2024 18:28:28 --

K.,bntkm в сообщении #1627147 писал(а):

Но мы же не уменьшаем.

И очень зря. Так какую же все-таки теорему мы собрались доказывать для $n<3$?

[transcendent]

Уважаемый K.,bntkm, Геометрию использовать для доказательства ВТФ-возможно ли? Тут алгебры мало...Вот, анпример, что пишут в Интернете: "...you can "consider" the equations as being in integers from ths start, and so what? That doesn't stop them from being true in universal abstract algebra, which is the starting point of the reasoning that tells you you cannot prove FLT from them, because FLT is not true in abstract algebra (because there are particular algebras in which it is not true, like the p-adic integers, and the reals)... FLT is not true in universal abstract algebra, because it is not true in some particular algebras, therefore it cannot be proved by starting from truths/identities whatever you wish to call them of abstract algebra ALONE! And that's what is meant when one says "cannot be proved from truths of abstract algebra"! Do you think one has to add the word ALONE to mean that? No! When I say I have been trampled by an elephant do you think it adds something new to say I have been trampled by an elephant ALONE?..." Хотя, возможно пытаться надо...Тут я наблюдал за дискуссией о треугольниках. И вы начали с треугольников своё доказательство. Самое интересное, что обе стороны правы были, если отмести детали, это может быть темой отдельного разговора, эти детали...Насчёт того, что обе стороны правы (или не правы), вот я взял треугольник отсюда https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81%D0%BE%D0%B2 и сделал расчёты подобных остроугольных треугольников и отдельно прямоугольных треугольников, см.Вложение.[img][img]https://i.postimg.cc/zfg4Ndjt/Acute-and-right-triangles.jpg[/img][/img] . Вы защищаете свою идею с треугольниками, вот, я и подумал-может это будет какая-то помощь.

[miflin]

(Оффтоп)

Какой-то сюрреализм, какая-то порча наведена, какое-то наваждение...
Распрямляют прямоугольный треугольник, а стороны его продолжают называть катетами и гипотенузой

[Yadryara]

miflin, сюрреализм более красивое слово чем троллинг.
А по сути-то... Закрывайте уже.