0,999...=1

[Vladimir Pliassov]

Я понял наконец равенство $0,999 \ldots =1$.

Его может признавать только тот, кто признает актуальную бесконечность, то есть тот, кто признает, что можно сложить все слагаемые в выражении

$$\frac {9}{10}+\frac {9}{100}+\frac {9}{1000}+\ldots$$

Тот, кто признает потенциальную бесконечность, но не признает актуальную бесконечность, не может признавать равенство $0,999 \ldots =1$, у него есть альтернатива

$$\lim \frac {9}{10}+\frac {9}{100}+\frac {9}{1000}+\ldots=1.$$

Тот, кто не признает актуальную бесконечность, не может признавать существование бесконечных множеств, например, множества $\mathbb N=\{1,2,3, \; \ldots\}.$

Если вы признаете бесконечные множества, вы признаете актуальную бесконечность, даже если не признаетесь в этом или говорите, что не хотите об этом говорить.

Вопрос: как можно сложить все слагаемые в выражении

$$\frac {9}{10}+\frac {9}{100}+\frac {9}{1000}+\ldots \;?$$

Ответ: это можно сделать, приняв актуальную бесконечность. С точки зрения потенциальной бесконечности это невозможно.

Правильно?

[Anton_Peplov]

Все значительно проще.
Докажите, что для любого $\varepsilon >0$ верно $|1-0,99\dots|<\varepsilon$.
И чему в таком случае равна эта разность?

И выкиньте из головы эту "потенциальную и актуальную бесконечность". У этих размытых философских псевдопонятий нет точного смысла. По крайней мере, в классической математике, а не в каком-нибудь конструктивизме.

[mihaild]

Нет никакой "потенциальной" и "актуальной" бесконечности. Их пытались ввести строго в начале 20 века, но не получилось. В современной математике объекты "существуют сразу". Бесконечная сумма - это не процесс (хотя её часто для наглядности так представляют). У нас просто есть последовательность - которая опять же не процесс выписывания членов, а сразу функция из натуральных чисел куда-то, значение которой на числе равно соответствующему члену последовательности. Дальше по ней определяется последовательность частичных сумм - тоже функция из натуральных чисел куда-то. И, наконец, у последовательности частичных сумм определяется предел - и там опять нет никаких "изменений", просто берем и проверяем по определению, является ли число пределом.
$\frac{9}{10} + \frac{9}{100} + \ldots$ и $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{9}{10} + \frac{9}{100} + \ldots + \frac{9}{10^n}$ - это просто два способа записи одного и того же (по определению, первое понимается как упрощенный способ записи второго).

[iifat]

Подумалось: может, вам попробовать вычесть $0.(9)$ из единицы? Ну вот прям по-школьному, в столбик. Что получится?

-- 25.07.2023, 23:34 --

Не, совсем уж по-школьному не получится, школьники справа налево идут. Но, в конце концов, модифицировать несложно.

[svv]

Vladimir Pliassov в сообщении #1602419 писал(а):

Если вы признаете бесконечные множества, вы признаете актуальную бесконечность, даже если не признаетесь в этом или говорите, что не хотите об этом говорить.

После этой реплики вдруг наступила такая тишина, что стало слышно, как тикают наручные часы и стучит кровь в висках. Все заслуженные участники медленно повернули головы и устремили взгляд на Vladimir Pliassov. Выражение их лиц не предвещало ничего хорошего.

[tolstopuz]

Я понял наконец равенство $1,000 \ldots =1$.

Его может признавать только тот, кто признает актуальную бесконечность, то есть тот, кто признает, что можно сложить все слагаемые в выражении

$$1+\frac {0}{10}+\frac {0}{100}+\frac {0}{1000}+\ldots$$

[TOTAL]

Vladimir Pliassov в сообщении #1602419 писал(а):

Вопрос: как можно сложить все слагаемые в выражении

$$\frac {9}{10}+\frac {9}{100}+\frac {9}{1000}+\ldots \;?$$

Я сложил, сумма равна 1.

[Vladimir Pliassov]

svv в сообщении #1602428 писал(а):

После этой реплики вдруг наступила такая тишина, что стало слышно, как тикают наручные часы и стучит кровь в висках. Все заслуженные участники медленно повернули головы и устремили взгляд на Vladimir Pliassov. Выражение их лиц не предвещало ничего хорошего.

Очень понравилось!

Anton_Peplov в сообщении #1602421 писал(а):

Докажите, что для любого $\varepsilon >0$ верно $|1-0,99\dots|<\varepsilon$.

То есть надо доказать, что в

$$x_n=\frac {9}{10^1}+\frac {9}{10^2}+\ldots+ \frac {9}{10^n} \ldots $$

для любого $\varepsilon >0$ найдется $n$, при котором будет $(1-x_n)<\varepsilon$. Мне надо еще подумать.

Anton_Peplov в сообщении #1602421 писал(а):

И чему в таком случае равна эта разность?

Разность между $1$ и $\lim x_n$ равна нулю, но разность между $1$ и $0,99\ldots$ это предмет настоящей дискуссии.

mihaild в сообщении #1602423 писал(а):

$\frac{9}{10} + \frac{9}{100} + \ldots$ и $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{9}{10} + \frac{9}{100} + \ldots + \frac{9}{10^n}$ - это просто два способа записи одного и того же (по определению, первое понимается как упрощенный способ записи второго).

Если договориться об этом, это одно, но если просто считать, что $\frac{9}{10} + \frac{9}{100} + \ldots=1$, то это другое, и тут уж придется признать актуальную бесконечность.

Я не одинок в своем мнении:

Цитата:

математики современности оперируют с актуально бесконечными множествами и актуально бесконечномерными пространствами Википедия

Вы и сами говорите:

mihaild в сообщении #1602423 писал(а):

В современной математике объекты "существуют сразу".

Значит, Вы признаете актуальную бесконечность, хотя и не хотите признать, что признаете ее:

mihaild в сообщении #1602423 писал(а):

Нет никакой "потенциальной" и "актуальной" бесконечности.

Правда, Вы говорите:

mihaild в сообщении #1602423 писал(а):

Их пытались ввести строго в начале 20 века, но не получилось.

То есть, как я понимаю, Вы не признаете ее, потому что она не выведена из каких-то первоначальных понятий. Но я считаю, что она сама есть первоначальное понятие, вроде понятия множества, которое не выводится из других понятий, а само является первоначальным понятием.

iifat в сообщении #1602425 писал(а):

Подумалось: может, вам попробовать вычесть $0.(9)$ из единицы? Ну вот прям по-школьному, в столбик. Что получится?

Вот именно не получится, потому что по-школьному -- это потенциальная бесконечность.

Anton_Peplov в сообщении #1602421 писал(а):

И выкиньте из головы эту "потенциальную и актуальную бесконечность". У этих размытых философских псевдопонятий нет точного смысла.

Как бы то ни было, эти "псевдопонятия" мне очень помогли: сегодня утром, читая о канторовом множестве, я попытался понять слова: "$0{,}1_{3}\in C$, так как $0{,}1_{3}=0{,}0(2)_{3}$", -- и снова задумался о равенстве $0,999 \ldots =1$ и вдруг понял, что если признать актуальную бесконечность, то оно перестанет вызывать у меня протест.

tolstopuz в сообщении #1602433 писал(а):

Я понял наконец равенство $1,000 \ldots =1$.

Его может признавать только тот, кто признает актуальную бесконечность, то есть тот, кто признает, что можно сложить все слагаемые в выражении

$$1+\frac {0}{10}+\frac {0}{100}+\frac {0}{1000}+\ldots$$

Это ирония?

TOTAL в сообщении #1602434 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1602419 писал(а):

Вопрос: как можно сложить все слагаемые в выражении

$$\frac {9}{10}+\frac {9}{100}+\frac {9}{1000}+\ldots \;?$$

Я сложил, сумма равна 1.

С позиции актуальной бесконечности?

[TOTAL]

Vladimir Pliassov в сообщении #1602435 писал(а):

TOTAL в сообщении #1602434 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1602419 писал(а):

Вопрос: как можно сложить все слагаемые в выражении

$$\frac {9}{10}+\frac {9}{100}+\frac {9}{1000}+\ldots \;?$$

Я сложил, сумма равна 1.

С позиции актуальной бесконечности?

Просто сложил в позиции "сидя на стуле". Чтобы надолго не затягивать и управиться до обеда, за полчаса до обеда я прибавил первое слагаемое, за четверть часа до обеда я прибавил второе слагаемое, за восьмую часть часа до обеда я прибавил третье слагаемое. И так далее. Все вычисления проделал в уме.

[Anton_Peplov]

Vladimir Pliassov в сообщении #1602435 писал(а):

То есть надо доказать, что в

$$x_n=\frac {9}{10^1}+\frac {9}{10^2}+\ldots+ \frac {9}{10^n} \ldots $$

для любого $\varepsilon >0$ найдется $n$, при котором будет $(1-x_n)<\varepsilon$. Мне надо еще подумать.

Удобнее пользоваться десятичными дробями. Например, $|1 - 0{,}99 \dots| < 0{,}1$, потому что $0{,}99 \dots > 0{,}9$, и так далее. Это я уже практически полное решение подсказал. Иначе, боюсь, Вы опять нагромоздите конструкций до неба.

-- 25.07.2023, 18:19 --

Vladimir Pliassov в сообщении #1602435 писал(а):

Но я считаю, что она сама есть первоначальное понятие, вроде понятия множества, которое не выводится из других понятий, а само является первоначальным понятием.

Есть понятие бесконечного множества. Это множество, в котором найдется любое натуральное число элементов. Никакой необходимости делить бесконечные множества на "потенциально бесконечные" и "актуально бесконечные" нет. Но если Вам так больше нравится, можете называть бесконечные множества актуально бесконечными. Когда подучите математику, едва ли будете все еще находить в этом смысл.

[EUgeneUS]

Цитата:

Такого рода процессы и совокупности объектов, их описывающие, характеризуют как потенциальную бесконечность (в схоластике используется термин «синкатегорематическая бесконечность»),

...

Цитата:

Альтернативой является понятие актуальной бесконечности (в схоластике — «категорематическая бесконечность»),

Vladimir Pliassov вот этим непотребством, а именно схоластикой Вы и занимаетесь.

Математика оперирует умозрительными объектами, и если мы посчитали, что можно просуммировать бесконечный ряд, то так оно и есть.
Можно, конечно, считать, что бесконечный ряд просуммировать нельзя, но что это даст?

Кстати, Ваш пример неудачен. Можно просто объявить, что $0.9(9)$ и $1$ - это разные записи одного и того же числа.
"Проблемы" начинаются с иррациональными числами, где для десятичной записи требуется непериодическая бесконечная последовательность цифр.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1602435 писал(а):

Если договориться об этом, это одно, но если просто считать, что $\frac{9}{10} + \frac{9}{100} + \ldots=1$, то это другое

"Просто считать" нельзя (ну точнее конечно можно сказать, что мы вот такой странной строчкой будем обозначать единицу, но это крайне неудобное соглашение, потому что придется отдельно договариваться, чему равно $\frac{8}{10} + \frac{9}{100} + \frac{9}{1000} + \ldots$ и т.д.). В математике принято вот таким образом с многоточиями обозначать сумму ряда, которая определяется как предел частичных сумм.

Vladimir Pliassov в сообщении #1602435 писал(а):

Я не одинок в своем мнении

Это то, чем занимаются математики по мнению кого-то, пересказывающего в википедии философов. Никакого отношения к реальной современной математике это не имеет, понятия "актуальная бесконечность" в ней нет.

Vladimir Pliassov в сообщении #1602435 писал(а):

Но я считаю, что она сама есть первоначальное понятие, вроде понятия множества, которое не выводится из других понятий, а само является первоначальным понятием.

Хочется, чтобы первоначальных понятий было поменьше. Если у нас уже есть понятие множества, то понятие "бесконечное множество" можно выразить через него - так что нет никакой необходимости его добавлять в первоначальные.

Я (и любой минимально понимающий математику человек) не нахожусь ни на позиции, которую философы называют "признанием актуальной бесконечности", ни на позиции, которую философы называют "непризнанием актуальной бесконечности". Просто сам по себе этот термин лишен смысла. Когда-то в этом были сомнения, но с тех пор надежно установлено, что теория множеств ни в каких "потенциальных" и "актуальных" бесконечностях не нуждается. Если Вас интересует математика, а не плохая философия и не история математики - Вам эти понятия тоже не нужны.

Vladimir Pliassov в сообщении #1602435 писал(а):

и снова задумался о равенстве $0,999 \ldots =1$ и вдруг понял, что если признать актуальную бесконечность, то оно перестанет вызывать у меня протест

Это скорее всего иллюзия понимания.
Прежде чем проверять равенство, нужно сказать, что у нас слева и справа. Как определяется то, что слева? (я могу придумать минимум 3 довольно существенно отличающихся определения, для двух из которых это равенство верно, а для третьего - неверно)

Vladimir Pliassov в сообщении #1602435 писал(а):

То есть надо доказать, что в

$$x_n=\frac {9}{10^1}+\frac {9}{10^2}+\ldots+ \frac {9}{10^n} \ldots $$

для любого $\varepsilon >0$ найдется $n$, при котором будет $(1-x_n)<\varepsilon$. Мне надо еще подумать.

Вот это содержательный вопрос. Только многоточие в конце определения $x_n$ лишнее.
Я бы советовал немного другой метод чем Anton_Peplov: чему равно $1 - x_1$? а $1 - x_2$? $1 - x_3$? Можете ли найти закономерность? После того, как найдете, докажите по индукции что она так и выполняется.

[tolstopuz]

Vladimir Pliassov в сообщении #1602435 писал(а):

tolstopuz в сообщении #1602433 писал(а):

Я понял наконец равенство $1,000 \ldots =1$.

Его может признавать только тот, кто признает актуальную бесконечность, то есть тот, кто признает, что можно сложить все слагаемые в выражении

$$1+\frac {0}{10}+\frac {0}{100}+\frac {0}{1000}+\ldots$$

Это ирония?

Ваши рассуждения о суммировании "актуально бесконечного" числа слагаемых применимы к любой бесконечной десятичной дроби, я не вижу оснований ограничиваться одной конкретной.

[Утундрий]

Все проблемы с пониманием бесконечности начинаются с молчаливого предположения, что бесконечность можно понять.

[wrest]

Vladimir Pliassov в сообщении #1602419 писал(а):

Ответ: это можно сделать, приняв актуальную бесконечность. С точки зрения потенциальной бесконечности это невозможно.

Правильно?

Ну, типа того. Старина Зенон на этом сделал себе имя.