Почему математика работает?

[sergey zhukov]

mihaild
Ну, здесь Anton_Peplov правильно сказал: что было создано для одного, оказалось подходящим и для другого. Это же классический эволюционный путь - никогда не знаешь, какие новые перспективы откроются после каждого нового шага, который вообще был сделан по другим причинам.

[diletto]

mihaild в сообщении #1622830 писал(а):

Потому что большинство способов предсказывать поведение тигра не требуют уметь решать диффуры.
Антропный принцип говорит, что мы должны уметь замечать тигра. Он не говорит, что мы должны быть в состоянии понять биохимию этого замечания.

Так не одномоментный же процесс. Для умения замечать тигра не нужно умение разводить огонь. Для умения разводить огонь не нужно умение плавить руду. Для умения плавить руду не нужно умение рассчитывать механизмы. И т.д.

-- 18.12.2023, 03:55 --

Anton_Peplov в сообщении #1622798 писал(а):

И оказалось, что это техническое решение хорошо не только в иле, но и вообще в любой среде, включая и близко тогда никем не освоенные сушу и воздух.

Здесь напрашивается очевидный комментарий, что это техническое решение может быть далёким от оптимального для суши и воздуха - но его раннее и массовое распространение сделало альтернативы крайне маловероятными.
Аналогично, наша математика, порождённая "Началами" Евклида, не обязательно хорошо подходит для квантовой механики.

[epros]

По-моему, все недоразумения происходят от искажения философами ещё со времён Платона понятия "реальности". На самом деле реальность - это просто непосредственно наблюдаемое, не более того. Но некоторые почему-то решили, что "настоящая" реальность - это якобы нечто абсолютное, лежащее "за" наблюдаемым, за "видимостью".

Так что если не воображать о "реальности" невесть что, то в математике нет ничего реального. Скажу более того: Все естественно научные теории тоже продукт воображения. Они не спустились к нам с небес на золотых скрижалях, а имеют конкретных авторов. Просто некоторые теоретические понятия оказались полезными для описания реальных явлений, а некоторые другие - не оказались. Причём неконструктивные математические утверждения - и вряд ли когда-нибудь окажутся полезными.

[Anton_Peplov]

mihaild в сообщении #1622828 писал(а):

Голова тоже полезна для придумывания много чего. Но мне видится некоторым чудом, что среди этого всего оказалась полезная для описания мира математика.

Видится ли Вам некоторым чудом, что "среди этого всего" оказались элементарные силлогизмы вроде этого?

EminentVictorians в сообщении #1622816 писал(а):

Все люди смертны. Сократ - человек. Следовательно, Сократ смертен.

Мне - нет. Потому что существо, способное на элементарные силлогизмы, будет более успешным в интригах за доминирующее положение в группе (и, значит, за привилегированный доступ к размножению).

Если логика - не чудо, почему евклидова геометрия - чудо? Если евклидова геометрия не чудо, почему матанализ - чудо? В чем принципиальная разница?

[mihaild]

epros в сообщении #1622856 писал(а):

На самом деле реальность - это просто непосредственно наблюдаемое, не более того

С этим есть проблема: все непосредственно наблюдают похожее, но всё-таки разное. Поэтому хочется выделить отдельно это "похожее", отдельно "разное", и сказать, что наблюдаемое Васей есть функция от "похожего", общего для всех, и "разного", уникального для Васи.

epros в сообщении #1622856 писал(а):

то в математике нет ничего реального

epros в сообщении #1622856 писал(а):

некоторые теоретические понятия оказались полезными

Это просто замена терминологии. Почему математика полезна?

Anton_Peplov в сообщении #1622858 писал(а):

Видится ли Вам некоторым чудом, что "среди этого всего" оказались элементарные силлогизмы вроде этого?

Скорее да. Мне довольно сложно представить мир, в котором классическая логика не работает, но, если постараться, вроде получается. А тогда возникает вопрос, почему в нашем мире вообще возникает хоть какая-то просто описываемая логика.

Anton_Peplov в сообщении #1622858 писал(а):

Если логика - не чудо, почему евклидова геометрия - чудо?

Евклидова геометрия - еще большее чудо. Штук, которые описываются короткой МТ, очень мало (а вот представить какую-то принципиально другую замену МТ я не могу вообще). Почему наша геометрия довольно хорошо описывается короткой МТ?

[Anton_Peplov]

mihaild в сообщении #1622880 писал(а):

Почему наша геометрия довольно хорошо описывается короткой МТ?

Потому что абстракция "алгоритм" возникла в головах у тех же смышленых приматов, живущих в той же среде, что и абстракции "точка", "прямая" и "угол"?

mihaild в сообщении #1622880 писал(а):

представить какую-то принципиально другую замену МТ я не могу вообще

Ну Вы же тоже из этих приматов, вот и не можете. Головоногий Уээх с планеты Плюх с равномерно распределенной по всем щупальцам нервной системой, живущий в мутной среде без резких границ, не может представить себе ни машину Тьюринга, ни евклидову геометрию. Мышление уээхов принципиально не переводимо в человеческие понятия, и мы никогда не сможем понять друг друга.

[EminentVictorians]

Anton_Peplov в сообщении #1622882 писал(а):

Мышление уээхов принципиально не переводимо в человеческие понятия, и мы никогда не сможем понять друг друга.

Т.е. логика - это что-то в духе чувственного опыта?

-- 18.12.2023, 13:12 --

А то, что она (логика) не меняется - так это нам просто кажется, т.к. наша физиология и окружающая среда не меняются сильно в течение жизни. Примерно так?

[mihaild]

Anton_Peplov в сообщении #1622882 писал(а):

Потому что абстракция "алгоритм" возникла в головах у тех же смышленых приматов, живущих в той же среде, что и абстракции "точка", "прямая" и "угол"?

Я понимаю, почему мозг может интуитивно примерно предсказывать траекторию камня. Я не понимаю, почему мозг может написать $x = g t^2 / 2$. Ну или более точно - почему отбор на способность предсказать интуитивно траекторию камня привел к мозгу, способному описать траекторию камня формально.

Anton_Peplov в сообщении #1622882 писал(а):

Мышление уээхов принципиально не переводимо в человеческие понятия, и мы никогда не сможем понять друг друга

МТ можно смоделировать простым физическим устройством. Почему полет камня можно смоделировать простым, но сильно отличающимся от камня, устройством?

[sergey zhukov]

mihaild
Видимо, способность рассуждать отвлеченно, т.е. мысленно представлять, моделировать, планировать, думать об этом камне, когда его уже нет, или еще нет, или вообще нет, тоже очень помогает. А это уже ближе к $gt^2/2$. Т.е. полезно уметь заранее прокрутить в уме, предсказать, что будет. Для этого символы очень полезны.

[diletto]

mihaild в сообщении #1622880 писал(а):

Штук, которые описываются короткой МТ, очень мало

Никак не могу догадаться, что такое МТ. Математическая теорема? Множеств теория? Mind theory?..

[mihaild]

diletto в сообщении #1622895 писал(а):

Никак не могу догадаться, что такое МТ

Машина Тьюринга.

[diletto]

Anton_Peplov в сообщении #1622882 писал(а):

Головоногий Уээх с планеты Плюх с равномерно распределенной по всем щупальцам нервной системой, живущий в мутной среде без резких границ, не может представить себе ни машину Тьюринга, ни евклидову геометрию. Мышление уээхов принципиально не переводимо в человеческие понятия, и мы никогда не сможем понять друг друга.

В фидошные времена попался мне текст, который сейчас найти не удаётся. Типа послание каких-то галактических контролёров, пеняющих человечеству на то, что оно выбрало неверные когнитивные установки и попалось в ловушку бинарности: люди вечно хотят знать "да" или "нет", и под это заточено всё, а это плохая, негодная модель мира. Типа нельзя же так, господа хомо, мы об этом уже дважды вам рассказывали, пытаясь вас скорректировать и наставить на путь (назывались какие-то доисторические даты) и сейчас рассказываем в третий и последний раз, а потом у вас всё пойдёт по кочкам. Якобы это послание было принято многими радиостанциями по всей планете в семидесятые не то восьмидесятые годы.
Не иначе, Уээхи с Плюха это были.

-- 18.12.2023, 16:05 --

mihaild в сообщении #1622896 писал(а):

Машина Тьюринга
.

Тьфу, мог бы и догадаться... Спасибо.

-- 18.12.2023, 16:23 --

mihaild в сообщении #1622888 писал(а):

Я понимаю, почему мозг может интуитивно примерно предсказывать траекторию камня. Я не понимаю, почему мозг может написать $x = g t^2 / 2$. Ну или более точно - почему отбор на способность предсказать интуитивно траекторию камня привел к мозгу, способному описать траекторию камня формально.

Я думаю, механизмы те же, что привели к появлению письменности, и даже этапы примерно те же: от изобразительной абстракции (т.е. применительно к полёту камня - понимания, что есть нечто общее в полёте всех камней) - через символьную абстракцию (необязательность сходства между денотатом и сигнификатом, между камнем и его значком, между поведением камня в полёте и значками, которые могут его описать) - к декомпозиционной абстракции (искусственное членение речи на фонемы и соответствующие им графемы, искусственное изобретение законов, выполняемых над значками, описывающими полёт камня).
Математика - это ведь язык, не так ли?

[Anton_Peplov]

mihaild в сообщении #1622888 писал(а):

Я понимаю, почему мозг может интуитивно примерно предсказывать траекторию камня. Я не понимаю, почему мозг может написать $x = g t^2 / 2$. Ну или более точно - почему отбор на способность предсказать интуитивно траекторию камня привел к мозгу, способному описать траекторию камня формально.

Траекторию камня при броске мы предсказываем не с помощью абстрактного мышления, а с помощью когнитивной системы интуитивной физики. Она работает без доступа сознания к ней, и эту работу трудно назвать собственно мышлением.

Согласно достаточно авторитетной гипотезе макиавеллевского интеллекта (аргументы в ее пользу довольно известны, здесь я их приводить не буду), самый сильный отбор шел не на способность предсказывать траекторию камня, а на способность предсказывать поведение соплеменника. В этой способности тоже играют роль несколько бессознательных когнитивных систем, но их уже не достаточно. Для успешного понимания следствий своих и чужих поступков потребовалось выделение абстракций "причина" и "следствие". Чтобы обманывать и противостоять обману - "истина" и "ложь". Это уже зарождающее абстрактное мышление. А абстрактное мышление имхо и есть источник всех формализмов, о чем я уже писал выше.

mihaild в сообщении #1622888 писал(а):

МТ можно смоделировать простым физическим устройством. Почему полет камня можно смоделировать простым, но сильно отличающимся от камня, устройством?

А это уже вопрос не к нашему мозгу, а к устройству Вселенной. Вы спрашиваете, почему некоторые свойства одного физического объекта изоморфны некоторым свойствам другого физического объекта. Этот вопрос сводится к "почему физические законы такие, какие они есть?". Человек тут ни при чем. Даже если бы он никогда не появился на Земле, компьютеры остались бы столь же физически возможными, как падающие камни.

С тем же успехом можно спросить, почему вообще существуют физические законы. Удивительный же факт, что падающий камень каждый раз ведет себя одинаково, а не как генератор случайных чисел. То есть мы съехали с вопроса "почему кидавшиеся палками приматы оказались достаточно умны, чтобы познать Вселенную?" на вопрос "почему Вселенная достаточно упорядочена, чтобы ее мог познать хоть кто-нибудь?". Вопрос, конечно, интересный, но вряд ли на него можно дать более содержательный ответ, чем антропный: будь физические законы иными, некому было бы их изучать.

[epros]

mihaild в сообщении #1622880 писал(а):

epros в сообщении #1622856 писал(а):

На самом деле реальность - это просто непосредственно наблюдаемое, не более того

С этим есть проблема: все непосредственно наблюдают похожее, но всё-таки разное.

Это проблема не самого понятия, а нашего желания выкинуть из него субъективные аспекты. Но этого не надо делать. Реальность неразделима на "объективную" и "субъективную". Те, кто так её разделяют, на самом деле теоретизируют сильно постфактум, опираясь на сложившиеся у них понятия об "объективном" и "субъективном".

mihaild в сообщении #1622880 писал(а):

epros в сообщении #1622856 писал(а):

то в математике нет ничего реального

epros в сообщении #1622856 писал(а):

некоторые теоретические понятия оказались полезными

Это просто замена терминологии. Почему математика полезна?

Лично я вообще не понимаю, почему этот вопрос возник. Ответ же, очевидно, не в какой-то "объективной реальности" математики, а в нас самих: Мы сами уделяем время тому, что считаем полезым, и легко отбрасываем, забываем то, что полезным не считаем.

За исключением, пожалуй, некоторых явно бесполезных вещей, которые мы продолжаем лелеять вероятно по каким-то чисто культурным или традиционным соображениям. Типа неконструктивной математики - хотя бы той же аксиомы выбора в полной формулировке.

mihaild в сообщении #1622880 писал(а):

Мне довольно сложно представить мир, в котором классическая логика не работает, но, если постараться, вроде получается. А тогда возникает вопрос, почему в нашем мире вообще возникает хоть какая-то просто описываемая логика.

Что тут представлять? Это и есть наш мир.

Почему в принципе возникает логика - вполне понятно: Людям нужны какие-то общепринятые правила рассуждений, как основа для взаимопонимания.

Почему логика именно такая - вопрос более интересный. Определение импликации через правило modus ponens с одной стороны и теорему дедукции с другой стороны - это очевидная попытка связать понятие "логического следствия" с метатеоретическим понятием "выводимости". Аксиомы, определяющие отрицание, очевидным образом пытаются выразить, что отрицание является синонимом "сведения к абсурду". Аксиомы конъюнкции и дизъюнкции расширяют логику консервативно, при желании пропозициональная логика могла бы обойтись и без них. Кванторы всеобщности и существования являются расширением, соответственно, конъюнкции и дизъюнкции на произвольное количество аргументов.

Сбой возникает разве что на двух вещах: Законы ex falso quodlibet и исключённого третьего взялись неизвестно откуда. Вероятно, их можно считать попыткой "упростить" логику.

[mihaild]

diletto в сообщении #1622897 писал(а):

Я думаю, механизмы те же, что привели к появлению письменности

Но появление письменности не потребовало перестройки мозга, он остался таким же, как был задолго до этого.

Anton_Peplov в сообщении #1622900 писал(а):

Согласно достаточно авторитетной гипотезе макиавеллевского интеллекта (аргументы в ее пользу довольно известны, здесь я их приводить не буду), самый сильный отбор шел не на способность предсказывать траекторию камня, а на способность предсказывать поведение соплеменника

Но при этом почему-то оказалось, что умение предсказывать поведение соплеменника помогает перекрывать Енисей.

Anton_Peplov в сообщении #1622900 писал(а):

А это уже вопрос не к нашему мозгу, а к устройству Вселенной

Это связанные вопросы. Почему физические законы достаточно просты, чтобы их мог понять кто-то, и почему наш мозг оказывается способным их хоть как-то понять. И объяснение, что наш мозг подогнан именно под эти физические законы, меня не устраивает.

epros в сообщении #1622903 писал(а):

Это проблема не самого понятия, а нашего желания выкинуть из него субъективные аспекты

Что такое "субъективные аспекты" в Вашем подходе?