Правильное определение работы силы

[wrest]

realeugene в сообщении #1617234 писал(а):

Всё-таки, как показывает эта тема, Ньютон был гениален.

Ага, я когда читал "Начала", очень проникся. После этого мне стало очень ясно, что когда я сижу на Земле, то и Земля "сидит" на мне.

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1617207 писал(а):

Точки проходят одинаковые траектории.

realeugene в сообщении #1617224 писал(а):

В смысле одинаковые? Поясните, почему.

Извиняюсь за опечатку. Что-то я стал невнимательным. Слово "траектория" для меня ещё не совсем привычное. Понятно, что траектория, это синоним слова "путь". Когда писал, я имел в виду под траекторией кривую. Причём кривую в моём понимании этого слова. Перед этим открыл Сивухина. Он там определяет работу силы как интеграл по кривой (формула 22.3). Причём один раз он употребляет слово "траектория". Второй раз употребляет слово "кривая". Причём непонятно, может он имеет в виду, что эти слова являются синонимами? И что вообще он понимает под кривой?

Очень упрощенно говоря, я под кривой имею в виду траекторию, когда неважно с какой скоростью она проходится. Кривую никак нельзя определить как геометрическое место точек, поскольку тут важно начальная точка и конечная. Кроме того, окружность, это не кривая, поскольку непонятно, сколько оборотов мы на ней сделали. Но если мы сделали на ней один оборот, у нас есть начальная точка (которая в нашем случае совпадает с конечной) и нам совершенно не важно с какой скоростью мы двигались, то мы будем называть такую окружность кривой. Если нужно дать тут точное определение, напишите, приведу.

Поэтому поясняю, что в нашей пробной задаче две точки двигались по одной кривой, но с разной скоростью.

[realeugene]

мат-ламер в сообщении #1617251 писал(а):

Поэтому поясняю, что в нашей пробной задаче две точки двигались по одной кривой, но с разной скоростью.

С какой стати по одной? Напомню, что речь идёт про общий случай двух различных материальных точек в третьем законе Ньютона. Допустим, у нас катится колесо велосипеда. Траектории точек на оси колеса и на ободе совершенно разные. А спицы обеспечивают силы между ними.

[Mihr]

мат-ламер в сообщении #1617251 писал(а):

Очень упрощенно говоря, я под кривой имею в виду траекторию, когда неважно с какой скоростью она проходится.

Нечто странное.
Для описания самой траектории тоже совершенно неважно, с какой скоростью она проходится.

мат-ламер в сообщении #1617251 писал(а):

Понятно, что траектория, это синоним слова "путь".

Вообще-то, не синоним. Скорее уж, синонимами будут "путь" и "длина пути".

мат-ламер в сообщении #1617251 писал(а):

Кривую никак нельзя определить как геометрическое место точек, поскольку тут важно начальная точка и конечная.

Если это важно, то говорят "ориентированная кривая".

мат-ламер в сообщении #1617251 писал(а):

Кроме того, окружность, это не кривая, поскольку непонятно, сколько оборотов мы на ней сделали.

Спросите математиков: разве замкнутые кривые не являются кривыми? Что-то Ваша личная терминология уж очень своеобразна.

[мат-ламер]

realeugene в сообщении #1617252 писал(а):

С какой стати по одной?

Я рассмотрел модельную одномерную задачу. На прямой две точки двигаются из пункта $A$ в пункт $B$, стартуя в одно время и финишируя в одно время. Но двигаются они с разной скоростью. И расстояние между ними периодически меняется. Как меняется и сила взаимодействия. Если суть явления понятна в одномерном случае, зачем усложнять наши сущности?

-- Пт ноя 10, 2023 18:03:11 --

Mihr в сообщении #1617253 писал(а):

Нечто странное.

Mihr в сообщении #1617253 писал(а):

Спросите математиков

Mihr
Давайте для начала поступим так. Если у вас есть ко мне вопросы относительно кривой, задавайте. Ваши сомнения я имею в виду.

[wrest]

мат-ламер в сообщении #1617251 писал(а):

Кроме того, окружность, это не кривая,

Ага. Это замкнутая кривая.

[realeugene]

мат-ламер в сообщении #1617254 писал(а):

Если суть явления понятна в одномерном случае, зачем усложнять наши сущности?

Потому что даже в одномерном случае эта модель неверна. В третьем законе Ньютона две рассматриваемые материальные точки совсем не обязаны двигаться по одному пути. Это могут быть два разных грузика, соединённые пружинкой, которая распрямляется.

Но даже когда они в результате двигаются по одной траектории, но расстояние между ними в процессе движения меняется, силы между ними в паре сил из третьего закона Ньютона могут совершать суммарную ненулевую работу, это вы правильно нашли.

[Mihr]

(мат-ламер)

мат-ламер, для начала Вам стоило бы освоить общепринятую терминологию. А не изобретать собственную. И не пытаться учить собеседников своей тарабарщине. Все Ваши проблемы оттого, что Вы не вникаете в то, что Вам говорят, а, будучи обучаемым, пытаетесь навязать тем, кто Вас учит, собственные представления.

мат-ламер в сообщении #1617254 писал(а):

Если у вас есть ко мне вопросы относительно кривой, задавайте. Ваши сомнения я имею в виду.

У меня к Вам никаких вопросов (помимо риторических) нет. И никогда не было.

[мат-ламер]

realeugene в сообщении #1617257 писал(а):

В третьем законе Ньютона две рассматриваемые материальные точки совсем не обязаны двигаться по одному пути.

realeugene в сообщении #1617257 писал(а):

Но даже когда они в результате двигаются по одной траектории,

Давайте уточним терминологию для нашего частного одномерного случая. В этом случае у нас есть отрезок с начальной и конченой точкой. Для простоты считаем, что наши материальные точки двигаются в одном направлении от начальной точки к конечной. Если нам важно, где в данный момент времени находится точка, то мы называем закон её движения путём или траекторией. Если нет, то кривой. В нашем одномерном случае точки будут двигаться по одной кривой, но по разным путям (траекториям).

-- Пт ноя 10, 2023 18:21:28 --

Mihr в сообщении #1617259 писал(а):

мат-ламер, для начала Вам стоило бы освоить общепринятую терминологию. А не изобретать собственную.

Если что, то я думаю, что знаю, как понимать, что такое кривая в общепринятом смысле этого слова. Если у вас противоположное мнение, то давайте разбираться конкретно.

-- Пт ноя 10, 2023 18:24:07 --

realeugene в сообщении #1617257 писал(а):

Потому что даже в одномерном случае эта модель неверна.

Что вас смущает в моей одномерной модели?

realeugene в сообщении #1617257 писал(а):

В третьем законе Ньютона две рассматриваемые материальные точки совсем не обязаны двигаться по одному пути.

Так они у меня двигаются по разным путям, но по одной кривой (в нашем случае, это отрезок).

[realeugene]

мат-ламер в сообщении #1617251 писал(а):

Понятно, что траектория, это синоним слова "путь".

Кстати, нет, совсем не синоним. Возвращаясь к школьным определениям, путь - это длина траектории. То есть, число. Вам бы школьные учебники на самом деле повторить. Даже не Ландсберга, а самые обычные. Задачки для школьников порешать.

[wrest]

realeugene в сообщении #1617257 писал(а):

могут совершать суммарную ненулевую работу

Что значит "суммарная работа сил"? Сумма этих самых интегралов?

[мат-ламер]

realeugene в сообщении #1617263 писал(а):

Кстати, нет, совсем не синоним. Возвращаясь к школьным определениям, путь - это длина траектории. То есть, число. Вам бы школьные учебники на самом деле повторить. Даже не Ландсберга, а самые обычные. Задачки для школьников порешать.

Не думаю, что это сильно необходимо для рассматриваемого вопроса. Я уже прочно забыл школьные определения. Давайте пока различать понятие пути и понятие длины пути. Я думаю, что это не очень принципиально.

[Mihr]

(мат-ламер)

мат-ламер в сообщении #1617261 писал(а):

я думаю, что знаю, как понимать, что такое кривая в общепринятом смысле этого слова

Замечательно. Вот и пользуйтесь своим знанием. Вместо того, чтобы коверкать термины и заставлять других разгадывать, что Вы здесь имели в виду.

[мат-ламер]

Mihr в сообщении #1617267 писал(а):

Замечательно. Вот и пользуйтесь своим знанием. Вместо того, чтобы коверкать термины и заставлять других разгадывать, что Вы здесь имели в виду.

Mihr . Вы меня заинтриговали. Давайте поступим так. Я пока выйду из темы. Открою учебники. Наберу цитат и приведу их здесь. А то совершенно непонятно, о чём разговор. И вообще я думаю, что проблема раздута. Я готов приспособиться к любой терминологии, чтобы понимать, о чём говорите вы и о чём говорит realeugene . Не надо делать из мухи слона.

[realeugene]

wrest в сообщении #1617264 писал(а):

Что значит "суммарная работа сил"? Сумма этих самых интегралов?

Да. Но не забудьте, что это интегралы по разным траекториям разных материальных точек.

Напомню, откуда вообще впервые появляется работа силы. Пусть у нас материальная точка движется одномерно с постоянным ускорением $a$. Кинематически, мы можем записать следующее уравнение:

$$v^2 - v_0^2 = (v-v_0)\cdot (v+v_0) = \frac {\Delta v} {\Delta t} \cdot 2 \overline v \Delta t = 2a \Delta S$$

У материальной точки есть константная масса $m$ Умножим это уравнение на $\frac m 2$ и применим второй закон Ньютона:

$$\frac {mv^2} 2 - \frac {mv_0^2} 2 = ma \Delta S = F \Delta S$$

Чудесно, у нас получилось уравнение, в котором слева стоит разница на концах участка движения только функции состояния точки (её мгновенной скорости) $E=\frac {mv^2} 2$ , а справа - функционал от траектории, по которой двигалась точка. Силу при этом мы можем узнать по третьему закону Ньютона, опросив другие точки.

Теперь, если сила вдоль траектории была непостоянной, мы можем проинтегрировать это уравнение по траектории:

$$\Delta E = \int_S FdS$$

после чего, рассмотрев трёхмерные декартовы координаты и заметив, что прикладываемые к материальной точке силы образуют векторное пространство, окончательно записать:

$$\Delta E = \int_S \vec F \cdot d \vec r$$

Введённая слева функция состояния материальной точки $E = \frac {mv^2} 2$ называется кинетической энергией, а интеграл справа $\int_S \vec F \cdot d \vec r$ называется работой действовавших на материальную точку сил вдоль траектории. Ввиду линейности функционала работы силы по силе, мы можем раскладывать силу на составляющие и говорить, что работа равнодействующей силы равна сумме работ составляющих сил.

Закон сохранения энергии и осмысленность суммирования работ сил, приложенных к различным материальным точкам, появляется позже.

Если же у нас точка геометрическая, а не материальная, то мы не можем к ней прикладывать силы и рассуждать про работу этих сил.

-- 10.11.2023, 18:02 --

мат-ламер в сообщении #1617266 писал(а):

Я думаю, что это не очень принципиально.

Всё-таки рассуждая про базовые школьные понятия важно использовать стандартную терминологию из школьных учебников. Эта терминология - основа физики и техники. За неправильное употребление терминологии школьникам ставят двойки.

-- 10.11.2023, 18:08 --

мат-ламер в сообщении #1617261 писал(а):

Так они у меня двигаются по разным путям, но по одной кривой (в нашем случае, это отрезок).

Не обязаны.