Почему математика работает?

[epros]

gevaraweb в сообщении #1625560 писал(а):

Надо подумать, какой можно сделать следующий вывод ).

Наверное, следующим должен быть не вывод, а вопрос:

gevaraweb в сообщении #1625560 писал(а):

Математика может быть эффективной независимо от "правильности" моделирования. Например, видимое движение планет хорошо объясняется и эпициклами в геоцентрической системе мира, и законами Кеплера в гелиоцентрической.

С чего взято, что какая-то из моделей окончательно "правильная"?

Как известно, Птолемеевская система в момент появления Коперниковской была более точной, хотя и весьма сложной из-за множества эпициклов. Вроде бы в предисловии к книге Коперника даже было написано, что предлагаемая система - просто для упрощения расчётов и на точность и "правильность". Не претендует. Но в дальнейшем простота и удобство победили. А потом законы Кеплера уточнили систему Коперника, а потом законы Ньютона ещё уточнили.

[gevaraweb]

epros в сообщении #1625601 писал(а):

С чего взято, что какая-то из моделей окончательно "правильная"?

Не буду возражать. В принципе, у меня это и не утверждается (что какая-то из моделей окончательно "правильная").
Тезис остается в силе:

gevaraweb в сообщении #1625560 писал(а):

Математика может быть эффективной независимо от "правильности" моделирования.

[mihaild]

warlock66613 в сообщении #1624596 писал(а):

Определяйте как несуществование подмножества, равномощного множеству

Это лихо Вы предположили, что epros аксиому выбора принимает.

[mustitz]

Ну... Я не уверен в том, что есть одна истинная теория чисел в головах математиков. Вполне может быть, что существуют такие недоказуемое утверждения, по поводу истинности которых у разных математиков будут разные мнения. Конечно, мы можем выбрать систему аксиом и назвать их истинными, но это просто из серии, что любую вещь можно назвать трамваем.

[Sender]

mihaild в сообщении #1625615 писал(а):

Это лихо Вы предположили, что epros аксиому выбора принимает.

А если так: непустое множество $A$ назовём конечным, если для некоторого $x \in A$ $A$ и $A\setminus\{x\}$ неравномощны?

[mihaild]

Sender в сообщении #1625624 писал(а):

А если так: непустое множество $A$ назовём конечным, если для некоторого $x \in A$ $A$ и $A\setminus\{x\}$ неравномощны?

Это равносильно конечности по Дедекинду.

[warlock66613]

mihaild в сообщении #1625615 писал(а):

Это лихо Вы предположили, что epros аксиому выбора принимает.

Так это его трудности. Ну и потом есть же конструктивная аксиома выбора в конструктивной математике — так может есть и конструктивный аналог теоремы об эквивалентности двух определений конечности, кто его знает (я не знаю).

[EminentVictorians]

Насколько я понимаю, у конструктивистов вообще нету ни множеств, ни элементов. Иначе говоря, "множество" - это у них синоним для формулы с 1 свободной переменной, а "элемент" - это синоним для терма, подстановка которого в эту самую формулу вместо ее единственной свободной переменной приводит к верной замкнутой формуле.

Что касается конечности, в конструктивизме выделяют финитные, субфинитные, квазифинитные и неинфинитные "множества".

Список - это у них терм особого вида.

Финитность множества $M$ $=$ известен способ построения списка, членами которого являются все элементы множества $M$ и только они.

Субфинитность множества $M$ $=$ известен способ построения списка, членами которого являются все элементы множества $M$ но, возможно, не только они.

Квазифинитность множества $M$ $=$ известен способ построения натурального числа $n$, для которого будет опровергаться приведением к нелепости предположение о невозможности списка элементов множества $M$ среди списков с не более чем $n$ членами.

Неинфинитность множества $M$ $=$ невозможно привести к нелепости предположение о невозможности списка, членами которого являлись бы все элементы множества $M$ и только они.

Если что, я ни разу не конструктивист, просто мне тоже было интересно, как у них конечность определяется.

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1625635 писал(а):

Насколько я понимаю, у конструктивистов вообще нету ни множеств, ни элементов. Иначе говоря, "множество" - это у них синоним для формулы с 1 свободной переменной, а "элемент" - это синоним для терма, подстановка которого в эту самую формулу вместо ее единственной свободной переменной приводит к верной замкнутой формуле.

Я не говорил, что конструктивизм отрицает теории множеств. Есть энтузиасты, которые занимаются тем, что строят конструктивные аксиоматики теории множеств. Правда лично я не понимаю зачем это нужно. В слове "множество" самом по себе нет ничего особо ценного или содержательного, все интересные выводы появляются как раз при наличии достаточно сильной аксиоматики. Исторически наиболее сильные аксиоматики оказались привязаны именно к слову "множество", но никакого закона природы в этом нет: Можно привязать сильную аксиоматику к чему угодно другому.

EminentVictorians в сообщении #1625635 писал(а):

Что касается конечности, в конструктивизме выделяют финитные, субфинитные, квазифинитные и неинфинитные "множества".

По-моему, вопрос определения конечности совершенно перпендикулярен конструктивизму. Он, конечно, важен, потому что от него зависит ключевое для конструктивизма понятие о наличии у алгоритма точки останова, но он и для неконструктивной математики важен.

EminentVictorians в сообщении #1625635 писал(а):

Список - это у них терм особого вида.

Какого вида?

EminentVictorians в сообщении #1625635 писал(а):

Финитность множества $M$ $=$ известен способ построения списка, членами которого являются все элементы множества $M$ и только они.

Не похоже на определение конечности. Я бы сказал, что возможны способы построения и бесконечных списков. Хотя, возможно, что собака зарыта в "особом" виде терма.

EminentVictorians в сообщении #1625635 писал(а):

Субфинитность множества $M$ $=$ известен способ построения списка, членами которого являются все элементы множества $M$ но, возможно, не только они.

Аналогично.

EminentVictorians в сообщении #1625635 писал(а):

Квазифинитность множества $M$ $=$ известен способ построения натурального числа $n$, для которого будет опровергаться приведением к нелепости предположение о невозможности списка элементов множества $M$ среди списков с не более чем $n$ членами.

Хм. Двойное отрицание существования "списка с не более чем $n$ членами". Это более похоже на определение конечности. Но оно как раз завязано на определение натурального числа.

EminentVictorians в сообщении #1625635 писал(а):

Неинфинитность множества $M$ $=$ невозможно привести к нелепости предположение о невозможности списка, членами которого являлись бы все элементы множества $M$ и только они.

Я ослышался или здесь звучит тройное отрицание? Зачем? В конструктивизме тройное отрицание эквивалентно одинарному.

EminentVictorians в сообщении #1625635 писал(а):

Если что, я ни разу не конструктивист, просто мне тоже было интересно, как у них конечность определяется.

Независимо от конструктивизма известно два определения конечности:
1) Возможность пронумеровать все объекты до некоторого натурального числа.
2) Упомянутая выше конечность "по Дедекинду".

Первое определение я полагаю естественным, ибо оно понятно любому, даже не слишком математически изощрённому уму. Второе я полагаю скорее "извращённым", чем "изящным". Ибо всё его изящество, насколько я понимаю, заключается в том, что в теории множеств с аксиомой выбора доказуема его эквивалентность первому определению.

Однако для теории множеств без аксиомы выбора можно построить модель, в которой первое и второе определения окажутся не эквивалентными.

[mihaild]

epros в сообщении #1625641 писал(а):

Ибо всё его изящество, насколько я понимаю, заключается в том, что в теории множеств с аксиомой выбора доказуема его эквивалентность первому определению

Конечность по Дедекинду - это, действительно, несколько странная штука. А вот бесконечность по Дедекинду, ИМХО, логична - если выкинуть один элемент, то множество меньше не станет.

[epros]

mihaild в сообщении #1625643 писал(а):

А вот бесконечность по Дедекинду, ИМХО, логична - если выкинуть один элемент, то множество меньше не станет.

А если конечное множество очень большое, заметим ли мы, что оно стало меньше после выкидывания одного элемента? Если не заметим, то так и будем считать его бесконечным - по Дедекинду.

Насколько я помню, у ZF (без аксиомы выбора) есть модель, в которой существуют множества, конечные в первом смысле, но бесконечные по Дедекинду. Как быть с таким множеством?

[mihaild]

epros в сообщении #1625650 писал(а):

Насколько я помню, у ZF (без аксиомы выбора) есть модель, в которой существуют множества, конечные в первом смысле, но бесконечные по Дедекинду

Наоборот.
В ZF любое конечное множество (равномощное натуральному числу) конечно по Дедекинду (не равномощно собственному подмножеству). Это очевидно: если у нас есть некоторое индуктивное множество, то его подмножество, состоящее из конечных по Дедекинду множеств, тоже индуктивно.
Без аксиомы выбора может быть множество, неравномощное никакому натуральному числу, но всё равно конечное по Дедекинду. Например аморфное множество - бесконечное множество, которое нельзя разбить на два бесконечных подмножества.

epros в сообщении #1625650 писал(а):

Как быть с таким множеством?

Да так же как и со всеми остальными.

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1625641 писал(а):

А что Вас удивляет? Это совершенно стандартная ситуация для конструктивизма, называемая "эффектом расщепления", когда классическое понятие порождает не одно, а несколько конструктивных аналогов, различающихся вот этой всей эквилибристикой с двойными отрицаниями. В точности как получилось с этими всеми финитными, субфинитными, квазифинитными и неинфинитными "множествами".

epros в сообщении #1625641 писал(а):

Какого вида?

Марков вводит ступенчатую систему языков Я$_N$ и объемлющий их язык Я$_{\omega |}$, замкнутый относительно всех основных логических связок. См А. А. Марков, О языке Яω|, Докл. АН СССР, 1974,том 215, номер 1, 57–60. Я понял так, что эти языки нужны для точной записи математических утверждений, чтобы строго отличать, что конструктивно, а что нет. Множества, задаваемые формулами языка Я$_1$ называются порождаемыми. Под списком я так понял понимается просто конкатенация термов, возможно, синтаксически подсвеченная, что это именно список. Короче говоря, это чисто синтаксическая конструкция, которую можно распознавать компилятором.

epros в сообщении #1625641 писал(а):

Не похоже на определение конечности. Я бы сказал, что возможны способы построения и бесконечных списков. Хотя, возможно, что собака зарыта в "особом" виде терма.

Список - это терм - чисто синтаксическая конструкция. Он написан ручкой на бумаге. Быть бесконечным он не может.

epros в сообщении #1625641 писал(а):

Я ослышался или здесь звучит тройное отрицание?

"Невозможность привести к нелепости" - это не совсем "отрицание отрицания А", так что на мой взгляд там все написано корректно. И это же не я придумал, а Марков.

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1625678 писал(а):

Это совершенно стандартная ситуация для конструктивизма, называемая "эффектом расщепления", когда классическое понятие порождает не одно, а несколько конструктивных аналогов, различающихся вот этой всей эквилибристикой с двойными отрицаниями.

Какое всё это имеет отношение к определению конечности? Разумеется в конструктивизме двойное отрицание не сводится к простому утверждению. Колмогоров даже в одной из своих статей предложил называть такие утверждения "псевдоистинными". Но суть совершенно не в этом.

EminentVictorians в сообщении #1625678 писал(а):

Я понял так, что эти языки нужны для точной записи математических утверждений, чтобы строго отличать, что конструктивно, а что нет.

Насколько я понимаю, все эти заморочки с языками нужны были для пояснения того, что такое "алгоритм". Сейчас это уже не столь актуально, поскольку в эпоху компьютеров все знают, что такое алгоритмы. А конструктивное от неконструктивного отличается не в языке, а в аксиоматике.

EminentVictorians в сообщении #1625678 писал(а):

Список - это терм - чисто синтаксическая конструкция. Он написан ручкой на бумаге. Быть бесконечным он не может.

А зачем нам тогда рассуждать о "способах построения" списка, если список и так заведомо конечен?

EminentVictorians в сообщении #1625678 писал(а):

"Невозможность привести к нелепости" - это не совсем "отрицание отрицания А"

А по-моему совсем. Приведение к нелепости - это одно отрицание. Собственно, сводимость к абсурду - это стандартное определение отрицания. А невозможность - это второе отрицание.

[EminentVictorians]

epros, да я сам уже запутался со всеми этими тройными отрицаниями. Я не помню, как там все это дело определяется в интуиционистской логике. Может быть Вы действительно правы и там просто тройное отрицание.

Вообще, слава богу, что я не конструктивист. Я обычный-то формализм на дух не переношу, а тут еще какие-то иерархии языков, да еще и интуиционистская логика (которую я не переношу даже в еще большей степени, чем сам формализм). Это совсем не моя математика, поэтому, честно говоря, даже разбираться не хочется.